Logística 2006

Parâmetros do problema

M/M/S, λ = 0,5 clientes / minuto, μ = 2/3 clientes / minuto,


Medidas de desempenho

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1) Número médio de clientes no sistema (L)

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2) Número médio de clientes à espera (L_q)

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Para valores da intensidade do tráfego (λ / µ) menores que um, o número médio de clientes na fila é quase o mesmo para qualquer número de servidores maior ou igual a dois. Portanto, se (λ / µ) < 1, só são necessários um ou dois servidores.

Em geral, o número médio de clientes na fila é pequeno, quando o número de servidores é igual ou maior que (λ / µ) + (λ / µ)^1/2

3) Tempo médio no sistema (W)

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4) Tempo médio à espera (W_q)

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5) Probabilidade de não existir nenhum cliente no sistema (P₀)

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6) Probabilidade de ter que esperar (P_w)

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7) Número médio de clientes à espera, quando o sistema está ocupado (L_b)

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8) Tempo médio à espera, quando o sistema está ocupado (W_b)

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CHANG, Yih-Long; DESAI, Kiran - WinQSB. Nova Iorque, John Wiley & Sons, 2002

MUTHER, Richard – Planejamento do Layout: Sistema SLP. São Paulo, Edgar Blücher, 1978.

Num hipermercado, a certas horas do dia, os clientes dirigem-se ao balcão de atendimento da zona do talho/charcutaria, para tirar a senha de atendimento, com uma distribuição de Poisson, a uma taxa média de chegada 0,5 por minuto, para serem atendidos por duas empregadas. As empregadas atendem os clientes por ordem numérica das senhas. O tempo de atendimento de cada cliente é, em média, 1,5 minutos, distribuído exponencialmente.

1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/2, com taxa de chegadas λ = 0,5 clientes / minuto e tempo médio de serviço (1 / µ) = 1,5 minutos

2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / S µ = 0,5 × 1,5 / 2 = 0,375 < 1.
As empregadas têm, portanto, capacidade para atender os clientes que se dirigem ao talho/charcutaria para fazer compras. O sistema poderá atingir o estado estacionário, se as condições dadas se mantiverem por tempo suficiente. A fila de espera não cresce indefinidamente, mas varia de tamanho ao longo do tempo.


Medidas de desempenho

1) Intensidade do tráfego (λ / µ) =
= λ / µ = 0,5 × 1,5 = 0,75

2) Taxa de ocupação (ρ)=
Taxa média de ocupação do sistema =
Taxa média de ocupação do servidor =
Factor de ocupação do sistema =
ρ = λ / S µ = 0,5 × 1,5 / 2 = 0,375

3) Taxa de desocupação (1 - ρ) =
= 1 - ρ = 0,625

4) Número médio de clientes no sistema (L) =
L = P₀ [(λ / µ)^S ρ] / [S! (1 - ρ)²] + (λ / µ) = 0,87 clientes

5) Número médio de clientes à espera (L_q) =
L_q = L - (λ / µ) = P₀ [(λ / µ)^S ρ] / [S! (1 - ρ)²] = 0,12 clientes

6) Tempo médio no sistema (W) =
W = L / λ = 1,75 minutos

7) Tempo médio à espera (W_q) =
W_q = L_q / λ = 0,25 minutos

8) Número médio de clientes a serem servidos (L_S) =
Número médio de servidores ocupados (S_b) =
L_S = L - L_q = 0,75 clientes
S_b = λ / µ = 0,75 servidores

9) Probabilidade de não existir nenhum cliente no sistema (P₀) =
P₀ = 0,45

10) Probabilidade de existir algum cliente no sistema (P {n > 0}) =
= 1 - P₀ = 0,55

11) Probabilidade de ter que esperar (P_w) =
Probabilidade do sistema estar ocupado (P_b) =
Probabilidade de todos os servidores estarem ocupados =
P_w = P_b = P₀ [(λ / µ)^S µ S] / [S! (µ S - λ)] = 0,2045

12) Probabilidade de não ter que esperar (1 - P_w) =
Probabilidade de um servidor estar desocupado (1 - P_b) =
1 - P_w = 1 - P_b = 1 - 0,2045 = 0,7955

13) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n ≤ S) estarem ocupados =
Probabilidade de haver n clientes (0 ≤ n ≤ S) no sistema =
P_n = P₀ (λ / μ)ⁿ / n!, se 0 ≤ n ≤ S

n	0	1	2
Pn	0,4545	0,3409	0,1278

14) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n ≤ S) estarem desocupados =
Probabilidade de haver (S - n) clientes (0 ≤ n ≤ S) no sistema =
P_{(S - n)} = P₀ (λ / μ)^{(S - n)} / (S - n)!, se 0 ≤ n ≤ S

n	2	1	0
S - n	0	1	2
Pn	0,4545	0,3409	0,1278

15) Número médio de clientes à espera, quando o sistema está ocupado (L_b) =
L_b = L_q / P_w = 0,6 clientes

16) Número médio de clientes à espera, quando há pelo menos um (L_q | q > 0) =
L_q | q > 0 = L_b + 1 = 1,6 clientes

17) Tempo médio à espera, quando o sistema está ocupado (W_b) =
Tempo médio à espera, quando se tem de esperar =
W_b = W_q / P_w = 1,2 minutos

18) Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, n clientes no sistema (P_n)

19) Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema (P {N ≤ n})

20) Probabilidade de haver mais de n clientes no sistema ((P {N > n}) =
1 - Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema =
1 - (P {N ≤ n}) =
Probabilidade de haver pelo menos n + 1 (n + 1 ou mais) clientes no sistema (P {N ≥ n + 1})

21) Probabilidade de haver pelo menos n (n ou mais) clientes no sistema (P {N ≥ n})

n	Pn	P {N ≤ n}	P {N ≥ n}	q	Pq	P {Q ≤ q}	P {Q ≥ q}
	(18)	(19)	(21)		(23)	(24)	(25)
0	0,45	0,45	1,00
1	0,34	0,80	0,55
2	0,13	0,92	0,20	0	0,13	0,92	0,20
3	0,05	0,97	0,08	1	0,05	0,97	0,08
4	0,02	0,99	0,03	2	0,02	0,99	0,03
5	0,01	1,00	0,01	3	0,01	1,00	0,01
6	0,00	1,00	0,00	4	0,00	1,00	0,00

22) Probabilidade de haver n clientes a serem servidos =
P_n, para 0 ≤ n < S
P_S = 1 - ∑^{(S - 1)}P_n, para n = S

n	0	1	2
Pn	0,45	0,34	0,20

23) Probabilidade de haver S clientes a serem servidos e q na fila =
Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, q clientes na fila (P {Q = q}) =
P_S, para q = 0
P_q + 1, para q = 1, 2, …

24) Probabilidade de não haver mais de q (q ou menos) clientes na fila (P {Q ≤ q})

25)Probabilidade de haver pelo menos q (q ou mais) clientes na fila (P {Q ≤ q})


Na figura seguinte podem ver-se algumas das medidas de desempenho do problema acima, determinadas numa folha de cálculo pré-programada (McClain, 2003).


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Mesas de saída

Modelo	Altura × Profundidade × Largura (mm)	Tipo de mesa
Infinity F1900 esq. estática	855 × 1100 × 1900	Sem tapete rolante
Infinity Lt2100 esq. tapete	855 × 1100 × 2100	Com tapete rolante
Infinity Tt2100 esq. tapete	855 × 1100 × 2100	Com tapete rolante
Infinity Ft2100 esq. tapete	855 × 1100 × 2100	Com tapete rolante
Infinity T1900 esq. estática	855 × 1100 ×1900	Sem tapete rolante
Infinity L1900 esq. estática	855 × 1100 × 1900	Sem tapete rolante
Tandem infinity T3150 (L1900+T1900)	855 × 1100 × 3150	Sem tapete rolante

Carros de compras

Tabela 1. Factores modificadores

B. Densidade	C. Forma	D. Risco	E. Condição
---	Muito plano e empilhável ou possível de guardar em conjuntos (folhas de papel ou metal)	---	---
Muito leve (folha de metal)	Fácil de empilhar ou guardar em conjuntos (blocos de papel, pratos)	Não susceptível sofrer ou causar qualquer tipo de dano (ferro velho)	---
Leve (papel canelado)	Razoavelmente empilhável ou fácil de guardar em conjuntos (livros, chávenas)	Susceptível a pouquíssimos danos (blocos de aço)	---
Razoavelmente sólido (bloco de madeira)	Basicamente regular ou algo irregular (sacos de cereais)	Levemente susceptível a danos (bloco de madeira)	Limpo, firme e estável (bloco de madeira)
Razoavelmente pesado e denso (macho de fundição)	Comprido, arredondado ou algo irregular (sacos de grão e barras curtas)	Susceptível a danos produzidos por esmagamento, fracturas ou arranhões (obras de arte)	Oleoso, fraco, instável ou de difícil manuseio (aparas de madeira ou metal oleosas)
Pesado e denso (peça forjada)	Muito grande, esférico ou irregular (mesas)	Bastante susceptível a danos (ecrãs de televisão)	Coberto com lubrificante, quente, muito delicado ou escorregadio e de manuseio muito difícil
Muito pesado e denso (moldes, lingotes de chumbo)	Extremamente grande, curvo ou altamente irregular (vigas de aço)	Muito susceptível a danos (peças de cristal)	(superfícies pontiagudas)
---	Extremamente grande e curvo ou extremamente irregular (tubos moldados, mobiliário)	Altamente susceptível a danos (ácido em garrafas, explosivos)	(aço fundido)

GLICKMAN, Rick; SCHEMMEL, Jim - MTAC Summary. Washington, United States Postal Service, 1997. Consultado a 20 de Maio de 2006.

KIM, David S. - The Ten Principles of Material Handling. Corvallis, Oregon State University, 2005. Consultado a 20 de Maio de 2006.

MUTHER, Richard – Planejamento do Layout: Sistema SLP. São Paulo, Edgar Blücher, 1978.

WIKIPÉDIA - Stock Keeping Unit. Consultado a 23 de Maio de 2006.

Estantes centrais (duas frentes):

Modelo	Altura ´ Profundidade ´ Largura (mm)	Número e Profundidade das Prateleiras (mm)	Número ´ Altura entre Prateleiras (mm) Tipo de Forros
1430-501-1000	1430 ´ 500 ´ 1000	8 ´ 500	6 ´ 420 lisos
1430-505-1000	1430 ´ 500 ´ 1000	2 ´ 500 + 2 ´ 400	2 ´ 420 lisos + 4 ´ 420 perfurados
1640-503-1000	1640 ´ 500 ´ 1000	2 ´ 500 + 4 ´ 400	2 ´ 210 + 6 ´ 420 lisos
1430-502-1000	1430 ´ 500 ´ 1000	2 ´ 500 + 8 ´400	6 ´ 420 lisos
1640-501-1000	1640 ´ 500 ´ 1000	8 ´ 500	2 ´ 210 lisos + 6 ´ 420 perfurados
1640-504-1000	1640 ´ 500 ´ 1000	2 ´ 500 + 4 ´ 400	2 ´ 210 + 4 ´ 420 lisos + 2 ´ 420 perfurados
1430-503-1000	1430 ´ 500 ´ 1000	2 ´ 500 + 6 ´ 400	6 ´ 420 lisos
1640-502-1000	1640 ´ 500 ´ 1000	2 ´ 500 + 8 ´ 400	2 ´ 210 + 6 ´ 420 lisos
1640-505-1000	1640 ´ 500 ´ 1000	2 ´ 500 + 2 ´ 400	2 ´ 210 + 2 ´ 420 lisos + 4 ´ 420 perfurados
1430-504-1000	1430 ´ 500 ´ 1000	2 ´ 500 + 4 ´ 400	4 ´ 420 lisos + 2 ´ 420 perfurados

Nem sempre se verificam, no processos de chegada e atendimento, distribuições Exponenciais Negativas. No caso do atendimento, se as necessidades de serviço dos clientes são muito semelhantes a distribuição dos tempos de atendimento desvia-se muito da forma Exponencial.

O modelo M/G/1 não impõe quaisquer restrições à distribuição dos tempos de serviço. Basta determinar a média, 1 / μ, e a variância, σ², dessa distribuição.

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onde:

Fonte de Entrada – modela o processo de chegada dos clientes (M/G/1 = Poisson);
Fila – modela o lugar onde os clientes aguardam pelo serviço;
Disciplina da Fila – critério para escolher a ordem pela qual os clientes na fila são atendidos (M/G/1 = o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido, FIFO);
Mecanismo de Atendimento – ou Serviço, modela o sistema de atendimento dos clientes (M/G/1 = um servidor).

No estado estacionário, um sistema M/M/1 pode ser analisado utilizando as relações matemáticas que se seguem.



Características do modelo M/G/1

Chegadas com distribuição de Poisson;
Taxa = λ clientes / u. tempo; População = ∞; Fila máxima = ∞.

Tempo de atendimento qualquer variável aleatória;
Média = 1 / μ; Variância = σ²; Servidores = 1.

Condição de equilíbrio λ / μ = ρ < 1
Taxa de ocupação = ρ; Taxa de desocupação = 1 - ρ


L = L_q + (λ / μ) = L_q + ρ

L_q = (λ² σ² + ρ²) / 2 (1 - ρ)

W = L / λ = W_q + (1 / μ)

W_q = L_q / λ


P₀ = 1 - ρ (taxa de desocupação)

P_n = ρⁿ P₀

P (n > k) = ρ^{k + 1}

Dentro de um hipermercado, as filas de espera na zona do talho, charcutaria, peixaria, padaria, refeições rápidas e atendimento ao cliente, entre outras, funcionam com senhas cujo número é chamado sequencialmente. O modelo M/M/S pode ser utilizado, numa primeira aproximação, para estudar os sistemas de filas de espera deste serviços. Este modelo podetambém ser utilizado para estudar os sistemas de filas de espera dos camiões de carga e descarga, nos cais dos centros de distribuição ou dos hipermercados.

A estrutura básica de um sistema M/M/S é a seguinte (com S = 3):

(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)
onde:

Fonte de Entrada – modela o processo de chegada dos clientes (M/M/S = Poisson);
Fila – modela o lugar onde os clientes aguardam pelo serviço;
Disciplina da Fila – critério para escolher a ordem pela qual os clientes na fila são atendidos (M/M/s = o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido, FIFO);
Mecanismo de Atendimento – ou Serviço, modela o sistema de atendimento dos clientes (M/M/S = S servidores).

No estado estacionário, um sistema M/M/S pode ser analisado utilizando as relações matemáticas que se seguem.


Características do modelo M/M/S

Chegadas com distribuição de Poisson;
Taxa = λ clientes / u. tempo; População = ∞; Fila máxima = ∞.

Tempo de atendimento com distribuição Exponencial negativa;
Taxa = μ clientes / u. tempo, (por servidor); Servidores = S

Condição de equilíbrio: λ / Sµ = ρ = < 1
Taxa de ocupação = ρ; Taxa de desocupação = 1 – ρ

L = L_q + (λ / μ)

L_q = P₀ (λ / μ)^s ρ / S! (1 - ρ)²

W = L / λ = W_q + (1 / μ)

W_q = L_q / λ


P₀ = 1 / {∑^{S - 1} [(λ / μ)ⁿ / n!] + [(λ / μ)^S / S!] × 1 / (1 - ρ)}

P_n = P₀ (λ / μ)ⁿ / n!, se 0 ≤ n ≤ S

P_n = P₀ (λ / μ)ⁿ / S! S^{n - S}, se n ≥ S

P {W > t} = e^{-µ t} {1 + [P₀ (λ / μ)^S / S! ( 1 - ρ)] [(1 - e^{-µ t (S - 1 - λ / μ)}) / (S - 1 - λ / μ)]}, t ≥ 0

P {W_q > t} = [1 - P {W_q = 0}] e^{S μ} (1 - ρ) t, t ≥ 0

P {W_q = 0} = ∑^{S - 1} P_n