segunda-feira, junho 05, 2006

 

Localização minisoma de centro de distribição / hipermercado: distâncias Euclideanas ao quadrado


Neste caso, assume-se que os custos crescem proporcionalmente ao quadrado da distância Euclideana (problema gravitacional).

Então, tem-se:

d (X, Hi) = [(x - ai)2 + (y - bi)2]

Sendo assim, o problema é formulado do seguinte modo:

Minimizar f (x, y) = ∑ wi [(x - ai)2 + (y - bi)2]

Os valores óptimos, x* e y*, que minimizam os custos, são obtidos igualando a zero as derivadas parciais da função objectivo em ordem a x e a y,

((∂f (x*, y*) / ∂x*), (∂f (x*, y*) / ∂y*)) = (0, 0)

de onde:

x* = ∑ wi ai / ∑ wi

y* = ∑ wi bi / ∑ wi

x* e y*, correspondem a médias ponderadas das coordenadas x e y das instalações existentes e são, de facto, as coordenadas que minimizam a equação dos custos. A solução do problema é algumas vezes designada de centróide ou centro de gravidade. Daí a designação de problema gravitacional.

Assim para o problema anterior,

x* = [5 (1) + 6 (5) + 2 (2) + 4 (4) + 8 (8)] / (5 + 6 + 2 + 4 + 8)

x* = 4,76

y* = [5 (1) + 6 (2) + 2 (8) + 4 (4) + 8 (6)] / (5 + 6 + 2 + 4 + 8)

y* = 3,88

O custo total, (f (X)*), resultante da localização X* = (4,76; 3,88) é então:

f (4,76; 3,88) = 5 [(4,76 - 1)2 + (3,88 - 1)2] + 6 [(4,76 - 5)2 + (3,88 – 2)2] + 2 [(4,76 - 2)2 + (3,88 - 8)2] + 4 [(4,76 - 4)2 + (3,88 - 4)2] + 8 [(4,76 - 8)2 + (3,88 - 6)2] = 305,2 UM

FRANCIS, Richard L.; WHITE, John A. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach. Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1974.

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