segunda-feira, maio 29, 2006

 

Localização minisoma de centro de distribição / hipermercado: distâncias Euclideanas


Considerando que as distâncias apropriadas são Euclideanas, tem-se:

d (X, Hi) = [(x - ai)2 + (y - bi)2]1/2

e o problema da localização minisoma é:

Minimizar f (x, y) = ∑ wi [(x - ai)2 + (y - bi)2]1/2

Igualando a zero as derivadas parciais da função objectivo em ordem a x e a y, obtêm-se as expressões que dão o valor das coordenadas óptimas x* e y*,

x ∑ {wi / [(x - ai)2 + (y - bi)2]1/2} = ∑ {wi ai / [(x - ai)2 + (y - bi)2]1/2}

Fazendo gi (x, y) = wi / [(x - ai)2 + (y - bi)2]1/2,

obtém-se:

x = ∑ (ai gi (x, y)) / ∑ gi (x, y)

Analogamente, para y, tem-se:

y = ∑ (bi gi (x, y)) / ∑ gi (x, y)

Enquanto a equação gi (x, y) for definida, pode-se recorrer ao seguinte processo iterativo:

x(k + 1) = ∑ (ai gi (xk, yk)) / ∑ gi (xk, yk)

y(k + 1) = ∑ (bi gi (xk, yk)) / ∑ gi (xk, yk)

onde os expoentes representam o número da iteração.

O procedimento iterativo continua até que não ocorra uma melhoria significativa na estimativa da localização óptima da nova instalação.

Os valores iniciais do procedimento iterativo podem ser a solução do problema com distâncias rectlineares, Euclideanas ao quadrado, qualquer ponto do polígono definido pelas instalações existentes ou até mesmo a origem, desde que nenhuma destas alternativas coincida com a localização de uma instalação existente.


A utilização do procedimento iterativo para determinar a localização minisoma de um novo centro de distribuição (I), com os valores iniciais dados pela solução do problema com distâncias Euclideanas ao quadrado (x0 = 4,76 e y0 = 3,88), produz os seguintes resultados,



kxkyk

04,763,88
14,6273,684
24,5693,621
34,5493,601
44,5433,595
54,5423,593
64,5413,592
74,5413,591
84,5413,591



Na oitava iteração já não ocorre qualquer melhoria na estimativa da localização óptima do novo centro de distribuição, portanto (x*, y*) = (4,54; 3,59).

A distância ponderada total, resultante da localização X* = (4,54; 3,59) é então:

f* (4,54; 3,59) = 5 [(4,54 - 1)2 + (3,59 - 1)2]1/2 + 6 [(4,54 - 5)2 + (3,59 – 2)2]1/2 + 2 [(4,54 - 2)2 + (3,59 - 8)2]1/2 + 4 [(4,54 - 4)2 + (3,59 - 4)2]1/2 + 8 [(4,54 - 8)2 + (3,59 - 6)2]1/2 = 78,49

FRANCIS, Richard L.; WHITE, John A. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach. Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1974.

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