sexta-feira, junho 09, 2006

 

Localização minisoma de centro de distribuição / hipermercado: distâncias Euclideanas ao quadrado, linhas de isocusto


Pelas razões indicadas anteriormente para o problema rectilinear, são de interesse as curvas de nível do problema gravitacional. As curvas de nível do problema gravitacional podem ser obtidas muito facilmente. Considere-se as curvas de nível dadas na Figura 1 para dois casos simples do problema gravitacional. No primeiro caso existe uma instalação. No segundo caso existe igual movimento de artigos entre a instalação nova e cada uma de duas instalações existentes. Consequentemente, é fácil de ver que as curvas de nível serão circunferências concêntricas centradas na localização óptima.


Figura 1.


Agora, como é que se pensa que as curvas de nível serão quando se tem um número qualquer de instalações existentes com movimentação de artigos desigual? Se se suspeitou que as curvas de nível serão ainda circunferências concêntricas centradas na localização óptima, essa intuição é notável, pois é esse o caso. Para se ver porque isto é verdade, note-se que de expressão da função objectivo se quer determinar o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que

k = ∑ wi [(x - ai)2 + (y - bi)2]

onde k é uma constante. Consequentemente, expandindo os termos quadrados determina-se que

k = x2wi – 2 xwi ai + ∑ wi ai2 + y2wi - 2 ywi bi + ∑ wi bi2

Se se fizer

W = ∑ wi

dividindo a equação anterior por W, e empregando as expressões de x* e y*, determina-se que

k / W = x2 - 2 x x* + ∑ (wi ai2) / W + y2 - 2 y y* + ∑ (wi bi2) / W

Adicionando (x*)2 e (y*)2 a ambos os lados da equação anterior e simplificando, obtém-se a equação de uma circunferência,

r2 = (xx*)2 + (yy*)2

centrada no ponto (x*, y*) com raio

r = [k / W + (x*)2 + (y*)2 - ∑ wi (ai2 + bi2) / W]1/2

Este é um resultado interessante e não intuitivo. Com base neste resultado, se não se puder localizar a nova instalação na localização óptima (x*, y*) e se tiver que avaliar locais alternativos, deve-se sempre escolher aquele que está a menor distância em linha recta do ponto (x*, y*).

Para o caso considerado anteriormente, tem-se:

r2 = (x – 4,76)2 + (y – 3,88)2

com

r = [k / 25 + (4,76)2 + (3,88)2 – 49,92]1/2

ou

r = [k / 25 -12,21]1/2, para k > 305,2 (o valor óptimo da função objectivo).

FRANCIS, Richard L.; WHITE, John A. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach. Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1974.

Comments: Enviar um comentário

Links to this post:

Criar uma hiperligação



<< Home

This page is powered by Blogger. Isn't yours?