sábado, maio 13, 2006

 

Localização minisoma de centro de distribuição / hipermercado: distâncias rectilineares


Neste caso, pretende-se localizar um novo centro de distribuição numa área, relativamente aos hipermercados existentes. A localização do novo centro de distribuição e dos hipermercados existentes são representadas, respectivamente, por:

X = (x, y), localização do novo centro de distribuição

Hi = (ai, bi), localização do hipermercado existente i, i = 1, 2, …, m.

O custo anual das deslocações entre o novo centro de distribuição e o hipermercado existente i é suposto ser proporcional à distância entre os pontos X e Hi, com wi a denotar a constante de proporcionalidade. O objectivo é determinar o valor de X que minimize a soma ponderada das distâncias percorridas, o custo anual das deslocações:

Minimizar f (X) = ∑ wi d (X, Hi)

onde:

d (X, Hi), é a distância entre os pontos X e Hi e wi é o «peso» entre o novo centro de distribuição e o hipermercado existente i.

Considerando que as distâncias apropriadas são rectilineares, tem-se:

d (X, Hi) = |xai| + |ybi|

e o problema da localização minisoma é:

Minimizar f (x, y) = ∑ wi |xai| + ∑ wi |ybi|

Dado que nesta equação os termos envolvendo x são separados dos que envolvem y, é possível determinar os valores óptimos de x e y independentemente.

Outras duas importantes propriedades deste problema são:

1) a coordenada óptima x* da nova instalação é igual à coordenada x de alguma das instalações existentes; e

2) a coordenada óptima x* não tem mais do que metade do total dos pesos para cada lado;

o mesmo acontecendo com a coordenada óptima y*.


A determinação da solução óptima deste problema pode ser ilustrada considerando o caso envolvendo a localização de um novo centro de distribuição. Há cinco hipermercados que vão ser servidos pelo novo centro de distribuição, localizados nos pontos H1 = (1, 1), H2 = (5, 2), H3 = (2, 8), H4 = (4, 4) e H5 = (8, 6). O custo por unidade de distância é o mesmo entre o novo centro de distribuição e cada um dos hipermercados existentes. O número de viagens por dia entre o novo centro de distribuição e os hipermercados existentes será 5, 6, 2, 4 e 8, respectivamente.

Ordenando as coordenadas x dos hipermercados existentes, dá a sequência de hipermercados 1, 2, 4, 5 e 8, com a correspondente sequência de pesos de 5, 2, 4, 6, e 8. O peso total é 25. Como se pode ver na Tabela 1, a soma parcial dos pesos iguala ou excede metade do total com i = 2; portanto x* = a2 = 5. Se a soma parcial for igual a metade da soma de todos os pesos, então a solução inclui todos os pontos entre a coordenada para a qual a igualdade ocorreu e o valor da coordenada seguinte. De forma semelhante, como se apresenta na Tabela 2, a coordenada óptima de y é y* = b4 = 4. Então a localização óptima do novo centro de distribuição é X* = (5, 4), como se mostra na Figura 1.


Tabela 1. Solução para a coordenada x

HipermercadoCoordenadaPesowi
iaiwi
1155
3227
44411 < 25 / 2
25617 > 25 / 2
58825



Tabela 2. Solução para a coordenada y

HipermercadoCoordenadaPesowi
ibiwi
1155
22611 < 25 / 2
44415 > 25 / 2
56823
38225


Figura 1. Localização das instalações


A distância ponderada total, resultante da localização X* = (5, 4) é obtida como se segue:

f (5, 4) = 5 (|5 - 1| + |4 - 1|) + 6 (|5 - 5| + |4 - 2|) + 2 (|5 - 2| + |4 - 8|) + 4 (|5 - 4| + |4 - 4|) + 8 (|5 - 8| + |4 - 6|) = 105 unidades de distância.

Se não for possível localizar o novo centro de distribuição no ponto (5, 4), podem ser avaliados locais alternativos calculando o valor de f (X) para cada local e seleccionando o local com o menor valor de f (X).

TOMPKINS, James A. et al. - Facilities Planning, 2.ª ed., Nova Iorque, John Wiley & Sons, 1996.

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