quinta-feira, junho 08, 2006

 

Localização de uma instalação linear


Neste caso, pretende-se localizar um tapete transportador num centro de distribuição onde serve n pontos de carga e/ou descarga com um peso associado, positivo.

O problema é localizar o tapete x2 = A* + S* x1, tal que a soma das distâncias ponderadas perpendiculares ao tapete (o custo total do sistema) seja minimizada.

A distância perpendicular dos pontos de carga e/ou descarga (aj 1, aj 2) ao tapete é:

|A - (aj 2 - S aj 1)| / (S2 + 1)1/2

o que implica o problema de localização:

minimizar P (A, S) = ∑ [wj |A - (aj 2 - S aj 1| / (S2 + 1)1/2]

Duas simplificações, são sugeridas:

1) A localização óptima do tapete tem que passar, no mínimo, por dois pontos de carga e/ou descarga. Neste caso pode ser seguida uma abordagem simples de busca. Calculam-se, simplesmente, as intersecções A e declives S das n (n - 1) / 2 linhas que passam por todos os pares de pontos, calcula-se o valor da função objectivo e escolhe-se a localização óptima do tapete.

2) O algoritmo de resolução pode ser visto como rodando o tapete, usando ponto pivot após ponto pivot tais que a localização do tapete continue a ser mediana. Isto é fácil de fazer graficamente, para problemas pequenos.


Suponha-se que existem quatro pontos de carga e/ou descarga cujas coordenadas e pesos, wi, são dados na Tabela 1.


Tabela 1. Parâmetros do problema

jwiaj 1aj 2

1215
2144
3166
4134



A Figura 1 ilustra o procedimento de rotação. Começando com o tapete horizontal, ele tem que passar pelo ponto 1 para dividir os pesos por dois. Esta localização, contudo, intercepta apenas um ponto e não pode ser óptima. Roda-se, portanto, o tapete no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio com o ponto 1 como pivot até se obter a localização #1 da Figura 1. Para esta localização continuar mediana, o ponto 3 torna-se o pivot até que a localização #2 é produzida. Depois, o ponto 4 torna-se o pivot até que a localização #3 é produzida. O ponto 1 torna-se então o pivot para se criar a localização #4. Continua então a ser o pivot até o tapete estar de novo horizontal. Só quatro localizações precisam de ser avaliadas. Os índices dos pares de pontos de carga e/ou descarga são (1, 2), (1, 3), (1, 4) e (3,4). A Tabela 2 mostra as intercepções, (A), declive, (S), e o custo destas localizações. A localização que passa pelos pontos a1 e a2 é a óptima.


Figura 1. Localizações candidatas


Tabela 2. Avaliação das localizações candidatas

ParASP (A, S)

(1, 2)16 / 3- 1 / 32,846
(1, 3)24 / 51 / 52,942
(1, 4)11 / 2- 1 / 23,578
3 / 422 / 34,438



LOVE, R. F. et al. - Facilities Location: Models and Methods. Nova Iorque, North-Holland, 1988.

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