segunda-feira, junho 05, 2006

 

Afectação linear


Suponha-se que 3 novos centros de distribuição, a, b e c, vão ser localizados numa região. Existem 6 hipermercados nessa região, p, q, r, s, t e u, que vão ser abastecidos por, pelo menos um dos novos centros de distribuição. Os hipermercados estão localizados em (0, 0), (0, 1), (0, 3), (1, 1), (2, 2) e (4, 0), respectivamente. Uma análise preliminar indica que existem cinco localizações possíveis, v, w, x, y e z, com coordenadas das localizações (1, 0), (1, 2), (2, 0), (4, 1) e (4,3), respectivamente, para os novos centros de distribuição. Os planos directores municipais, contudo, proíbem a localização do novo centro de distribuição a no local v e limitações de espaço impedem o novo centro de distribuição b de ser localizado em w. Não há trocas de mercadorias entre os três novos centros de distribuição.

A matriz W = (wi k), onde wi k é o número de viagens por dia feitas entre o novo centro de distribuição i e o hipermercado existente k, é


wi kpqrstu
a401202
b123021
c014023


Todas as deslocações são supostas ocorrerem numa malha rectangular de estradas. A matriz das distâncias D = (dk j), onde dk j é a distância rectilinear entre o hipermercado existente k e a localização possível j, é dada por


dk jvwxyz
p13257
q22346
r42564
s11235
t31233
u35213


A matriz dos custos C = (ci j), onde ci j é custo de localizar o novo centro de distribuição i na localização possível j, é obtida por C = W D


ci jvwxyz
a1626213448
b2620293840
c3327333737


Note-se que ci j = ∑ wi k dk j, é uma soma de distâncias ponderadas.

Recorde-se que os novos centros de distribuição a e b não são permitidos nas localizações v e w, respectivamente. Para evitar a possibilidade destas afectações, fazem-se os valores de c1 1 e c2 2 positivos muito grandes. Atendendo a que os novos centros de distribuição a serem localizados são menos do que os locais disponíveis, são criadas dois novos centros de distribuição artificiais, d e e, com ci j = 0, e a matriz de custos, C, passa a ser


26213448
26293840
3327333737
00000
00000


Este problema de afectação, em particular, pode ser resolvido por inspecção, resultando na afectação dos novos centros de distribuição a, b e c aos locais x, v e w, respectivamente, de modo a minimizar a distância percorrida por dia.

Claro que nem todos os problemas de afectação são tão fáceis de resolver como neste caso. Os métodos para resolver problemas de afectação são apresentados na maior parte dos textos introdutórios de investigação operacional.

Para além dos custos referidos acima, podem existir custos adicionais, resultantes da localização do novo centro de distribuição i no local j, tais como custos de preparação ou aquisição do terreno. Se c"i j denotar a soma destes outros custos e c'i j representar os custos referidos acima, então os valores dos custos ci j a usar na resolução do problema de afectação são dados por

ci j = c'i j + c"i j

Naturalmente, c'i j e c"i j têm que ter as mesmas dimensões.

FRANCIS, Richard L.; WHITE, John A. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach. Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1974.

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