Logística 2006

Seminário Moodle@FCTUNL

Distância média percorrida por dois produtos num armazém com duas portas do mesmo lado

Distância média percorrida num armazém com duas portas do mesmo lado

Distância média percorrida por dois produtos num armazém com uma porta

Cálculo da distância média percorrida num armazém

Regiões de armazenagem dedicada para dois produtos

Configuração contínua de armazém

Dimensionamento de armazém com base nos custos

SLP de unidade produtiva (II)

SLP de unidade produtiva (I)

Selecção do tipo de layout por análise do ponto de equilíbrio

Planeamento do layout de armazém

Layout óptimo com armazenagem dedicada

Afectação de produtos a locais de armazenagem dedicada

Armazenagem aleatória vs dedicada

Filas de espera (M/M/1): sensibilidade a μ

Filas de espera (M/M/S): funcionamento de cais de armazém

Localização minisoma de centro de distribuição / hipermercado: distâncias Euclideanas ao quadrado, linhas de isocusto

Filas de espera: M/M/S vs S sistemas M/M/1

Filas de espera (M/G/1): variabilidade do serviço

A falta de dados para abordagens analíticas de localização

Localização de uma instalação linear

Afectação quadrática (II)

Filas de espera (M/G/1): medidas de desempenho

Classificação de problemas de localização de centro de distribuição / hipermercado numa rede

Distância ponto-arco numa rede

Algoritmo da encomenda dinâmica incremental

Distância nó-arco numa rede

Afectação quadrática (I)

Localização central de centro de distribuição/ hipermercado numa rede em árvore (IV)

Quantidade a encomendar periodicamente

Algoritmo da encomenda dinâmica

Controlo de qualidade: diagrama de Pareto

Localização central de centro de distribuição / hipermercado numa rede em árvore (III)

Inputs de transporte: um centro consumidor e dois produtores

Inputs de transporte: equilíbrio locacional

Inputs de transporte: um centro consumidor e um produtor

Distância ponto-nó numa rede

Localização minisoma de centro de distribição / hipermercado: distâncias Euclideanas ao quadrado

Afectação linear

Indicadores de eficiência operacional: produção

Indicadores de eficiência operacional: armazenagem

Indicadores de eficiência operacional: recepção e expedição

Equipamentos para hipermercados (V)

Localização de hipermercado em relação a áreas urbanas

Controlo de qualidade

Afectação-localização de centros de distribuição

Selecção sistemática de local para uma instalação (X)

Selecção sistemática de local para uma instalação (IX)

Selecção sistemática de local para uma instalação (VIII):

Selecção sistemática de local para uma instalação (VII)

Selecção sistemática de local para uma instalação (VI)

Indicadores de controlo de gestão: perdas

Heurística de Silver-Meal

Stocks de segurança (II)

Indicadores de controlo de gestão: movimentação

Indicadores de controlo de gestão: materiais

Indicadores de utilização de recursos: energia

Afectação-localização discreta de centros de distribuição

Equipamentos para hipermercados (IV)

Valor da mão de obra directa (II)

Projecto de AS /RS (VIIIa)

Projecto de AS/RS (VIIIb)

Valor da mão de obra directa (I)

Os triângulos locacionais e de peso (II)

Os triângulos locacionais e de peso (I)

Os transportes como factor locacional (II)

Os transportes como factor locacional (I)

Modelos de dispersão espacial (III)

Filas de espera (M/M/S): sensibilidade a S

Valor dos consumos anuais de matérias primas, consumíveis e mercadorias (III)

Localização central absoluta geral de centro de distribuição / hipermercado numa rede

Localização mediana absoluta de centro de distribuição / hipermercado numa rede

Algoritmo de Wagner-Whitin

2006-06-10T09:15:00.000+01:00

2006-06-10T09:12:00.000+01:00

Quarta-feira, 28 de Junho de 2006

Local e Hora: Ed. VII, sala 1.14, das 14:30 às 17:30

Objectivos
- Apresentar e discutir alguns exemplos relevantes do uso da tecnologia na educação pelos professores e alunos da FCTUNL.
- Reflectir sobre o papel das tecnologias no ensino e na aprendizagem e o seu potencial na FCTUNL.
Programa
- Cada apresentação demorará cerca de 10 min, seguida de 10 min de discussão.

15:35-16:00 – Alunos de Logística (Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial)
Blogs e aprendizagem

2006-06-10T08:17:00.000+01:00

Considere-se o exemplo anterior, mas com várias classes de produtos. Então para o produto j:

q (k_j) = k_j² - 0,25 c²

r (B_j) = (B_j + 0,25 c²)^½

onde B_j = A₁ + ... + A_j. Para o caso de três classes de produtos, a distância média percorrida é dada por:

Suponha-se são feitas 100 movimentações por hora e que o espaço total necessário são 10 000 ft². Os produtos da Classe I representam 75% das movimentações e 15% das necessidades de espaço; os produtos da Classe II representam 20% das movimentações e 35% do espaço de armazenagem; e os produtos da classe II representam 5% das movimentações e 50% do espaço. Fazendo T₁ = 75, A₁ = 1 500, T₂ = 20, A₂ = 3 500, T₃ = 5 e A₃ = 5 000, as razões entre as movimentações e os espaços para as três classes de produtos são 0,05, 0,0057 e 0,001. Com c = 20 ft, a distância média percorrida para as três classes é de 3 677,49 ft/hora.

Para estabelecer um limite superior para o espaço necessário em armazenagem aleatória resultar na mesma distância média percorrida em armazenagem dedicada das três classes de produtos, faz-se a distância média percorrida por uma classe de produtos de área desconhecida igual à distância média percorrida pelas três classes de produtos. Então, da última equação da entrada anterior, com c = 20 ft, T = 100 por hora e E [R] = 3 677,49 ft/hr,

100 [(4 A_rs + 20²)^½ - 20³] / (12 A_rs) = 3 677,49

Resolvendo em ordem a A_rs por métodos numéricos resulta um valor aproximado de 2 771,86 ft². Portanto, com base nos resultados obtidos, para um armazém com duas portas do mesmo lado e três classes de produtos com as razões entre as movimentações e o espaço dadas, em comparação com os 10 000 ft² para a armazenagem dedicada, o espaço necessário para a armazenagem aleatória não pode exceder 27,72% da área do sistema de armazenagem dedicada para se obter o mesmo valor para a distância média percorrida.

FRANCIS, Richard L.; et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

2006-06-10T08:16:00.000+01:00

Suponha-se que a região de armazenagem se localiza no primeiro e quarto quadrantes, duas portas (P₁ e P₂) se localizam ao longo do eixo dos y's separadas pela distância c, a movimentação rectilinear de/para o armazém tem igual probabilidade de ocorrência para cada porta e é necessária uma área de armazenagem A.

Na Figura 1, r é a distância rectilinear desde a intersecção da linha de isocusto com o eixo dos y's à porta mais próxima. A linha de isocusto envolve uma área de

A = r (c + r)

A linha de contorno é um trapézio cuja área é dada por

A = h × (a + b) / 2

onde a é o comprimento da base menor, b o comprimento da base maior e h a altura do trapézio. Assim, a área limitada pela linha de isocusto da Figura 1 pode ser expressa como

r × (c + 2 × r + c) / 2 = r (c + r)

Resolvendo em ordem a r tem-se

0,5 [(4 A + c²)^½ - c]

Se um peso de 0,5 for associado a cada porta, a relação entre r e k, o valor da linha de isocusto, é dada por

k = 0,5 r + 0,5 (r + c )

ou

r = k - 0,5 c

Figura 1. Região de armazenagem contínua com duas portas

Substituindo r, na primeira equação, pelo valor de r dado pela última equação, obtém-se

A = (k - 0,5 c) × (k + 0,5 c)

ou

A = k² - 0,25 c² = q (k)

Para além disso, resolvendo para k como uma função de A,

k = (A + 0,25 c²)^½ = r (A)

e

r (0) = 0,5 c

A distância média percorrida é dada por

Suponha-se que a área de armazenagem delimitada pela linha de isocusto tem 10 000 ft², que as portas estão separadas por uma distância de 20 ft e são feitas 100 operações de entrada / saída por hora. Para c = 20 ft, T = 100 por hora e A = 10 000 ft², E [R] = 6 760,25 ft/hora.

FRANCIS, Richard L.; et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

2006-06-10T08:15:00.000+01:00

Considere-se o exemplo anterior com dois produtos, 1 e 2. As necessidades de espaço são, respectivamente, S₁ = 2 500 ft² e S₂ = 2 400 ft². As movimentações são, respectivamente, T₁ = 100 e T₂ = 50 por dia. As áreas de armazenagem dos dois produtos num espaço com uma única porta são ilustradas na Figura 1.

Figura 1. Armazenagem de dois produtos numa área com uma única porta

Por extensão dos resultados para um único produto, a distância média percorrida é dada por

onde T₁ e T₂ são os valores das movimentações dos produtos 1 e 2, respectivamente.

Os limites do segundo integral resultam da linha de isocusto que limita a região do produto 2 tomar os valores expressos em termos da área total de armazenagem envolvida. Desta forma, as linhas de contorno para o produto 2 variam em valor desde o máximo para o produto 1 até um valor que coincide com a envolvente das áreas conjuntas dos dois produtos. Assim sendo,

FRANCIS, Richard L.; et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

2006-06-10T08:14:00.000+01:00

No caso de locais de armazenagem discretos, a distância média percorrida, dentro da zona de armazenagem, pode ser determinada somando as distâncias médias de cada produto. Esta distância pode ser determinada somando as distâncias percorridas de e para todos os locais de armazenagem afectados a um produto, dividindo a soma pelo número de locais afectados ao produto e multiplicando o resultado pelo número médio de movimentações efectuadas por período de tempo, pelo produto. De forma semelhante, no caso de armazenagem contínua, a distância média, para uma região de armazenagem dedicada a um produto, pode ser obtida integrando a região de armazenagem e multiplicando o resultádo pela razão entre o número de movimentações e o espaço afectado ao produto.

Em alternativa à integração sobre toda a região, é possível integrar ao longo das linhas de isocusto que definem a região. Para fazer isso, é necessário desenvolver uma relação funcional entre o valor de uma linha de isocusto e a área que envolve. Para facilitar a descrição da abordagem da «integração pela linha de isocusto», considere-se a Figura 1, envolvendo a utilização de armazenagem aleatória.

Figura 1. Layout de armazenagem contínua

A região de armazenagem é servida por um única porta, localizada na origem; a região de armazenagem está contida no primeiro e quarto quadrantes; supõe-se que as movimentações são rectilineares.

Como se mostra na Figura 1, a linha de isocusto resultante é um triângulo. Escolhendo uma linha de isocusto arbitrária qualquer de valor k, a área envolvida (A) é igual a k². Portanto,

A = k² = q (k)

q (k) é a relação funcional entre A e k; especificamente, é a área de um conjunto de nívelde valor k. Mais ainda, invertendo a equação anterior,

k = A^½ = r (A)

r (A) é a função inversa que relaciona k com A e determina-se resolvendo q (k) em ordem a k. A função inversa de r (t) pode ser calculada a partir de A = q (r (t)). Por exemplo, q (k) = k² resulta em A = r (A)² ou r (A) = A^½.

Geralmente, à medida que uma linha de isocusto varia do valor mínimo ao máximo, a área envolvida varia do valor mínimo ao valor A. Neste caso, o valor mínimo da linha de isocusto pode ser obtido a partir da equação anterior, fazendo A igual a zero; o valor máximo pode ser obtido igualando a mesma equação à área de armazenagem a envolver.

No exemplo da Figura 1 a área limitada é de 152 000 ft². Aplicando a equação k = A^½ = r (A), o valor mínimo da linha de isocusto é zero e o valor máximo é 389,8717 ft. Para calcular a distância média percorrida, pode-se usar a seguinte expressão com um integral simples:

onde E[R] é a distância média percorrida na região de armazenagem R, T é o número de «viagens» de e para o armazém por unidade de tempo (i.e., as movimentações), f (X) é a distância média por viagem de ou para o ponto X, e q' (k) é a primeira derivada de q (k) em ordem a k.

Para explicar a equação anterior, note-se que a função distrubição para a distância percorrida é dada por q (k) / A; portanto a função densidade é dada por q' (k) / A para r (0) ≤ k ≤ r (A). Portanto a distância média percorrida é como indicado acima.

Para ilustrar o uso da equação anterior no cálculo da distância média percorrida, considere o exemplo da Figura 1. Aplicando a equação anterioir temos:
Portanto, para a movimentação de uma unidade por minuto e uma área de 152 000 ft², E[R] = 259,9145 ft/min.

FRANCIS, Richard L.; et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

2006-06-10T08:13:00.000+01:00

Considerem-se dois produtos, 1 e 2. As necessidades de espaço são, respectivamente, S₁ = 2 500 ft² e S₂ = 2 400 ft². As movimentações são, respectivamente, T₁ = 100 e T₂ = 50 por dia. T₁ / S₁ = 0,04 e T₂ / S₂ = 0,021. Como (T₁/ S₁) > (T₂ / S₂) o produto 1 é colocado no layout primeiro. Para delimitar a zona ocupada pelo produto 1 é necessário construir uma linha de isocusto que delimite a área de 2 500 ft². Existe uma única porta, localizada ao longo do eixo y's e a região de armazenagem deve ocupar apenas o primeiro e quarto quadrantes. Então uma região de armazenagem triangular com 100 ft de base e 50 ft de profundidade ou altura é afectada ao produto 1. A união das duas áreas de armazenagem é também limitada por uma linha de isocusto triangular. Como as duas áreas combinadas somam 4 900 ft², esta área deve ser limitada por uma linha de isocusto triangular com 140 ft de base e 70 ft de altura, como se mostra na Figura 1.

Figura 1. Áreas de armazenagem de produtos com uma única porta

FRANCIS, Richard L.; et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

2006-06-10T08:12:00.000+01:00

Em várias situações práticas o projecto de layout é para mum armazém já existente. Para ilustrar a abordagem seguida, considere-se um armazém com as dimensões 200 ft × 150 ft com uma única porta localizada como se mostra na Figura 1.

Figura 1. Planta de armazém

É utilizada armazenagem aleatória e o espaço necessário é de 18 000 ou 27 500 ft². Supõe-se que a probabilidade da movimentação de um artigo entre a porta e qualquer ponto no espaço de armazenagem é a mesma e supõe-se que as deslocações são rectilineares.

Construindo curvas de nível dentro do armazém existente resulta em três famílias diferentes de formas geométricas, cono se mostra na Figura 2.

Figura 2. Linhas de isocusto para um armazém existente

A linha de isocusto de menor valor tem forma triangular e é aplicável a áreas que não excedam 10 000 ft²; o conjunto seguinte de linhas de isocusto aplica-de a áreas entre 10 000 ft² e 20 000 ft²; e o último conjunto de linhas de isocusto aplica-se a áreas de armazenagem entre 20 000 ft² e 30 000 ft².

A área de armazenagem (A) delimitada por uma linha de isocusto pode ser expressa como uma função do valor da linha de isocusto (k) da seguinte forma:

No primeiro caso, a curva de nível tem forma triangular com uma base igual a 2 × k e uma altura de k; a área é k² com valores de k a variarem de 0 a 100 ft enquanto a área interior varia de 0 a 10 000 ft².

No segundo caso, começando no ponto onde a linha de isocusto intersecta a parede superior da instalação, a distância da linha de isocusto ao ponto de entrada / saída é a soma de 100 ft percorridos paralelamente ao eixo dos y's e (k - 100) ft percorridos paralelamente ao eixo dos x's. A linha de isocusto varia entre 100 e 150 ft à medida que a ára de armazenagem varia de 10 000 a 20 000 ft². A forma geométrica da linha de isocusto pode ser representada como a união de um rectângulo de dimensões 200 ft × (k - 100) ft e um triângulo de 200 ft de base e 100 ft de altura. Assim, a área limitada pela linha de isocusto é 200 k - 10 000.

No terceiro caso, a área limitada pela linha de isocusto pode ser obtida simplesmente subtraindo a área exterior à linha de isocusto, da área total do edifício. Cada canto do edifício fora da linha de isocusto tem uma forma triangular de dimensões (250 - k) × (250 - k). Então, a área limitada pela linha de isocusto é igual à área do edifício, 30 000, menos a soma das áreas dos dois cantos, (250 - k)². As linhas de isocusto variam entre valores de 150 a 250 ft enquanto a área de armazenagem varia de 20 000 a 30 000 ft².

Fazendo A igual a 18 000 e resolvendo em ordem a k dá um valor de 140 ft (usando a equação A = 200 k - 10 000) e o resultado pode ser observado na Figura 3.

Figura 3. Área de armazenagem de 18 000 ft²

Fazendo A igual a 27 500 e resolvendo em ordem a k dá um valor de 200 ft [usando a equação A = 30 000 - (250 - k²)] e resulta na configuração que pode ser observada na Figura 4.

Figura 4. Área de armazenagem de 27 500 ft²

FRANCIS, Richard L.; et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

2006-06-10T08:11:00.000+01:00

Suponha-se que só se tem que armazenar um artigo. Defina-se um horizonte de planeamento T = 10 períodos de tempo. O custo fixo actualizado por unidade de capacidade de armazagem que se possui, durante o horizonte de planeamento, C₀, é de 20 UM. O valor presente do custo de posse por unidade armazenada no espaço que se possui por período de tempo, C₁, é de 1 UM e num espaço alugado, C₂, é de 4 UM. As necessidades de espaço, ao longo do horizonte de planeamento, são: 4, 6, 8, 10, 9, 8, 7, 6, 5, e 4 para os períodos de tempo 1 a 10, respectivamente.

As procuras por período e por ordem decrescente, as respectivas frequências e soma cumulativa parcial das frequências estão representadas na Tabela 1. C' = C₀ / (C₂ - C₁) = 20 / (4 - 1) = 6,7 e a soma cumulativa parcial das frequências excede 6,7 para uma procura de 6 unidades.

Tabela 1. Determinação da capacidade óptima de armazém

Procura ordenada	Frequência	Soma parcial
10	1	1 < 6,7
9	1	2 < 6,7
8	2	4 < 6,7
7	1	5 < 6,7
6	2	7 > 6,7
5	1	8 > 6,7
4	2	10 > 6,7

A capacidade óptima do armazém é, portanto, de 6 unidades. O custo total resultante é:

20 × 6 + 2 × 4 + 5 + 2 × 6 + (6 + 4) + 2 × (6 + 2 × 4) + (6 + 3 × 4) + (6 + 4 × 4) = 223 UM.

Se a capacidade for de 5 unidades o custo total é de 224 UM e se a capacidade for de 7 unidades o custo total é de 228 UM.

Suponha-se agora um horizonte de planeamento T = 50, com C₀ = 100 UM, C₁ = 4 UM e C₂ = 8 UM. As necessidades de espaço são dadas na Tabela 2.

Tabela 2. Necessidades de espaço de armazenagem

Períodos	Espaço necessário	Períodos	Espaço necessário
	- paletes -		- paletes -
1-5	100	26-30	120
6-10	120	31-35	115
11-15	125	36-40	110
16-20	130	41-45	105
21-25	125	46-50	100

Neste caso C' = 100 / (8 - 4) = 25. Na Tabela 3, a soma parcial é igual a 25 quando a procura é igual a 120. Dado que a soma parcial é igual a C', há múltiplas soluções óptimas, nomeadamente, 115 ≤ Q ≤ 120.

Tabela 3. Determinação da capacidade optima de armazém

Procura ordenada	Frequência	Soma parcial
130	5	5 < 25
125	10	15 < 25
120	10	25 = 25
115	5	30 > 25
110	5	35 > 25

FRANCIS, Richard L. et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

2006-06-10T08:10:00.000+01:00

A carta de inter-relações para a unidade produtiva é apresentada na Figura 1.

Figura 1. Carta de inter-relações

Com a carta de inter-relações, constrói-se o diagrama de inter-relações. Primeiro, constrói-se o diagrama com as relações do tipo A (Figura 2).

Figura 2. Diagrama com duas relações do tipo A

Em seguida, constrói-se o diagrama com as relações do tipo A e do tipo E (Figura 3), fazendo os rearranjos necessários.

Figura 3. Diagrama com duas relações do tipo A e duas do tipo E

No terceiro passo, constrói-se o diagrama com as relações do tipo A, E e I (Figura 4), fazendo os rearranjos necessários.

Figura 4. Diagrama com duas relações do tipo A, duas do tipo E e 6 do tipo I

No quarto e último passo, é construído o diagrama de inter-relações (Figura 5), fazendo, novamente, os rearranjos necessários.

Figura 5. Diagrama de inter-relações

Com o diagrama de inter-relações com uma disposição dos departamentos satisfatória, desenha-se o diagrama de inter-relações de espaços, tendo em conta os espaços necessários e o espaço disponível que, neste caso, são iguais. O resultado é apresentado na Figura 6.

Figura 6. Diagrama de inter-relações de espaços à escala 1 : 304,8 (1 ft = 1 mm)

Não havendo nenhumas considerações de mudança nos dados, a limitação prática é que para construir uma instalação com os departamentos nesta disposição, é necessário um espaço de 117 × 113 = 13 221 ft², enquanto a soma das áreas de todos os departamentos é 8 000 ft². Há um grande desperdício de espaço e um perímetro irregular, sinónimo de custos mais elevados de manutenção. Condicionando a razão entre as dimensões do departamento C a não ser superior a 2, procede-se da seguinte forma:

L × A = 800 ft²

com

L = largura

A = altura

Então, de

2 A × A = 800

obtém-se:

A = 20 ft e L = 800 / 20 = 40 ft

As dimensões dos outros departamentos são determinadas pela seguinte ordem:

Para que os departamentos E e F fiquem com a mesma largura, faz-se:

f = altura do departamento F

e = altura do departamento E

l = largura comum ao dois departamentos

Resolvendo o sistema de equações:

Um layout alternativo é apresentado na Figura 7.

Figura 7. Um layout final

Este layout não deve ser tomado como único, mas sim como uma de várias alternativas de layouts para serem avaliados, posteriormente.

2006-06-10T08:09:00.000+01:00

A empresa Muitos Produtos Lda. fabrica vários produtos. No processamento requerido pelos produtos estão envolvidos seis departamentos. Na Tabela 1 é apresentado um resumo das sequências de processamento necessárias para os 10 principais produtos e os volumes das produções mensais.

Tabela 1. Sequências e volumes de produção

Produto	Sequência de processamento	Produção mensal
1	A B C D E F	800
2	A B C B E D C F	1 000
3	A B E F	600
4	A B C E B C F	2 000
5	A C E F	1 500
6	A B C D E F	400
7	A B D E C B F	2 000
8	A B C B D B E B F	2 500
9	A B C D F	800
10	A B D E F	1 000

Na Tabela 2 são apresentadas as áreas necessárias para cada departamento.

Tabela 2. Áreas dos departamentos

Departamento	Área (ft²)
A	1 000
B	1 200
C	800
D	1 500
E	2 500
F	1 500

Com base nos dados da Tabela 1 constrói-se a carta de - para (Tabela 3), somando os valores dos volumes movimentados de uma secção para outra:

Departamentos	Movimentações
A para B	800 + 1 000 + 600 + 2 000 + 400 + 2 000 + 2 500 + 800 + 1 000 = 11 100
B para C	800 + 1 000 + 2 000 + 2 000 + 400 + 2 500 + 800 = 9 500
B para D	2 000 + 2 500 + 1 000 = 5 500
B para E	1 000 + 600 + 2 500 = 4 100
B para F	2 000 + 2 500 = 4 500
C para B	1 000 + 2 000 + 2 500 = 5 500
C para D	800 + 400 + 800 = 2 000
C para E	2 000 + 1 500 = 3 500
C para F	1 000 + 2 000 = 3 000
D para E	800 + 400 + 2 000 + 1 000 = 4 200
E para B	2 000 + 2 500 = 4 500
E para F	800 + 600 + 1 500 + 400 = 3 300

Tabela 3. Carta de - para

de - para	B	C	D	E	F
A	11 100	1 500
B		9 500	5 500	4 100	4 500
C	5 500		2 000	3 500	3 000
D	2 500	1 000		4 200	800
E	4 500	2 000	1 000		3 300
F

A partir da carta de - para, resume-se a informação numa carta de movimentações entre os departamentos, apresentada na Figura 1.

Figura 1. Tabela de movimentações entre departamentos

Com a tabela de movimentações construída, classifica-se a intensidade do fluxo entre os departamentos em cinco classes; A, E, I, O, U por ordem decrescente de importância (Figura 2):

Figura 2. Classificação do fluxo

Com o fluxo classificado por intensidade, pode-se, então, construir a carta de inter-relações.

2006-06-10T08:08:00.000+01:00

A Task Masters Lda. fabrica produtos para segurança. A gestão está a considerar a opção de construir um novo edifício para satisfazer o que parce ser um aumento sustentado da procura de algemas em algumas cidades grandes. A gestão tem que optar entre comprar as algemas a outra empresa e usar o novo edifício para testes de controlo de qualidade, pintura do logotipo da empresa, embalagem e similares; ou usar o novo edifício para produção com um layout do tipo produto ou processo.

Para ajudar na decisão, foi recolhida a seguinte informação

Alternativas	Custos fixos	Custo unitário*


	- UM / ano -	- UM -
Comprar	50 000	10
Produção com layout tipo processo	75 000	7
Produção com layout tipo produto	110 000	4

* Linear até às 50 000 unidades por ano, o valor máximo previsto para a procura

Para resolver este problema, começa-se por determinar as equações que exprimem o custo total (y_i) de cada alternativa (i), em função da quantidade produzida (x):

y₁ = 50 000 + 10 x
y₂ = 75 000 + 7 x
y₃ = 110 000 + 4 x

Onde 1 é a alternativa de comprar; 2, produzir com um layout tipo processo; e 3, produzir com um layout tipo produto.

As três equações acima podem ser representadas graficamente, como se mostra na Figura 1. dado que os menores custos se encontram nos segmentos de recta mais baixos, os pontos de equilíbrio são na intersecção das equações de y₁ com y₂ e y₂ com y₃.

Figura 1. Relação entre o custo e a quantidade produzida anualmente para os layouts alternativos
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

O valor de x na intersecção entre y₁ e y₂ pode ser obtido resolvendo a equação

50 000 + 10 x = 75 000 + 7 x

de onde x = 8 33(3) unidades / ano

O valor de x na intersecção entre y₂ e y₃ é dado por

75 000 + 7 x = 110 000 + 4 x

portanto, x = 11 66(6) unidades / ano.

Pode, então, concluir-se que para:

x ≤ 8 33(3) unidades / ano, a alternativa de menor custo é comprar a outra empresa; para

8 33(3) ≤ x ≤ 11 66(6) unidades / ano, produção com um layout tipo processo; e para

x ≥ 11 66(6) unidades / ano, produção com um layout tipo produto.

OLSEN, Robert A. - Manufacturing Management: A Quantitative Approach, Scranton, PA, International Textbook, 1968, p. 314.

2006-06-10T08:07:00.000+01:00

As distâncias podem ser minimizadas guardando os artigos em áreas de armazenagem em profundidade e posicionando os materiais de forma a minimizar a distância total percorrida. Conforme é ilustrado na Figura 1, armazenando os artigos em áreas de armazenagem em profundidade, a distância percorrida será menor do que se os materiais forem armazenados em áreas sem profundidade.

Figura 1. Impacte da armazenagem em profundidade na distância percorrida
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

A centralização das operações de recepção e expedição, também tem influência nos custos de operação do armazém, como se pode observar na Figura 2.

Figura 2. Impacte da centralização da recepção/expedição
conjugada com a armazenagem dedicada por classes
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

TOMPKINS, James A.; WHITE, John A. - Facilities Planning, Nova Iorque, John Wiley & Sons, 1984.

2006-06-10T08:06:00.000+01:00

Considere-se um armazém cuja planta é ilustrada na Figura 1.

Figura 1. Planta de um armazém

Os locais para armazenagem têm dimensões de 20 × 20 pés. As portas P₁ e P₂ são para camiões e as portas P₃ e P₄ são para vagões de caminho de ferro. É usada armazenagem dedicada. Sessenta por cento de todas as movimentações do armazém são feitas pelas portas P₁ e P₂, tendo cada porta a mesma probabilidade de ser usada. Quarenta por cento de todas as movimentações do armazém são divididas igualmente pelas portas P₃ e P₄.

Neste armazém vão ser armazenados três produtos, A, B e C, com um único tipo de produto armazenado no mesmo local. O produto A necessita de 3 600 pés² de espaço de armazenagem e é movimentado à taxa de 750 unidades de carga por mês; o produto B necessita de 6 400 pés² de espaço de armazenagem e é movimentado à taxa de 900 unidades de carga por mês; o produto C necessita de 4 000 pés² e é movimentado à taxa de 800 unidades de carga por mês.

A distância apropriada é a rectilinear, medida entre as portas e os centróides dos locais de armazenagem. Os valores de f_k (distância média do local de armazenagem k às portas) estão apresentados na Figura 2. Para exemplificar o cálculo de um f_k, suponha-se que k = 29. Medindo as distâncias rectilineares do centróide do local de armazenagem 29 a cada uma das quatro portas tem-se d_{1, 29} = 120, d_{2, 29} = 100, d_{3, 29} = 100 e d_{4, 29} = 80. Então,

f₂₉ = 0,3 (120) + 0,3 (100) + 0,2 (100) + 0,2 (80) = 102

Figura 2. Distância média de cada local de armazenagem k às portas

O número de locais de armazenagem necessário para cada produto é S_A = 3 600 / 400 = 9, S_B = 16 e S_C = 10. Os valores de T_j são T_A = 750, T_B = 900, T_C = 800. Portanto, os valores de T_j / S_j são T_A / S_A = 83 1/3, T_B / S_B = 56,25 e T_C / S_C = 80. Então os produtos são numerados 1(A), 2(C) e 3(B).

O produto 1(A) necessita de 9 locais de armazenagem; então, os locais de armazenagem afectados ao produto A são [17, 18, 19, 9, 25, 20, 10, 26, 21]. O produto 2(C) necessita de 10 locais de armazenagem; então, [11, 27, 22, 12, 28, 23, 13, 29, 24, 1] são afectados ao produto C. O produto 3(B) necessita de 16 locais de armazenagem; então, o produto B é afectado aos locais de armazenagem [14, 30, 33, 2, 15, 31, 34, 3, 16, 32, 35, 4, 36, 5, 37, 6]. Os locais 7, 8, 38, 39 e 40 ficam disponíveis para armazenar equipamento, sanitários, escritórios e outros.

Um layout que minimiza a distância média percorrida por unidade de tempo é mostrado na Figura 3. É importante salientar que o layout apresentado não é o único que minimiza a distância média percorrida por unidade de tempo, nem necessariamente o layout final. Nada mais foi considerado, para além da distância média percorrida; a utilização desta abordagem da armazenagem dedicada deve ser examinada em cada aplicação em particular. No entanto, o layout serve de base para a avaliação de outras configurações.

Figura 3. Layout que minimiza a distância média percorrida por unidade de tempo

TOMPKINS, James A.; WHITE, John A. - Facilities Planning, Nova Iorque, John Wiley & Sons, 1984.

2006-06-10T08:05:00.000+01:00

A configuração óptima dos produtos em armazenagem dedicada envolve a afectação dos produtos aos locais de armazenagem. As distâncias rectilineares são consideradas apropriadas e é usada a seguinte notação:

q	=	número de locais de armazenagem
n	=	número de produtos
m	=	número de locais de entrada/saída (cais e/ou portas)
S_j	=	número de locais de armazenagem necessários para o produto j
T_j	=	número de entradas e saídas do armazém do produto j, isto é, as movimentações do produto j
p_i	=	percentagem das entradas/saídas do armazém pelo ponto de entrada/saída i
d_ik	=	distância (ou tempo) que é necessário percorrer do ponto i ao local de armazenagem k
x_jk	=	1 se o produto j é afectado ao local de armazenagem k; caso contrário, 0
f(x)	=	distância (ou tempo) média percorrida

O problema do layout do armazém pode ser formulado da seguinte forma:

Minimizar

sujeito a:

Supõe-se que cada artigo tem igual probabilidade de se movimentar entre o ponto de entrada/saída ou porta i e qualquer local de armazenagem afectado ao artigo j. Portanto, o valor de (1 / S_j) é a probabilidade de um local de armazenagem em particular afectado ao produto j ser escolhido para a movimentação de saída/entrada por uma porta. Fazendo

onde f_k é a distância média percorrida entre o local de armazenagem k e as portas.

Para minimizar a distância média total percorrida, procede-se do seguinte modo:

Numerar os produtos de acordo com o valor de T_j / S_j, de forma que

Calcular os valores de f_k para todos os locais de armazenagem.

Afectar o produto 1 aos S₁ locais de armazenagem que têm os menores valores de f_k; afectar o produto 2 aos S₂ locais de armazenagem que têm os menores valores de f_k seguintes e assim sucessivamente.

TOMPKINS, James A.; WHITE, John A. - Facilities Planning, Nova Iorque, John Wiley & Sons, 1984.

2006-06-10T08:04:00.000+01:00

Para ilustar o efeito do método de armazenagem nas necessidades de espaço, suponha-se que seis produtos são recebidos num armazém. As existências de cada um dos produtos no final de cada período são as apresentadas na Tabela 1. O valor agregado das existências obtém-se somando as existências dos seis produtos.

Tabela 1 - Existências de seis produtos em armazém, expressos em paletes de produto


	Produtos

Período	1	2	3	4	5	6	Agregado

1	24	12	2	14	11	12	73
2	22	9	8	8	10	9	66
3	20	6	6	4	9	6	51
4	18	3	4	24	8	3	60
5	16	36	2	20	7	24	105
6	14	33	8	16	6	21	98
7	12	30	6	12	5	18	83
8	10	27	4	8	4	15	68
9	8	24	2	4	3	12	53
10	6	21	8	24	2	9	70
11	4	18	6	20	1	6	55
12	2	15	4	16	24	3	64
13	24	12	2	12	23	24	97
14	22	9	8	8	22	21	90
15	20	6	6	4	21	13	70
16	13	3	4	24	20	15	79
17	16	36	2	20	19	12	105
18	14	33	8	16	13	9	93
19	12	30	6	12	17	6	83
20	10	27	4	8	16	3	68
21	8	24	2	4	15	24	77
22	6	21	8	24	14	21	94
23	4	18	6	20	13	18	79
24	2	15	4	16	12	15	64

Soma dos níveis máximos de existências individuais Nível máximo do valor agregado das existências Nível médio do valor agregado das existências Nível mínimo do valor agregado das existências							= 140 = 105 = 77,5 = 51

Os níveis máximos das existências de cada um dos seis produtos são:

Produto 1: 24
Produto 2: 36
Produto 3: 8
Produto 4: 24
Produto 5: 24
Produto 6: 24

Com armazenagem dedicada o espaço necessário é igual à soma dos valoes máximos das existências de todos os produtos, ou seja espaço para 140 paletes. Com armazenagem aleatória o espaço necessário é igual ao máximo do valor agregado das existências. isto é, espaço para 105 paletes. Neste exemplo, a armazenagem dedicada necessita de mais um terço do espaço necessário com armazenagem aleatória.

TOMPKINS, James A.; WHITE, John A. - Facilities Planning, Nova Iorque, John Wiley & Sons, 1984.

2006-06-09T19:04:00.000+01:00

Um armazém de um hipermercado recebe camiões com encomendas que são descarregados usando empilhadoras. Um levantamento de dados realizado no local permitiu concluir que os camiões chegam seguindo uma distribuição de Poisson, a uma taxa de 16 camiões / dia; os tempos de descarga seguem uma distribuição Exponencial Negativa, com médias que dependem do número de empilhadoras utilizadas:


N.º de empilhadoras	Tempo de descarga
	(1 / µ)

	--- minutos ---
1	50
2	20
3	15
4	12
5	10

A operação das empilhadoras tem um custo de 15 UM / hora e a imobilização dos camiões acarreta um encargo de 30 UM / hora.

1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/1, com λ = 2 camiões / hora.

A taxa de serviço ou taxa de descarga (µ) vai depender da decisão tomada sobre o número de empilhadoras.

2) Verificação da condição de equilíbrio: λ / µ < 1 ⇒ µ > 2 ⇒ Número de empilhadoras ≥ 2

Com uma empilhadora, a taxa de descarga é inferior à taxa de chegada, o que leva ao crescimento ilimitado da fila, nunca se atingindo o estado de equilíbrio.

Com duas ou mais empilhadoras, a condição de equilíbrio (ρ < 1) é satisfeita, permitindo determinar todas as medidas de desempenho para o modelo M / M / 1.

Operando com várias empilhadoras, a fila permanece sempre única, com apenas 1 servidor, devido ao facto das várias empilhadoras descarregam simultaneamente o mesmo camião, traduzindo-se num aumento da velocidade de descarga (aumento de velocidade do servidor ou taxa de serviço, µ).

Na tabela seguinte são indicados, para cada número de empilhadoras, o tempo médio de descarga dado (1 / µ), a taxa de serviço (µ), a taxa de ocupação (ρ = λ / μ), o tempo que, em média, os camiões permanecem no sistema (W) e o número médio de camiões no sistema (L = λ × W)


N.º de empilhadoras	Tempo médio de descarga	Taxa de serviço	Taxa de ocupação	Tempo médio no sistema por camião	Número médio de camiões no sistema
(n)	(1 / µ)	(µ)	(λ / µ)	(W)	(L = λ × W)

	- minutos -	- camiões por hora -		- horas -	- camiões -

1	50	1,20	1,67
2	20	3,00	0,67	1,00	2,00
3	15	4,00	0,50	0,50	1,00
4	12	5,00	0,40	0,33	0,67
5	10	6,00	0,33	0,25	0,50

Para minimizar os custos do sistema, há que determinar o custo de imobilização dos camiões e o custo do serviço, directamente proporcional ao número de empilhadoras utilizadas na descarga.

Na tabela seguinte apresenta-se o custo total em função do número de empilhadoras, permitindo concluir que o custo mínimo, de 75 UM / hora, corresponde a três empilhadoras.


N.º de empilhadoras	Custo de imobilização dos camiões	Custo das empilhadoras	Custo total
(n)	(30 λ w)	(15 n)

	-------------- UM / hora -------------
1	-	-	-
2	60	30	90
3	30	45	75
4	20	60	80
5	15	75	90

2006-06-09T18:38:00.000+01:00

Caso de aplicação

Ao cais de um hipermercado com três docas, chegam camiões com uma distribuição de Poisson a uma taxa de 20 veículos por dia de oito horas. O tempo de carga ou descarga do camião segue uma distribuição exponencial com média de 40 minutos.

1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/3, com taxa de chegadas, λ = 20 veiculos / dia = 2,5 veiculos / hora e taxa de serviço (µ)= 60 / 40 = 1,5 veiculos / hora.

2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / S µ = 2,5 / (3 × 1,5) = 5 / 9 < 1.

As três docas têm, portanto, capacidade para os camiões que se dirigem ao armazém do hipermercado.

Medidas de desempenho

1) Intensidade do tráfego (λ / µ) =
= λ / µ = 2,5 / 1,5 = 5 /3

2) Taxa de ocupação (ρ)=
Taxa média de ocupação do sistema =
Taxa média de ocupação do servidor =
Factor de ocupação do sistema =
ρ = λ / S µ = 2,5 / (3 × 1,5) = 5 / 9

3) Taxa de desocupação (1 - ρ) =
= 1 - ρ = 4 / 9

4) Número médio de camiões no sistema (L) =
L = 2 camiões

5) Número médio de camiões à espera (L_q) =
L_q = 0,4 camiões

6) Tempo médio no sistema (W) =
W = 0,8 horas = 49 minutos

7) Tempo médio à espera (W_q) =
W_q = 0,15 horas = 9 minutos

8) Número médio de camiões a serem servidos (L₃) =
Número médio de cais ocupados (L_b) =
L₃ = 5 / 3 camiões
L_b = 5 / 3 cais

9) Probabilidade de não existir nenhum camião no sistema (P₀) =
P₀ = 17 %

10) Probabilidade de existir algum camião no sistema (P {n > 0}) =
= 1 - P₀ = 83 %

11) Probabilidade de ter que esperar (P_w) =
Probabilidade do sistema estar ocupado (P_b) =
Probabilidade de todos os servidores estarem ocupados =
P_w = P_b = 30 %

12) Probabilidade de não ter que esperar (1 - P_w) =
Probabilidade de um servidor estar desocupado (1 - P_b) =
1 - P_w = 1 - P_b = 70 %

13) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n ≤ 3) estarem ocupados =
Probabilidade de haver n camiões (0 ≤ n ≤ 3) no sistema =

n	0	1	2	3
P_n	0,1727	0,2878	0,2398	0,1332

14) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n ≤ 3) estarem desocupados =
Probabilidade de haver (3 - n) camiões (0 ≤ n ≤ 3) no sistema =

n	3	2	1	0
3 - n	0	1	2	3
P_n	0,1727	0,2878	0,2398	0,1332

15) Número médio de camiões à espera, quando o sistema está ocupado (L_b) =
L_b = 1,25 camiões

16) Número médio de camiões à espera, quando há pelo menos um (L_q | q > 0) =
L_q | q > 0 = 2,25 camiões

17) Tempo médio à espera, quando o sistema está ocupado (W_b) =
Tempo médio à espera, quando se tem de esperar =
W_b = 0,5 horas

18) Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, n camiões no sistema (P_n)

19) Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) camiões no sistema (P {N ≤ n})

20) Probabilidade de haver mais de n camiões no sistema ((P {N > n}) =
1 - Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) camiões no sistema =
1 - (P {N ≤ n})
Probabilidade de haver pelo menos n + 1 (n + 1 ou mais) camiões no sistema (P {N ≥ n + 1})

21) Probabilidade de haver pelo menos n (n ou mais) camiões no sistema (P {N ≥ n})


n	P_n	P {N ≤ n}	P {N ≥ n}	q	P_q	P {Q ≤ q}	P {Q ≥ q}
	(18)	(19)	(21)		(23)	(24)	(25)

0	0,17	0,17	1,00
1	0,29	0,46	0,83
2	0,24	0,70	0,54
3	0,13	0,83	0,30	0	0,13	0,83	0,30
4	0,07	0,91	0,17	1	0,07	0,91	0,17
5	0,04	0,95	0,09	2	0,04	0,95	0,09
6	0,02	0,97	0,05	3	0,02	0,97	0,05
7	0,01	0,98	0,03	4	0,01	0,98	0,03
8	0,01	0,99	0,02	5	0,01	0,99	0,02
9	0,00	1,00	0,01	6	0,00	1,00	0,01
10	0,00	1,00	0,00	7	0,00	1,00	0,00

22) Probabilidade de haver n camiões a serem servidos =
P_n, para 0 ≤ n < S
P_S = 1 - ∑^{(S - 1)}P_n, para n = S

n	0	1	2	3
P_n	0,17	0,29	0,24	0,30

23) Probabilidade de haver 3 camiões a serem servidos e q na fila =
Probabilidade de haver 0, 1, 2, 3,…, q camiões na fila (P {Q = q}) =
P₃, para q = 0
P_q + 1, para q = 1, 2, 3,…

24) Probabilidade de não haver mais de q (q ou menos) camiões na fila (P {Q ≤ q})

25)Probabilidade de haver pelo menos q (q ou mais) camiões na fila (P {Q ≤ q})

Na figura seguinte podem ver-se algumas das medidas de desempenho do problema acima, determinadas numa folha de cálculo pré-programada (McClain, 2003).

(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

2006-06-09T16:41:00.000+01:00

Pelas razões indicadas anteriormente para o problema rectilinear, são de interesse as curvas de nível do problema gravitacional. As curvas de nível do problema gravitacional podem ser obtidas muito facilmente. Considere-se as curvas de nível dadas na Figura 1 para dois casos simples do problema gravitacional. No primeiro caso existe uma instalação. No segundo caso existe igual movimento de artigos entre a instalação nova e cada uma de duas instalações existentes. Consequentemente, é fácil de ver que as curvas de nível serão circunferências concêntricas centradas na localização óptima.

Figura 1.

Agora, como é que se pensa que as curvas de nível serão quando se tem um número qualquer de instalações existentes com movimentação de artigos desigual? Se se suspeitou que as curvas de nível serão ainda circunferências concêntricas centradas na localização óptima, essa intuição é notável, pois é esse o caso. Para se ver porque isto é verdade, note-se que de expressão da função objectivo se quer determinar o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que

k = ∑ w_i [(x - a_i)² + (y - b_i)²]

onde k é uma constante. Consequentemente, expandindo os termos quadrados determina-se que

k = x² ∑ w_i – 2 x ∑ w_i a_i + ∑ w_i a_i² + y² ∑ w_i - 2 y ∑ w_i b_i + ∑ w_i b_i²

Se se fizer

W = ∑ w_i

dividindo a equação anterior por W, e empregando as expressões de x* e y*, determina-se que

k / W = x² - 2 x x* + ∑ (w_i a_i²) / W + y² - 2 y y* + ∑ (w_i b_i²) / W

Adicionando (x*)² e (y*)² a ambos os lados da equação anterior e simplificando, obtém-se a equação de uma circunferência,

r² = (x – x*)² + (y – y*)²

centrada no ponto (x*, y*) com raio

r = [k / W + (x*)² + (y*)² - ∑ w_i (a_i² + b_i²) / W]^1/2

Este é um resultado interessante e não intuitivo. Com base neste resultado, se não se puder localizar a nova instalação na localização óptima (x*, y*) e se tiver que avaliar locais alternativos, deve-se sempre escolher aquele que está a menor distância em linha recta do ponto (x*, y*).

Para o caso considerado anteriormente, tem-se:

r² = (x – 4,76)² + (y – 3,88)²

com

r = [k / 25 + (4,76)² + (3,88)² – 49,92]^1/2

ou

r = [k / 25 -12,21]^1/2, para k > 305,2 (o valor óptimo da função objectivo).

FRANCIS, Richard L.; WHITE, John A. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach. Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1974.

2006-06-09T16:26:00.001+01:00

No caso do talho/charcutaria do hipermercado, considere-se as seguintes alternativas:

A. Uma senha (fila única) e duas empregadas, ou seja, um sistema com dois servidores.

B. Duas senhas (duas filas) e uma empregada para cada senha, isto é, dois sistemas de um servidor. Neste caso supôe-se que os clientes se dividem igualmente pelos dois sistemas, portanto λ_B = λ_A / 2.


Medidas de	M/M/2	2 × M/M/1
desempenho	λ_A = 0,5 cl. / min.	λ_B = 0,25 cl. / min.

L (clientes)	0,87	1,2 (= 2 × 0,6)
L_q (clientes)	0,12	0,45 (= 2 × 0,225)
W (minutos)	1,75	2,4
W_q (minutos)	0,25	0,9

Com um sistema de dois servidores (alternativa A) verifica-se uma redução substancial nas quatro medidas de desempenho, em relação a dois sistemas, cada um com a sua fila.

Sempre que possível, é preferível ter um sistema com múltiplos servidores e uma fila única, do que ter o mesmo número de servidores, cada um a atender uma fila.

As duas alternativas têm os mesmos custos (não contando o custo e manutenção de uma máquina de senhas), mas grandes diferenças na previsível satisfação dos clientes. Os clientes, em geral, dão mais importância, pela negativa, ao tempo que permanecem na fila à espera.

2006-06-09T13:52:00.000+01:00

A variabilidade do serviço tem um efeito importante nas medidas de desempenho do sistema, para além da velocidade média do servidor. Compare-se o desempenho de três sistemas com variâncias do tempo de serviço crescentes.


Medidas de	σ² = 0	σ² = 2,25	σ² = (2,25)²
desempenho	(M/D/1)	(M/M/1)

ρ	0,75	0,75	0,75
P₀	0,25	0,25	0,25
L (clientes)	1,875	3	4,4
L_q (clientes)	1,125	2,25	3,66
W (minutos)	3,75	6	8,8
W_q (minutos)	2,25	4,5	7,3
L_b (clientes)	1,5	3	4,875
W_b (minutos)	3	6	9,75

O número médio de clientes no sistema (L), na fila (L_q), na fila, quando o sistema está ocupado (L_b), o tempo no sistema (W), na fila (W_q) e na fila, quando o sistema está ocupado (W_b), aumentam (linearmente) com a variância, e só dependem da taxa de chegadas, intensidade de tráfego e variância do serviço.

A variabilidade do servidor tem um efeito importante nas medidas de desempenho do sistema, para além da velocidade média do servidor.

Considerando a variância nula (M/D/1), o tamanho médio da fila (L_q), número médio de clientes na fila, quando o sistema está ocupado (L_b), o tempo médio na fila (W_q) e na fila, quando o sistema está ocupado (W_b), são exactamente metade dos valores para M/M/1.

Diminuir a variância pode, portanto, melhorar significativamente as medidas de desempenho do sistema.

2006-06-08T01:45:00.000+01:00

Na resolução de problemas de localização, supôs-se que certos dados estão disponíveis. Concretamente, os valores de (a_i, b_i) e w_i de cada instalação existente são supostos serem conhecidos. Nalguns casos, estes valores podem mudar ao longo do tempo. Noutros, os valores podem não ser conhecidos de todo. Se os valores mudam ao longo do tempo, pode-se estar interessado em minimizar o valor anual equivalente do custo das movimentações. Se os valores de (a_i, b_i) e w_i não são conhecidos, sugere-se que sejam feitas diferentes estimativas desses valores e que o problema de localização seja resolvido para cada combinação de estimativas. Com base nas soluções obtidas e curvas de nível associadas, pode-se escolher a localização que melhor satisfaz os objectivos do problema em particular.

Muitas vezes, as abordagens analíticas não são usadas por causa da «falta de dados precisos». Esta é uma desculpa muito fraca por pelo menos duas razões. Primeiro, os modelos são, normalmente, bastante insensíveis a erros na estimativa dos valores dos parâmetros do modelo. Segundo, qual a abordagem alternativa que vai ser utilizada para tomar uma decisão? Sem dúvida, a abordagem alternativa baseia-se (pelo menos implicitamente) nas estimativas subjectivas dos valores dos parâmetros. Se é esse o caso, porque não explicitar essas estimativas e usar o modelo?

Se ainda não se quer atribuir valores aos parâmetros e, mesmo assim, é tomada uma decisão sobre a localização da nova instalação, então podem imputar-se valores ou intervalos de valores aos parâmetros. Para exemplificar, suponha-se que as suposições do problema gravitacional são satisfeitas e que existem três instalações localizadas em P₁ = (0, 0), P₂ = (2, 6) e P₃ = (8, 4). Se for dito que não é possível estimar os valores de w_i, mas que foi decidido localizar a nova instalação em (4, 4). Do que foi exposto anteriormente, para (x*, y*) ser igual a (4, 4) tem que ser verdade que

4 = 0 w₁ + 2 w₂ + 8 w₃

4 = 0 w₁ + 6 w₂ + 4 w₃

onde a escala de tempo foi escolhida de tal maneira que

1 = w₁ + w₂ + 4 w₃

Consequentemente, tem-se um sistema de três equações com três incógnitas, que pode ser resolvido para se obter:

w₁ = 0,2

w₂ = 0,4

w₃ = 0,4

Pode-se agora perguntar, «Espera-se ter, realmente, para a segunda instalação existente, duas vezes mais movimentações do que para a primeira e a mesma quantidade de movimentações entre a nova instalação e a segunda e terceira instalações existentes?» Se a resposta é «Não!», então devem ser especificados valores que são razoáveis para o problema de localização em causa. Podem ser seguidas abordagens semelhantes quando os modelos rectilineares e Euclideanos são apropriados. A análise, no entanto, não é tão simples como para o problema gravitacional.

FRANCIS, Richard L.; WHITE, John A. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach. Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1974.

2006-06-08T00:39:00.000+01:00

Neste caso, pretende-se localizar um tapete transportador num centro de distribuição onde serve n pontos de carga e/ou descarga com um peso associado, positivo.

O problema é localizar o tapete x₂ = A* + S* x₁, tal que a soma das distâncias ponderadas perpendiculares ao tapete (o custo total do sistema) seja minimizada.

A distância perpendicular dos pontos de carga e/ou descarga (a_j 1, a_j 2) ao tapete é:

|A - (a_j 2 - S a_j 1)| / (S² + 1)^1/2

o que implica o problema de localização:

minimizar P (A, S) = ∑ [w_j |A - (a_j 2 - S a_j 1| / (S² + 1)^1/2]

Duas simplificações, são sugeridas:

1) A localização óptima do tapete tem que passar, no mínimo, por dois pontos de carga e/ou descarga. Neste caso pode ser seguida uma abordagem simples de busca. Calculam-se, simplesmente, as intersecções A e declives S das n (n - 1) / 2 linhas que passam por todos os pares de pontos, calcula-se o valor da função objectivo e escolhe-se a localização óptima do tapete.

2) O algoritmo de resolução pode ser visto como rodando o tapete, usando ponto pivot após ponto pivot tais que a localização do tapete continue a ser mediana. Isto é fácil de fazer graficamente, para problemas pequenos.

Suponha-se que existem quatro pontos de carga e/ou descarga cujas coordenadas e pesos, w_i, são dados na Tabela 1.

Tabela 1. Parâmetros do problema


j	w_i	a_j 1	a_j 2

1	2	1	5
2	1	4	4
3	1	6	6
4	1	3	4

A Figura 1 ilustra o procedimento de rotação. Começando com o tapete horizontal, ele tem que passar pelo ponto 1 para dividir os pesos por dois. Esta localização, contudo, intercepta apenas um ponto e não pode ser óptima. Roda-se, portanto, o tapete no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio com o ponto 1 como pivot até se obter a localização #1 da Figura 1. Para esta localização continuar mediana, o ponto 3 torna-se o pivot até que a localização #2 é produzida. Depois, o ponto 4 torna-se o pivot até que a localização #3 é produzida. O ponto 1 torna-se então o pivot para se criar a localização #4. Continua então a ser o pivot até o tapete estar de novo horizontal. Só quatro localizações precisam de ser avaliadas. Os índices dos pares de pontos de carga e/ou descarga são (1, 2), (1, 3), (1, 4) e (3,4). A Tabela 2 mostra as intercepções, (A), declive, (S), e o custo destas localizações. A localização que passa pelos pontos a₁ e a₂ é a óptima.

Figura 1. Localizações candidatas

Tabela 2. Avaliação das localizações candidatas


Par	A	S	P (A, S)

(1, 2)	16 / 3	- 1 / 3	2,846
(1, 3)	24 / 5	1 / 5	2,942
(1, 4)	11 / 2	- 1 / 2	3,578
3 / 4	2	2 / 3	4,438

LOVE, R. F. et al. - Facilities Location: Models and Methods. Nova Iorque, North-Holland, 1988.

2006-06-08T00:30:00.000+01:00

Procedimento de melhoria (trocas de pares)

Para o exemplo anterior, designe-se o locais numericamente e os postos de trabalho alfabeticamente. Os seguintes fluxos ocorrem entre os postos de trabalho: A B (2), A C (8), A D (3), B C (4), B D (9), e C D (5). Suponha-se que se começa afectando arbitrariamente postos de trabalho A, B, C e D aos locais 1, 2, 3 e 4, respectivamente;. Então, as distâncias entre os postos de trabalho são A B (8), A C (10), A D (2), B C (4), B D (7) e C D (9). O custo total resultante deste layout inicial é obtido somando o produto do fluxo pela distância de cada par de postos de trabalho. Portanto o custo total da solução inicial é

2 (8) + 8 (10) + 3 (2) + 4 (4) + 9 (7) + 5 (9) = 226.

Dada uma solução inicial, considere-se agora trocar as localizações entre pares de postos de trabalho. Suponha-se que A troca com B. Localizando B no local 1 e A no local 2 as novas distâncias são A B (8), A C (4), A D (7), B C (10), B D (2), e C D (9). O novo custo total é

2 (8) + 8 (4) + 3 (7) + 4 (10) + 9 (2) + 5 (9) = 172.

Não se faz já a troca A B, apesar de ser possível um redução do custo total. Vai-se calcular o custo total de todos os pares de trocas e então faz-se a troca de que resulta a maior redução no custo total.

A seguir, considera-se o efeito de trocar A com C, mas ainda com base na solução inicial. Da colocação de C no local 1 e A no local 3, resultam as seguintes distâncias: A B (4), A C (10), A D (9), B C (8), B D (7), e C D (2). O novo custo total é

2 (4) + 8 (10) + 3(9) + 4 (8) + 9 ( 7) + 5 (2) = 220.

O procedimento continua, considerando as trocas de A e D, B e C, B e D, e C e D. Os resultados das trocas são dados na Tabela 1 para a solução inicial. Como se pode verificar, a melhor troca, é entre C e D; então, a troca é feita para se obter a primeira solução melhorada.

Tabela 1. Resultados das trocas de pares para a solução inicial


		Distâncias

			Trocas de pares

Fluxos	Pares de postos de trabalho	Solução inicial	A B	A C	A D	B C	B D	C D

2	A B	8	8	4	7	10	2	8
8	A C	10	4	10	9	8	10	2
3	A D	2	7	9	2	2	8	10
4	B C	4	10	8	4	4	9	7
9	B D	7	2	7	8	9	7	4
5	C D	9	9	2	10	7	4	9

Custo total		226	172	220	230	222	227	171

Seguidamente, considera-se o efeito no custo total de fazer troca de pares para a primeira solução melhorada. Os resultados das trocas são mostrados na Tabela 2. Como se pode ver, a maior redução no custo total ocorre quando os postos de trabalho C e D são trocados. Portanto, a troca é feita e obtém-se a segunda solução melhorada.

Tabela 2. Resultados das trocas de pares para a primeira solução melhorada


		Distâncias

			Trocas de pares

Fluxos	Pares de postos de trabalho	Solução inicial	A B	A C	A D	B C	B D	C D

2	A B	8	8	7	4	2	10	8
8	A C	2	7	2	9	8	2	2
3	A D	10	4	9	10	10	8	10
4	B C	7	2	8	7	7	9	7
9	B D	4	10	4	8	9	4	4
5	C D	9	9	10	2	4	7	9

Custo total		171	227	175	220	227	167	226

Normalmente, o processo continua sendo consideradas as trocas de pares para a segunda solução melhorada. A procura da melhor solução termina quando não há trocas que resultem numa redução do custo total ou o limite inferior é obtido. Neste caso, não há trocas que resultem numa redução do custo total.

2006-06-07T12:41:00.000+01:00

Num hipermercado, a certas horas do dia, os clientes dirigem-se a uma caixa registadora, para pagar as compras, com uma distribuição de Poisson, a uma taxa média de um de dois em dois minutos. A empregada da caixa atende os clientes por ordem de chegada (FIFO). Dado o tempo gasto a fazer as compras, os clientes estão dispostos a esperar para serem atendidos, se for necessário. O tempo de atendimento de cada cliente é, em média, 1,5 minutos, com uma variância de (9 / 4)².

1) Trata-se, portanto, de um sistema M/G/1, com taxa de chegadas λ = 0,5 clientes / minuto e tempo médio de serviço (1 / μ) = 1,5 minutos, com uma variância σ²= (9 / 4)².

2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / μ = 0,5 × 1,5 = 0,75 < 1.
A empregada tem, portanto, capacidade para atender os clientes que se dirigem à caixa para pagar as compras. O sistema poderá atingir o estado estacionário, se as condições dadas se mantiverem por tempo suficiente. A fila de espera não cresce indefinidamente, mas varia de tamanho ao longo do tempo.

Medidas de desempenho

1) Taxa de ocupação (ρ) =
Taxa média de ocupação do sistema =
Taxa média de ocupação do servidor =
Factor de ocupação do sistema =
Intensidade do tráfego =
Probabilidade de existir algum cliente no sistema (P {n > 0}) =
Probabilidade de ter que esperar na fila (P_w) =
Probabilidade do servidor estar ocupado (P_b) =
ρ = λ / μ = 0,75

2) Taxa de desocupação (P₀) =
Probabilidade de não existir nenhum cliente no sistema =
Probabilidade de não ter que esperar na fila =
Probabilidade do servidor estar desocupado =
P₀ =1 - ρ = 0,25

3) Número médio de clientes no sistema (L) =
L = {(λ² σ² + ρ²) / [2 (1 - ρ)]} + ρ = 4,4 clientes

4) Número médio de clientes na fila (L_q) =
Tamanho médio da fila =
L_q = (λ² σ² + ρ²) / [2 (1 - ρ)] = 3,7 clientes

5) Tempo médio no sistema (W) =
Duração média do período de ocupação do servidor =
W = L / λ = 8,8 minutos

6) Tempo médio na fila (W_q) =
Tempo médio de espera na fila =
W_q = L_q / λ = 7,3 minutos

7) Número médio de clientes na fila, quando o sistema está ocupado (L_b) =
L_b = L_q / P_w = 4,875 clientes

8) Número médio de clientes na fila, quando há pelo menos um (L_q | q > 0) =
Número médio de clientes servidos por período de ocupação do servidor =
L_q | q > 0 = μ W = 5,875 clientes

9) Número médio de clientes a serem servidos (L_S) =
Número médio de servidores ocupados (S_b) =
L_S = L - L_q = ρ = 0,75 clientes
S_b = ρ = P_b = 0,75 servidores

10) Tempo médio na fila, quando o sistema está ocupado (W_b) =
Tempo médio na fila, quando se tem de esperar =
W_b = W_q / P_w = 7,3125 / 0,75 = 9,75 minutos

11) Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, n clientes no sistema (P_n)

12) Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema (P {N ≤ n})

13) Probabilidade de haver mais de n clientes no sistema (P {N > n}) =
1 - Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema = 1 - (P {N ≤ n})
Probabilidade de haver pelo menos n + 1 (n + 1 ou mais) clientes no sistema (P {N ≥ n + 1}) =
ρ^{n + 1}

14) Probabilidade de haver pelo menos n (n ou mais) clientes no sistema (P {N ≥ n}) =
ρⁿ, para n = 0, 1, 2, …


	P_n	P {N ≤ n}	P {N ≥ n}		P_q	P {Q ≤ q}	P {Q ≥ q}
n	(11)	(12)	(14)	q	(16)	(17)	(18)

0	0,25	0,25	1,00
1	0,19	0,44	0,75	0	0,19	0,44	0,75
2	0,14	0,58	0,56	1	0,14	0,58	0,56
3	0,11	0,68	0,42	2	0,11	0,68	0,42
4	0,08	0,76	0,32	3	0,08	0,76	0,32
5	0,06	0,82	0,24	4	0,06	0,82	0,24
6	0,04	0,87	0,18	5	0,04	0,87	0,18
7	0,03	0,90	0,13	6	0,03	0,90	0,13
8	0,03	0,92	0,10	7	0,03	0,92	0,10
9	0,02	0,94	0,08	8	0,02	0,94	0,08
10	0,01	0,96	0,06	9	0,01	0,96	0,06
11	0,01	0,97	0,04	10	0,01	0,97	0,04
12	0,01	0,98	0,03	11	0,01	0,98	0,03
13	0,01	0,98	0,02	12	0,01	0,98	0,02
14	0,00	0,99	0,02	13	0,00	0,99	0,02
15	0,00	0,99	0,01	14	0,00	0,99	0,01

15) Probabilidade de haver um cliente a ser servido e nenhum na fila =
P₁ = 0,19

16) Probabilidade de haver um cliente a ser servido e q na fila =
Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, q clientes na fila (P {Q = q}) =
P₁, para q = 0
P_q + 1, para q = 1, 2, …

17) Probabilidade de não haver mais de q (q ou menos) clientes na fila (P {Q ≤ q}) =
Confiar que há espaço para q clientes esperarem, uma percentagem (probabilidade × 100) do tempo =
P {N ≤ q + 1}

Se quisermos estar confiantes de que há espaço no hipermercado para os clientes de uma caixa, pelo menos 95% do tempo, devemos ser capazes de acolher 10 clientes, incluindo o que está a ser servido, ou seja, haver espaço para uma fila de 9 clientes com os carros das compras.

18) Probabilidade de haver pelo menos q (q ou mais) clientes na fila (P {Q ≥ q}) =
P {N ≥ q + 1} = ρ^{q + 1}

2006-06-07T04:08:00.000+01:00

A classificação dos problemas de localização de um centro de distribuição / hipermercado numa rede é feita de acordo com três características:

1. A localização potencial da instalação a ser localizada - ou num nó ou em qualquer ponto da rede.

2. A localização das procuras - ou num nó ou em qualquer ponto da rede.

3. Função objectivo - ou minimizar o custo total a todos os pontos de procura ou minimizar o custo máximo a qualquer ponto de procura.

Este esquema da classificação é resumido na Figura 1.

Figura 1. Classificação dos problemas de localização de um
centro de distribuição / hipermercado numa rede
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

Cada combinação das características do problema tem um nome diferente como se mostra na figura. Estes são definidos abaixo:

1. Um centro de uma rede é qualquer nó cujo nó mais distante está tão perto quanto possível. Neste caso, tanto a instalação como as procuras ocorrem somente em vértices.

2. Um centro geral de uma rede é qualquer nó cujo ponto mais distante na rede está tão perto quanto possível. Note-se que enquanto a instalação é localizada num vértice, os pontos de procura encontram-se ao longo dos arcos da rede assim como nos nós.

3. Um centro absoluto de uma rede é qualquer ponto cujo nó mais distante está tão perto quanto possível. Neste caso, a instalação é localizada em qualquer ponto da rede, mas as procuras ocorrem somente nos nós.

4. Um centro absoluto geral de uma rede é qualquer ponto cujo ponto mais distante estiver tão perto quanto possível. Aqui, tanto a instalação como as procuras localizam-se em qualquer ponto da rede.

Por analogia a cada um destes quatro tipos de problemas de localização numa rede, pode-se definir a mediana, mediana geral, mediana absoluta, mediana absoluta geral, mudando simplesmente a função objectivo de minimizar a distância máxima da instalação a uma procura, pela de minimizar a soma das distâncias da instalação a todos os pontos de procura.

EVANS, James R.; MINIEKA, Edward - Optimization Algorithms For Networks and Graphs. 2.ª ed., Nova Iorque, Marcel Dekker, 1992.

2006-06-07T01:17:00.000+01:00

Represente-se por d' (f – (r, s), (t, u)) a distância máxima do ponto f do arco (r, s) aos pontos do arco (t, u). Esta é a chamada distância ponto-arco.

Se o arco (r, s) não tem direcção e se (r, s) ≠ (t, u), então a rota do ponto f de (r, s) ao ponto mais distante de (t, u) deve ser ou via nó r ou via nó s. Então, segue-se que

d' (f – (r, s), (t, u)) = min {f a (r, s) + d' (r, (t, u)), (1 – f) a (r, s) + d' (s, (t, u))} (3a)

Se o arco (r, s) é direccionado e (r, s) ≠ (t, u), o primeiro termo da minimização acima pode ser eliminado e

d' (f - (r, s), (t, u)) = (1 - f) a (r, s) + (d´ (s, (t, u)) (3b)

Se (r, s) = (t, u) e se o arco (r, s) é direccionado, os pontos mais distantes, do arco (r, s), do ponto f de (r, s) são os pontos g tais que g se aproxima de f de valores menores que f. Assim, neste caso,

d' (f - (r, s), (r, s) = (1 - f) a (r, s) + d (s, r) (3c)

Se (r, s) = (t, u) e se o arco (r, s) não tem direcção, a distância máxima do ponto f de (r, s) para qualquer ponto g de (r, s) (onde g < f) não pode exceder

A = min {f a (r, s), [a (r, s) + d (s, r)] / 2}

O primeiro termo desta minimização leva em conta as rotas do ponto f ao ponto g limitado ao arco (r, s). O segundo termo da minimização leva em conta as rotas do ponto f de (r, s) ao ponto g de (r, s) que passam pelo nó s.

Similarmente, a distância máxima do ponto f de (r, s) a qualquer ponto g de (r, s) (onde g > f) não pode exceder

B = min {(1 - f) a (r, s), [a (r, s) + d (s, r)] / 2}

O primeiro termo da minimização precedente leva em conta as rotas do ponto f ao ponto g limitado ao arco (r, s). O segundo termo da minimização precedente leva em conta as rotas do ponto f de (r, s) ao ponto g em (r, s) que passam pelo vértice r.

Consequentemente, se o arco (r, s) não tem direcção,

d' (f - (r, s), (r, s)) = max {A, B}

ou, equivalentemente,

d' (f - (r, s), (r, s)) = max {min {f a (r, s), [a (r, s) + d (s, r)] / 2}}, min {(1 - f) a (r, s), [a (r, s) + d (r, s)] / 2}} (3d)

Quando d' (f - (r, s), (t, u)) é traçado em função de f para todos os (r, s) ≠ (t, u), a curva toma a mesma forma que nas distâncias ponto-nó mostradas na Figura 1 (Distância ponto-nó), dado que a equação (3a) tem a mesma forma que a equação (1a) e a equação (3b) tem a mesma forma que a equação (1b). Só as constantes são diferentes; as formas equacionais são as mesmas.

Por outro lado, quando d' (f - (r, s), (r, s)) é traçado em função de f para qualquer arco sem direcção (r, s), a curva toma a forma apresentada na Figura 1. Isto decorre da equação (3d).

Figura 1. Gráfico da distância ponto–arco d' (f - (r, s), (r, s))
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

EVANS, James R.; MINIEKA, Edward - Optimization Algorithms For Networks and Graphs. 2.ª ed., Nova Iorque, Marcel Dekker, 1992.

2006-06-07T00:16:00.001+01:00

O algoritmo da encomenda dinâmica incremental (IPP) aumenta uma encomenda enquanto o custo incremental de posse é menor ou igual ao custo fixo de encomenda. As encomendas dinâmicas não são acumuladas, mas são listados numa base incremental. O objectivo é determinar as quantidades a encomendar que incluem as necessidades de um número inteiro de períodos tais que

h P (T - 1) R_T = C

(T - 1) R_T = C / (h P)

onde:

C = custo de encomenda

h = custo de posse por período, em fracção do custo unitário

P = custo unitário

T = número de períodos de procura incluídos num reabastecimento

R_T = procura em T períodos futuros

C / (h P) = EPP = encomenda dinâmica económica

(T - 1) R_T = IPP = encomenda dinâmica incremental

A quantidade a encomendar é aumentada, sequencialmente, das necessidades de períodos sucessivos até que a IPP exceda a EPP. No primeiro período com necessidades líquidas positivas é feita a encomenda inicial. A encomenda de reabastecimento seguinte é planeada para o primeiro período em que o valor da IPP exceda o valor da EPP. A quantidade das encomendas subsequentes é obtida de maneira semelhante à da encomenda inicial.

Para o mesmo artigo e situação analisada anteriormente, a solução é:

EPP = C / (h P) = 100 / (0,02 × 50) = 100

A Tabela 1 indica os cálculos necessários para determinar as quantidades de reabastecimento.

Tabela 1.


Período	T	R_T	IPP = (T - 1) R_T

1	1	75	(0) 75 = 0 < 100
2	2	0	(1) 0 = 0 < 100
3	3	33	(2) 33 = 66 < 100
4	4	28	(3) 28 = 84 < 100
5	5	0	(4) 0 = 0 < 100
6	6	10	(5) 10 = 50 < 100

Dado que o IPP durante os seis períodos nunca excede a EPP de 100, a encomenda inicial no período é suficiente para durar até ao período 6, nomeadamente, 75 + 0 + 33 + 28 + 0 + 10 = 146 unidades.

A programação dos reabastecimentos da encomenda dinâmica incremental e os custos variáveis cumulativos são os seguintes:

As virtudes do algoritmo da encomenda dinâmica incremental são que é fácil de perceber e necessita de menos cálculos que outras heurísticas, como a de Silver-Meal, e os algoritmos da encomenda dinâmica.

TERSINE, Richard J. – Principles of Inventory and Materials Management, 3.ª ed., Nova Iorque, North-Holland, 1988.

2006-06-06T23:47:00.000+01:00

Considere-se a distância mais curta do nó j a cada ponto do arco (r, s). Para algum ponto do arco (r, s), esta distância tem o seu valor máximo. Esta distância máxima do nó j a qualquer ponto no arco (r, s) é denotada por d' (j, (r, s)) e chama-se distância nó-arco.

Se o arco (r, s) não tem direcção, há duas meaneiras de ir do nó j ao ponto f em (r, s): via nó r ou via nó s. Naturalmente, selecciona-se a mais curta das duas rotas. Se estas duas rotas têm distâncias desiguais, então alguns pontos na vizinhança do ponto f do arco(r, s) estão ainda mais afastados do nó j. Por exemplo, na Figura 1 (Localização mediana absoluta geral), o ponto 0,25 do arco (3, 4) está a 1,25 unidades ou 2,75 unidades do nó 2, conforme se vá via nó 3 ou via nó 4. Se o f é aumentado de 0,25 para 0,26, a distância mais curta do nó 2 ao ponto 0,26 do arco (3, 4) é o min {1,26; 2,74} = 1,26. Estas duas distâncias são iguais no ponto mais distante. Observe-se que essas duas distâncias somam sempre

d (j, r) + f a (r, s) + d (r, s) + (1 - f) a (r, s) = d (j, r) + d (j, s) + a (r, s)

Então, segue-se que

d' (j, (r, s)) = [d (j, r) + d (j, s) + a (r, s)] / 2 (2a)

Se, por outro lado, o arco (r, s) é direccionado, então um ponto no arco (r, s) só pode ser alcançado via nó r. Consequentemente, os pontos mais distantes de (r, s) de qualquer nó são os pontos mais próximos do nó s, isto é, os pontos f para os quais f se aproxima de 1. Neste caso

d' (j, (r, s)) = d (j, r) + a (r, s) (2b)

Numere-se os arcos numa rede G de 1 a m. Denote-se por D' a matriz n × m cujo elemento j, k é a distância do nó-arco do nó j ao arco k. Observe-se que a matriz das distância do nó–arco D' pode ser calculada da matriz das distâncias entre todos os pares de nós D e o comprimento dos arcos usando as equações (2a) e (2b).

EVANS, James R.; MINIEKA, Edward - Optimization Algorithms For Networks and Graphs. 2.ª ed., Nova Iorque, Marcel Dekker, 1992.

2006-06-06T20:22:00.000+01:00

Quando há trocas de mercadorias ou materiais entre as novas instalações, o problema é de afectação quadrática.

Suponha-se que queremos localizar quatro postos de trabalho, no talho de um hipermercado. Os valores dos fluxos e distâncias são dadas nas matrizes simétricas V e D,

V	=	0	2	8	3
		2	0	4	9
		8	4	0	5
		3	9	5	0

D	=	0	8	10	2
		8	0	4	7
		10	4	0	9
		2	7	9	0

Ordenando os valores de v_{j h} e os valores d_{k l} obtêm-se os vectores v e d.

v = (9, 8, 5, 4, 3, 2)

e

d = (2, 4, 7, 8, 9, 10)

O limite inferior LB é dado por

LB = v d’ = 9 (2) + 8 (4) + 5 (7) + 4 (8) + 3 (9) + 2 (10) = 164

Procedimento de construção

O maior valor de fluxo (v_{2 4} = 9) é entre os postos de trabalho 2 e 4; a menor distância (d_{1 4} = 2) é entre os locais 1 e 4. Então, o posto de trabalho 1 é afectado ou ao local 1 ou local 4 e o posto de trabalho 4 é afectado ao local restante. O valor seguinte de fluxo em v é v₁₃ = 8 e o valor seguinte da distância em d é d_{2 3} = 4; portanto, é desejável afectar os postos de trabalho 1 e 3 aos locais 2 e 3. O valor seguinte de fluxo em v é v_{3 4}= 5 e o valor seguinte da distância em d é d_{2 4} = 7; portanto, é desejável afectar os postos de trabalho 3 e 4 aos locais 2 e 4. Dado que o posto de trabalho 4 pode ser afectado ao local 1 ou local 4 e o posto de trabalho pode ser afectado ao local 2 ou local 4 ela, decorre que o posto de trabalho 4 é afectado ao local 4. Então, o posto de trabalho 2 é afectado ao local 1, o posto de trabalho 3 é afectado ao local 2 e o posto de trabalho 1 é afectado ao local 3.

O custo desta afectação é

z = v_{1 2} d_{3 1} + v_{1 3} d_{3 2} + v_{1 4} d_{3 4} + v_{2 3} d_{1 2} + v_{2 4} d_{1 4} + v_{3 4} d_{2 4}

= 2 (10) + 8 (4) + 3 (9) + 4 (8) + 9 (2) + 5 (7)

= 164

Uma vez que o valor da função objectivo da afectação é igual ao limite inferior, foi obtida uma solução óptima. Isto nem sempre acontece. Para problemas maiores, os detalhes deste método tornam-se um pouco mais complicados; no entanto, o princípio mantém-se o mesmo: Localizar as instalações que têm a maior interacção (fluxo) o mais próximas possível.

2006-06-06T18:21:00.000+01:00

Procedimento para determinar o centro absoluto ponderado num nó

Tendo utilizado o procedimento para determinar o centro absoluto ponderado y*, para resolver o problema do centro absoluto ponderado num nó (se y* não é um nó) só é necessário avaliar g nos nós do arco que contém y* e escolher como centro absoluto ponderado num nó um dos dois nós com o menor valor de g.

Para o exemplo anterior, uma vez que y* é no arco que une os nós 2 e 4, também se pode concluir que ou o nó 2 ou o nó 4 é o centro absoluto ponderado num nó. Os cálculos estabelecem que g (v₂) = 20 e que g (v₄) = 16, portanto o nó 4 é o centro absoluto ponderado num nó.

FRANCIS, Richard L. et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

2006-06-06T05:12:00.000+01:00

Para o mesmo artigo e necessidades indicadas na tabela seguinte:


Período	Necessidades

	(unidades)
1	10
2	3
3	30
4	100
5	7
6	15
7	80
8	50
9	15
10	0

	310

o intervalo económico de encomenda (EOI) é:

EOI = [(2 C) / (R h P)]^1/2 = [(2 × 100) / (31 × 0,02 × 50)]^1/2 = 2,54

Arredondando para o inteiro mais próximo, uma oferta para 3 períodos resulta nas seguintes quantidades a encomendar periodicamente:

TERSINE, Richard J. – Principles of Inventory and Materials Management, 3.ª ed., Nova Iorque, North-Holland, 1988.

2006-06-06T01:24:00.000+01:00

Este algoritmo selecciona um número de períodos, para serem cobertos pelo reabastecimento, tal que os custos de posse acumulados sejam iguais ao custo de encomenda. Geralmente não é possível uma igualdade exacta por causa da natureza discreta das necessidades, por isso o tamanho da encomenda é aumentado enquanto os custos de posse acumulados são menores ou iguais ao custo de encomenda. O objectivo é determinar as quantidades de encomenda que incluem as necessidades de um número inteiro de períodos tais que

h P ∑_{k = 1, ..., T} (k - 1) R_k = C

∑_{k = 1, ..., T} (k - 1) R_k = C / (h P)

onde:

C = custo de encomenda

h = custo de posse por período, em fracção do custo unitário

P = custo unitário

R_k = procura no período k

T = duração do reabastecimento em períodos de tempo

C / (h P) = EPP = encomenda dinâmica económica

∑_{k = 1, ..., T} (k - 1) R_k = APP = encomenda dinâmica cumulativa

A encomenda dinâmica económica (EPP) representa um ponto de equilíbrio que converte o custo de encomenda e os custos de posse numa medida da encomenda dinâmica. A encomenda dinâmica é o produto da procura do período pelo número de períodos em que se vão manter as existências, para além do período de recepção da encomenda. A quantidade encomendada é aumentada, sequencialmente, das necessidades de períodos sucessivos até que a APP exceda a EPP. No primeiro período com necessidades líquidas positivas é feita a encomenda inicial. A encomenda de reabastecimento seguinte é planeada para o primeiro período em que o valor da APP exceda o valor da EPP. A quantidade das encomendas subsequentes é obtida de maneira semelhante à da encomenda inicial. A quantidade de reabastecimento associada a um valor de T em particular é:

Q = ∑_{k = 1, ..., T} R_k

Para o mesmo artigo e situação analisada anteriormente, a solução é:

EPP = C / (h P) = 100 / (0,02 × 50) = 100

A Tabela 1 indica os cálculos necessários para determinar as quantidades de reabastecimento.

Tabela 1.


Período	T	R_T	(T - 1) R_T	APP = ∑ (k - 1) R_k

1	1	75	(0) 75 = 0	0 < 100
2	2	0	(1) 0 = 0	0 < 100
3	3	33	(2) 33 = 66	66 < 100
4	4	28	(3) 28 = 84	150 > 100

4	1	28	(0) 28 = 0	0 < 100
5	2	0	(1) 0 = 0	0 < 100
6	3	10	(2) 10 = 20	20 < 100

No período 4, a APP de 150 excede a EPP de 100, de modo que o reabastecimento inicial no período 1 é de unidades suficientes para durarem até ao período 3, ou 75 + 0 + 33 = 108 unidades. O reabastecimento seguinte no período 4 é suficiente para durar até ao período 6, ou 28 + 0 + 10 = 38 unidades.

A programação dos reabastecimentos da encomenda dinâmica e os custos variáveis cumulativos são os seguintes:

Têm sido desenvolvidos alguns refinamentos do algoritmo da encomenda dinâmica (PPA) para melhorar o seu desempenho. Estes refinamentos, chamados «olhar-para-a-frente» e «olhar-para-trás», podem melhorar o desempenho quando há grandes variações das necessidadespróximas dos períodos de reabastecimento. Requerem, no entanto, cálculos adicionais e o resultado não é necessariamente óptimo.

As características do olhar-para-a-frente e olhar-para-trás destinam-se a prevenir que existências que cobrem picos na procura sejam conservadas durante longos períodos de tempo, e evitar encomendas em períodos de pouca procura. Os ajustamentos são feitos só quando melhoram as condições. O teste de olhar-para-a-frente é feito primeiro. Se falhar, é feito o teste de olhar-para-trás. Se ambos os testes falharem, não se faz mais nada e são postas em prática as encomendas dadas pelo algoritmo da encomenda dinâmica.

O teste de olhar-para-a-frente observa os períodos que se seguem ao período previsto de encomenda para ver se vão surgir algumas procuras fora do comum. A primeira encomenda é feita no período 1 para satisfazer T períodos de oferta. A encomenda seguinte é feita no período T + 1. Se for adiada, é feita no período T + 2 e a encomenda inicial é revista para cobrir T + 1 períodos de oferta. Os passos são os seguintes:

Determinar o período previsto de encomenda pelo algoritmo da encomenda dinâmica.

Olhar-para-a-frente a procura do período seguinte:
1. Se a procura no período seguinte T + 2 é maior ou igual ao valor da encomenda dinâmica no período previsto de encomenda T + 1, o período de encomenda é adiado para o período seguinte. Caso contrário, o período previsto de encomenda é aceite. Para adiar o período de encomenda, a condição seguinte é necessária:
  
  R_{T + 2} ≥ T R_{T + 1}
2. O teste de olhar-para-a-frente é repetido sucessivamente em todos os períodos até falhar.

O teste de olhar-para-trás não é feito se o teste de olhar-para-a-frente adiar a encomenda para outro período. Se o teste de olhar-para-a-frente não adiar a encomenda, o teste de olhar-para-trás é aplicado da seguinte maneira:

Multiplicar a procura no período previsto de encomenda T + 1 por 2. Se a procura no período T é maior, a encomenda é antecipada um período. Caso contrário, o período previsto de encomenda é aceite. Para antecipar o período de encomenda, a condição seguinte é necessária:

R_T > 2 R_{T + 1}

Apesar dos teste de olhar-para-a-frente e olhar-para-trás não serem infalíveis, adicionam precisão quando a procura flutua drasticamente.

TERSINE, Richard J. – Principles of Inventory and Materials Management, 3.ª ed., Nova Iorque, North-Holland, 1988.

2006-06-05T23:42:00.000+01:00

Uma empresa de hipermercados decidiu produzir leite com a sua marca e recolheu informação relativa ao número de determinados tipos de defeitos que ocorrem na produção do leite, como indica a folha de registo (Tabela 1).

Tabela 1.


N.º	Tipo de defeito	Total

101	Caixas danificadas	33
102	Leite estragado	2
103	Caixas mal maquinadas	25
104	Caixas mal cortadas	4
105	Dimensões incorrectas	45
106	Colagem deficiente	13
107	Mau alinhamento das caixas	2
108	Sequência incorrecta de fabrico	6
109	Incorrecção na entrega das caixas	2
110	Produto mal acabadoo	4
111	Falha na dobragem das caixas	8
112	Caixas com poros	40
113	Entrada de homem tardia	1
114	Colocação insuficente de leite	1
115	Falha na colocação do prazo de validade	7
116	Dimensão errada da caixa de leite	1
117	Mau embalamento do produto	1
118	Erro na descrição das características do produto	2
119	Erro no logótipo	1
120	Incorrecto procedimento de inspecção	2

Para estabelecer uma estratégia que permita à empresa melhorar a sua produção, o departamento de qualidade utilizou como ferramenta o diagrama de Pareto. Assim, tratou os dados, como indicado na Tabela 2 e representados na Figura 1.

Tabela 1.


Ordem	Defeito	Observações	Observações acumuladas	Observações acumuladas	Defeitos acumulados	Defeitos

				--------------------- (%) ---------------------
1	105	45	45	22,5	5	22,5
2	112	40	85	42,5	10	20,0
3	101	33	118	59,0	15	16,5
4	103	25	143	71,5	20	12,5
5	106	13	156	78,0	25	6,5
6	111	8	164	82,0	30	4,0
7	115	7	171	85,5	35	3,5
8	108	6	177	88,5	40	3,0
9	104	4	181	90,5	45	2,0
10	110	4	185	92,5	50	2,0
11	102	2	187	93,5	55	1,0
12	107	2	189	94,5	60	1,0
13	109	2	191	95,5	65	1,0
14	118	2	193	96,5	70	1,0
15	120	2	195	97,5	75	1,0
16	113	1	196	98,0	80	0,5
17	114	1	197	98,5	85	0,5
18	116	1	198	99,0	90	0,5
19	117	1	199	99,5	95	0,5
20	119	1	200	100	100	0,5

Figura 1.

2006-06-05T21:33:00.000+01:00

Interpretando w_i d (y, v_i) como o tempo do transporte de y para o nó i, pode-se designar por adenda, h_i, o tempo de preparar o transporte mais o tempo de carga ou descarga no nó, mais o tempo de viagem do nó i para qualquer outro ponto conhecido na rede, tal como um centro de recolha de veículos. Naturalmente, dependendo das circunstâncias, alguns destes tempos podem ser nulos.

Neste caso, a função g (y) que se pretende minimizar é

g (y) = max {w₁ d (y, v₁) + h₁, …,w_m d (y, v_m) + h_m}

Procedimento para determinar o centro absoluto ponderado com adendas

1) Para cada i e j tais que 1 ≤ i < j ≤ m, calcular b_{i j}, agora definido como sendo

b_{i j} = (w_i w_j d (v_i, v_j) + w_j h_i + w_i h_j) / (w_i + w_j)

e depois calcular b_{s t}, definido, como sendo o máximo de b_{i j}.

2) Calcular h_p, definido como sendo o máximo dos h_i.

3) Calcular b, definido como sendo o máximo de b_{s t} e h_p.

4) Se b = h_p, então y* = v_p, é o único centro absoluto e o problema está resolvido.

5) Se não, quando b = b_{s t}, então y*, é o ponto único, no caminho que liga os vértices s e t, que satisfaz

d (y*, v_s) = (w_t d (v_s, v_t) + h_t – h_s) / (w_s + w_t)

d (y*, v_t) = (w_s d (v_s, v_t) + h_s – h_t) / (w_s + w_t)

Note-se que a principal diferença na resolução do problema com adendas é que se alguma das adendas é suficientemente grande (i.e., b = h_p), a localização óptima é mo vértice v_p, para que não seja dispendido nenhum tempo no transporte para v_p. Caso contrário, a abordagem para resolver o problema é praticamente a mesma.

FRANCIS, Richard L. et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

2006-06-05T21:02:00.000+01:00

Os modelos discutidos anteriormente são, evidentemente, muito simplificados. Considerando os polígonos locacionais, a técnica de Isard parece muito difícil porque a localização de equilíbrio final não pode ser encontrada imediatamente. Os problemas podem ser ilustrados com o caso de dois produtos (M₁ e M₂) e um único centro consumidor (C). Mais uma vez, mantém-se a hipótese da uniformidade dos custos da mão-de-obra e de outros custos no espaço, de modo que, se a localização muda, apenas os inputs de transporte se alteram. Pode-se traçar um triângulo locacional como o da Figura 3a, em que os vértices representam as fontes de produtos e o mercado consumidor. A única diferença entre este triângulo locacional e o de Weber é que aqui os lados do triângulo não são as distâncias reais, mas medem apenas os inputs de transporte (toneladas-quilómetro), de forma que os pesos dos produtos utilizados para comercializar cada tonelada do artigo na prateleira já estão considerados e não precisam de ser acrescentados, como na análise de Weber, como pesos que pressionam a partir de cada vértice.

Figura 3.
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

O procedimento a ser seguido é atribuir um valor, por exemplo r, à variável input de transporte até C, e isso vai fornecer o arco X Y de raio r que é o lugar geométrico de todas as localizações do estabelecimento para aquele valor determinado de inputs de transporte até C dentro do triângulo locacional C M₁ M₂. Esse lugar pode ser expresso em termos de quantidades de inputs de transporte de M₁ e de M₂, o que fornece para essas duas variáveis a curva de transformação X Y na Figura 3b. Conhecendo as tarifas de transporte dos produtos em M₁ e M₂, pode-se desenhar um conjunto de linhas de relação de preços. A B representa a mais baixa dessas linhas que é tangente à curva de transformação X Y. O ponto tangente é Z, que representa o ponto de equilíbrio parcial do conjunto de quantidades das duas variáveis de inputs de transporte que determina a localização nas condições supostas

Entretanto, Z é apenas um ponto parcial de equilíbrio porque depende da hipótese de que a localização está a r inputs de transporte de C. Mas os inputs de transporte para C devem ser considerados variáveis se a localização de equilíbrio está ainda por ser encontrada. Desse modo, o passo seguinte é tomar os inputs de transporte de M₂ coerentes com a localização em Z e construir uma curva de transformação para os inputs de transporte variáveis de M₁ e de C. Sobrepõem-se as linhas de relação de preços reflectindo as tarifas relativas de transporte em M₁ e sobre o artigo na prateleira. Novamente é encontrada uma posição de equilíbrio parcial. Esta, provavelmente, corresponderá a um valor de inputs de transporte até C diferente do valor r, anteriormente fixado. Consequentemente, a curva de transformação entre M₁ e M₂ muda e talvez seja necessário encontrar um novo ponto de equilíbrio parcial, para essas duas variáveis. Este procedimento é repetido até que se obtenha uma posição de equilíbrio geral. Esta última será obtida no ponto em que as posições de equilíbrio parcial correspondentes aos três pares de variáveis (inputs de transporte do artigo na prateleira e o produto em M₁; inputs de transporte do artigo na prateleira e o produto em M₂; e inputs de transporte em M₁ e M₂ coincidem.

A técnica é igualmente aplicável a casos com polígonos de quatro ou mais lados e as hipóteses mais realistas sobre meios de transporte e sistemas de tarifas. Por exemplo, supondo que, ao invés de se irradiarem em todas as direcções, os meios de transporte ligam um número finito de pontos, a própria curva de transformação torna-se descontínua e degenera num certo número de pontos. Mais ainda, a despeito da tarefa considerável de encontrar o equilíbrio locacional nessa análise, a sua principal vantagem, sobre a abordagem mais elegante de Weber, é que ela pode dar lugar a um realismo muito maior em relação às tarifas de transporte. Isard mostra como é possível, substituindo as linhas de relação de preços por linhas de dispêndios uniformes (para os custos de transporte), levar em conta o carácter zonal de vários sistemas de tarifas, os altos custos terminais e a elevação de custos devida à interrupção do transporte nos pontos de transbordo, além do tratamento adequado das tarifas de transporte não-proporcionais.

Um resultado da abordagem de Isard é que ela relaciona a análise da localização decorrente da consideração dos transportes com a teoria da produção tradicional. A inclusão dos inputs de transporte na função de transformação da empresa acrescenta uma dimensão espacial à teoria da produção. Essa vantagem não deixa de ter as suas contrapartidas: a possibilidade de descontinuidades de mercado, tanto nas curvas de transformação, como nas linhas de iguais dispêndios de transporte, indicam as limitações da análise de substituição marginalista para resolver o problema locacional.

RICHARDSON, Harry W. – Economia Regional: Teoria da Localização, Estrutura Urbana e Crescimento Regional. 2.ª ed., Rio de Janeiro, Zahar Editores, 1981.

2006-06-05T21:00:00.000+01:00

Com a ajuda das linhas de transformação e das de relação de preços, tomadas em conjunto, é possível obter o ponto de equilíbrio locacional para o estabelecimento. A condição de equilíbrio é directamente paralela à condição de equilíbrio normal na análise de substituição da teoria da produção. Nesse caso, o ponto de produção corresponde ao ponto em que a linha de transformação é tangente à linha de relação de preços. Isso significa que a taxa marginal de substituição entre quaisquer dos inputs de transporte é igual à recíproca dos seus preços (as tarifas de transporte correspondentes). Assim, o lugar de equilíbrio corresponde ao ponto na linha de transformação que se coloca ao nível mais baixo da linha de relação de preços, implicando, portanto, os custos totis de transporte mais baixos. Para encontrar esse ponto de equilíbrio, só é preciso sobrepor a linha de relação de preços ao diagrama de transformação. Considerando, a Figura 1A, B e C (já apresentada), conjuntamente com D, E e F, chega-se a nove combinações diferentes. Os resultados estão colocados na matriz da Figura 2.

Figura 2.
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

Esses resultados são evidentes, de forma que é desnecessário comentá-los em detalhe. A combinação A-D é indeterminada porque as inclinações da linha de transformação e da linha de relação de preços são ambas iguais a – 1, e qualquer localização (M, C ou qualquer ponto na via que os liga) incorre nos mesmos custos totais de transporte. Em A-F, a simetria da linha de relação de preços convexa à origem assegura que a mais baixa dessas curvas toca a linha de transformação A em ambos os eixos, o que torna indiferente a localização em M ou em C. Na coluna horizontal inferior da tabela, a localização resulta sempre no centro consumidor; isso ocorre porque a linha de transformação C, representando o aumento de peso durante o processo de comercialização, domina sempre as linhas de relação de preços consideradas (D, E e F) porque em todos esses casos a tarifa de transporte do produto final é ≥ à tarifa de transporte da matéria-prima. Na linha de transformação B, onde existe perda de peso durante a comercialização, a localização junto à fonte de produto surge em casos (B-D, B-F) em que a tarifa de transporte é a mesma para o produto e para o artigo na prateleira. A combinação B-E é a mais difícil; aqui uma influência de diminuição no peso do produto é compensada por uma tarifa mais elevada para os artigos na prateleira. Entretanto, a localização do estabelecimento é plenamente determinada, dependendo das inclinações relativas da linha de transformação e da linha de relação de preços. Se essas inclinações fossem completamente especificadas, poder-se-ia então determinar se o equilíbrio ocorre em M ou em C.

Um último ponto importante a ser assinalado sobre os resultados da Figura 2 é que a localização de equilíbrio é sempre num ponto extremo. O ponto de equilíbrio é quase sempre um ponto extremo em que o polígono locacional se reduz a uma linha, por exemplo, quando somente um produto é utilizado na comercialização. Nesse caso, a linha de transformação é uma linha recta ou um certo número de pontos possíveis situados numa linha recta. A única excepção em exemplos desse tipo é quando a linha de relação de preços é côncava em relação à origem, o que exige, como condição, que a tarifa de transporte cresça com o aumento da distância, o que é bastante improvável. De facto, a convexidade dos sistemas modernos de transporte é um poderoso factor a influir no sentido dos pontos extremos serem escolhidos para a localização. Por outro lado, é preciso destacar que as soluções relativas aos pontos extremos são apenas possibilidades e não probabilidades em situações mais complexas com fontes múltiplas de produtos e/ou múltiplos mercados de consumo.

RICHARDSON, Harry W. – Economia Regional: Teoria da Localização, Estrutura Urbana e Crescimento Regional. 2.ª ed., Rio de Janeiro, Zahar Editores, 1981.

2006-06-05T20:55:00.000+01:00

A obra de Isard no que se refere à teoria da localização, em particular, os seus elementos sobre a orientação dos transportes, liga-se muito à tradição weberiana. Da mesma forma que Weber, Isard esboça um modelo simples em que a procura da localização óptima envolve a minimização dos custos de transporte, embora a sua técnica seja mais flexível, pois pode levar em conta sistemas de tarifas mais realistas.

O conceito básico utilizado na análise de Isard é o input de transporte, definido como o movimento de uma unidade de peso uma unidade de distância; assim, os inputs de transporte podem ser expressos em toneladas quilómetro. Os inputs de transporte correspondem ao exercício de esforço (como, por exemplo, homens-hora) necessário para superar a resistência oposta ao movimento no espaço. Da mesma forma que existe um desconto relativo ao tempo, pode-se descontar em relação ao espaço. Esse tipo de desconto permite a comparação de valores de dois ou mais bens separados espacialmente de qualquer ponto geográfico de referência. A taxa de desconto em relação ao espaço, ou o preço de um input de transporte, é a tarifa de transporte. No mundo real, existem várias tarifas de transporte, reflectindo a extensão e as características do trajecto, o tipo de mercadoria transportada, o grau de concorrência do sector de transporte, a topografia do território sobre o qual os bens são tranportados e outros. Pode-se, no entanto, conceber a tarifa de transporte como uma tarifa hipotética representativa, da mesma forma que no desconto relativo ao tempo se usa a taxa de juro, embora existam de facto varias taxas de juro de acordo com as regiões, o grau de risco e o prazo do empréstimo.

Considere-se de início o primeiro caso. Suponha-se que há um único centro consumidor C, e estabeleça-se um ponto M, como a única fonte de produto indispensável à comercialização de um determinado artigo. Todos os outros factores operativos são considerados disponíveis em qualquer ponto e ao mesmo preço. O produto é móvel e uma via em linha recta liga os pontos M e C. O único factor de custo variável é o input de transporte do produto e do artigo na prateleira. Supondo que uma tonelada de produto é utilizada para produzir uma tonelada de artigo na prateleira (isto é, W_M / W_C = 1), o input de transporte é igual à distância de M e de C. Combinando essas duas variáveis, obtém-se uma linha de transformação recta com declive –1, como na Figura 1A. Se houvesse perda de peso na operação de comercialização, a localização no centro consumidor absorveria mais input de transporte (toneladas-quilómetro) para trazer o produto ao local de comercialização do que se o estabelecimento estivesse localizado em M e o produto final fosse transportado de M para o mercado. Assim, quando W_M / W_C excede a unidade, a linha de transformação tem um declive algebricamente inferior a –1, como mostra a Figura 1B. Finalmente, quando existe ganho de peso na comercialização, verifica-se a situação inversa, ou seja, o declive negativo da transformação será menos acentuado, isto é, será algebricamente superior a –1 (Figura 1C).

Figura 1.
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

A linha de transformação mostra como, mudando a localização, se pode substituir inputs de transporte de uma mercadoria (por exemplo, produto) por inputs de transporte de outra (o artigo na prateleira). Para encontrar a posição de equilíbrio espacial, precisa-se de um conjunto de linhas de relação de preços, reflectindo os preços relativos dos dois conjuntos de inputs de transporte. Considerando que a tarifa de transporte por toneladas-quilómetro é a mesma tanto para a produto como para o artigo na prateleira e que esse tarifa é proporcional à distância, as várias linhas de relação de preços são linhas rectas com um declive de –1, como na Figura 1D. Mantendo a hipótese relativa à proporcionalidade do frete à distância, mas considerando que a tarifa de transporte para os artigos na prateleiras é mais elevada do que as dos produtos (o que ocorre frequentemente na prática), a linha de relação de preços torna-se mais inclinada, como na Figura 1E. Na Figura 1F, volta-se à hipótese de uma tarifa igual para o produto e o artigo na prateleira, mas abre-se mão da proporcionalidade da tarifa à distância, para levar em conta o facto de que, especialmente nos países mais avançados em que os meios de transporte modernos envolvem um grande número de despesas e custos terminais elevados, os sistemas de tarifas são normalmente elaborados de tal forma que a tarifa diminui proporcionalmente ao aumento da distância. Isso fornece um conjunto de linhas de relação de preços convexo em relação à origem, mas que cortam os dois eixos simetricamente.

RICHARDSON, Harry W. – Economia Regional: Teoria da Localização, Estrutura Urbana e Crescimento Regional. 2.ª ed., Rio de Janeiro, Zahar Editores, 1981.

2006-06-05T18:59:00.000+01:00

Represente-se por d (f - (r, s), j) o comprimento do caminho mais curto do ponto f do arco (r, s) ao nó j. Esta é a chamada distância ponto-nó. Se o arco (r, s) não tem direcção, i.e., permite movimentações em ambas as direcções, esta distância deve ser a menor das duas distâncias seguintes:

a) a distância do ponto f ao nó r mais a distância do nó r ao nó j;

b) a distância do ponto f ao nó s mais a distância do nó s ao nó j.

Então,

d (f - (r, s), j) = min {f a (r, s) + d (r, j), (1 – f) a (r, s) + d (s, j)} (1a)

Se (r, s) é um arco direccionado, i.e., só são permitidas movimentações de r para s, o primeiro termo da minimização acima é eliminado e

d (f - (r, s), j) = (1 – f) a (r, s) + d (s, j) (1b)

Observe-se que só os comprimentos dos arcos e a matriz de D são necessários para calcular todas as distâncias ponto-nó.

Quando traçada em função de f, a distância ponto-nó para um dado arco (r, s) e um dado nó j toma uma das três formas mostradas na Figura 1. Note-se que o declive desta curva linear quebrada é ou + a (r, s) ou – a (r, s) e declive faz na máximo uma mudança de + a (r, s) para – a (r, s).

Figura 1. Gráficos de distâncias ponto-nó.

EVANS, James R.; MINIEKA, Edward - Optimization Algorithms For Networks and Graphs. 2.ª ed., Nova Iorque, Marcel Dekker, 1992.

2006-06-05T03:26:00.000+01:00

Neste caso, assume-se que os custos crescem proporcionalmente ao quadrado da distância Euclideana (problema gravitacional).

Então, tem-se:

d (X, H_i) = [(x - a_i)² + (y - b_i)²]

Sendo assim, o problema é formulado do seguinte modo:

Minimizar f (x, y) = ∑ w_i [(x - a_i)² + (y - b_i)²]

Os valores óptimos, x* e y*, que minimizam os custos, são obtidos igualando a zero as derivadas parciais da função objectivo em ordem a x e a y,

((∂f (x*, y*) / ∂x*), (∂f (x*, y*) / ∂y*)) = (0, 0)

de onde:

x* = ∑ w_i a_i / ∑ w_i

y* = ∑ w_i b_i / ∑ w_i

x* e y*, correspondem a médias ponderadas das coordenadas x e y das instalações existentes e são, de facto, as coordenadas que minimizam a equação dos custos. A solução do problema é algumas vezes designada de centróide ou centro de gravidade. Daí a designação de problema gravitacional.

Assim para o problema anterior,

x* = [5 (1) + 6 (5) + 2 (2) + 4 (4) + 8 (8)] / (5 + 6 + 2 + 4 + 8)

x* = 4,76

y* = [5 (1) + 6 (2) + 2 (8) + 4 (4) + 8 (6)] / (5 + 6 + 2 + 4 + 8)

y* = 3,88

O custo total, (f (X)*), resultante da localização X* = (4,76; 3,88) é então:

f (4,76; 3,88) = 5 [(4,76 - 1)² + (3,88 - 1)²] + 6 [(4,76 - 5)² + (3,88 – 2)²] + 2 [(4,76 - 2)² + (3,88 - 8)²] + 4 [(4,76 - 4)² + (3,88 - 4)²] + 8 [(4,76 - 8)² + (3,88 - 6)²] = 305,2 UM

FRANCIS, Richard L.; WHITE, John A. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach. Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1974.

2006-06-05T00:04:00.000+01:00

Suponha-se que 3 novos centros de distribuição, a, b e c, vão ser localizados numa região. Existem 6 hipermercados nessa região, p, q, r, s, t e u, que vão ser abastecidos por, pelo menos um dos novos centros de distribuição. Os hipermercados estão localizados em (0, 0), (0, 1), (0, 3), (1, 1), (2, 2) e (4, 0), respectivamente. Uma análise preliminar indica que existem cinco localizações possíveis, v, w, x, y e z, com coordenadas das localizações (1, 0), (1, 2), (2, 0), (4, 1) e (4,3), respectivamente, para os novos centros de distribuição. Os planos directores municipais, contudo, proíbem a localização do novo centro de distribuição a no local v e limitações de espaço impedem o novo centro de distribuição b de ser localizado em w. Não há trocas de mercadorias entre os três novos centros de distribuição.

A matriz W = (w_{i k}), onde w_{i k} é o número de viagens por dia feitas entre o novo centro de distribuição i e o hipermercado existente k, é

*w_{i k}*	p	q	r	s	t	u
a	4	0	1	2	0	2
b	1	2	3	0	2	1
c	0	1	4	0	2	3

Todas as deslocações são supostas ocorrerem numa malha rectangular de estradas. A matriz das distâncias D = (d_{k j}), onde d_{k j} é a distância rectilinear entre o hipermercado existente k e a localização possível j, é dada por

*d_{k j}*	v	w	x	y	z
p	1	3	2	5	7
q	2	2	3	4	6
r	4	2	5	6	4
s	1	1	2	3	5
t	3	1	2	3	3
u	3	5	2	1	3

A matriz dos custos C = (c_{i j}), onde c_{i j} é custo de localizar o novo centro de distribuição i na localização possível j, é obtida por C = W D

*c_{i j}*	v	w	x	y	z
a	16	26	21	34	48
b	26	20	29	38	40
c	33	27	33	37	37

Note-se que c_{i j} = ∑ w_{i k} d_{k j}, é uma soma de distâncias ponderadas.

Recorde-se que os novos centros de distribuição a e b não são permitidos nas localizações v e w, respectivamente. Para evitar a possibilidade destas afectações, fazem-se os valores de c_{1 1} e c_{2 2} positivos muito grandes. Atendendo a que os novos centros de distribuição a serem localizados são menos do que os locais disponíveis, são criadas dois novos centros de distribuição artificiais, d e e, com c_{i j} = 0, e a matriz de custos, C, passa a ser

∞	26	21	34	48
26	∞	29	38	40
33	27	33	37	37
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0

Este problema de afectação, em particular, pode ser resolvido por inspecção, resultando na afectação dos novos centros de distribuição a, b e c aos locais x, v e w, respectivamente, de modo a minimizar a distância percorrida por dia.

Claro que nem todos os problemas de afectação são tão fáceis de resolver como neste caso. Os métodos para resolver problemas de afectação são apresentados na maior parte dos textos introdutórios de investigação operacional.

Para além dos custos referidos acima, podem existir custos adicionais, resultantes da localização do novo centro de distribuição i no local j, tais como custos de preparação ou aquisição do terreno. Se c"_{i j} denotar a soma destes outros custos e c'_{i j} representar os custos referidos acima, então os valores dos custos c_{i j} a usar na resolução do problema de afectação são dados por

c_{i j} = c'_{i j} + c"_{i j}

Naturalmente, c'_{i j} e c"_{i j} têm que ter as mesmas dimensões.

FRANCIS, Richard L.; WHITE, John A. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach. Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1974.

2006-06-04T22:48:00.000+01:00

Eficiência do ciclo de operação

= Tempo de máquina, h / Período de tempo, h
= Somatório de todos os tempos de ciclo de operações de produção, h / Período de tempo no ciclo de produção, h
[proporção]

Este indicador mede a eficiência com que os materiais circulam no processo de fabrico. Obviamente que se podem esperar valores diferentes entre operações à tarefa e sistemas de processamento contínuos. O tempo de máquina inclui todo o tempo gasto nas operações de produção reais nas máquinas, tratamentos e inspecção, incluindo tempo de carga/descarga. O período de tempo é desde que a unidade entra no departamento de produção (por exemplo, 08h00 de 4 de Junho) até sair (por exemplo, 09h00 de 20 de Junho). Só contam os dias úteis e apenas 8 h/dia (assumindo que um turno é de 8 h), então neste exemplo, o período de tempo seria 12 dias × 8 h/dia + 1 = 96 + 1 = 97 h.

O tempo não gasto na produção pode ser causado por atrasos na movimentação de material, má programação e rota, operação ineficiente das máquinas e falha das máquinas, e limitações da armazenagem, entre outras razões. Para aumentar a utilização das máquinas, o atraso deve ser eliminado ou pelo menos minimizado. O indicador de desempenho deve ser aplicado e observado constantemente, durante um certo tempo.

Algumas possibilidades de melhoria incluem ter sistemas de identificação automática para melhorar a entrada de dados de controlo dos materiais, padronizar métodos de movimentação de materiais e contentores, e considerar tecnologia de grupo e configuração em células. (Note-se, contudo, o conflito entre a tecnologia de grupo, que recomenda a produção de artigos da mesma família em conjunto, e o Planeamento de Recursos Materiais (MRP II), que recomenda a produção de artigos só imediatamente antes de serem necessários.)

Tarefas atrasadas

= Número de tarefas atrasadas numa semana, tarefas/semana / Número de tarefas completadas numa semana, tarefas/semana
[proporção]

Não dar demasiada importância às tarefas atrasadas. Apesar dos atrasos serem de evitar, não devem ser evitados a qualquer preço.

Carga de maquinaria automática, principal

= Soma das percentagens do tempo de paragem das máquinas para todos os casos em que as percentagens individuais de tempo de paragem são iguais ou menores que 50% dos ciclos de trabalho individuais / (100 Número total de operadores dessas máquinas)
[proporção / operador]

Esta razão é um indicador preciso da eficiência obtida agrupando máquinas para operações com várias máquinas. Deve-se notar que é usado só quando a porção do tempo de máquina do ciclo total de trabalho é automático e as máquinas podem ser deixadas a trabalhar sozinhas. O tempo de paragem é a proporção do ciclo de trabalho em que a máquina é carregada e descarregada.

Carga de maquinaria automática, secundário

= Somatório das percentagens do tempo de paragem das máquinas para todos os casos em que as percentagens individuais de tempo de paragem são maiores que 50% dos ciclos de trabalho individuais / (100 Número total de operadores dessas máquinas)
[proporção / operador]

Este critério é semelhante ao indicador principal acima, excepto que só é usado para grupos de máquinas diferentes a que o índice principal não se adapta.

2006-06-04T22:46:00.000+01:00

Separação de encomendas

= Linhas de encomendas separadas por dia, linhas/dia / Horas de trabalho por dia, h/dia
[linhas/dia]

Dependendo da aplicação, o tempo de separação de uma encomenda pode ser só o tempo para separação da encomenda ou pode incluir também o tempo de reposição e embalagem.

Algumas possibilidades de melhoria incluem a avaliação da separação de uma única encomenda versus separação de várias encomendas versus separação por zona; a avaliação da movimentação do empregado até ao artigo versus movimentação do artigo até ao empregado; e a avaliação de armazenagem dedicada (cada referência com um local próprio sempre lhe atribuído) versus armazenagem aleatória (referência armazenada em qualquer local).

2006-06-04T21:49:00.000+01:00

Recepção e expedição

= Peso recebido (expedido) por dia, kg/dia / Horas de trabalho por dia, h/dia
[kg/h]

ou

= Cargas recebidas (expedidas) por dia, paletes/dia / Horas de trabalho por dia, h/dia
[paletes/h]

ou

= Volume recebido (expedido) por dia, m³/dia / Horas de trabalho por dia, h/dia
[m³/h]

Existem muitas oportunidades de melhoria na recepção e expedição. Parte do desafio consiste no facto do trabalho ser grandemente influenciado pelos vendedores e fornecedores, e pelos departamentos utilizadores internos. Isto é, muito além do controlo do supervisor local e carece de uma abordagem sistémica.

Algumas possibilidades de melhoria incluem a programação da chegada e partida dos camiões, sistemas de identificação automática, impressoras de etiquetas e digitalizadoras para facilitar a introdução de dados e reduzir os erros, e transportadores extensíveis que entram nas caixas ou atrelados dos camiões.

2006-06-04T17:41:00.000+01:00

Expositores, produzidos pela Avedol - Indústria de estantes e expositores, essencialmente utilizados para dar maior destaque ao produto.


Modelo	Altura x Profundidade x Largura (mm)

Expositor A1	600 x 230 x 190
Expositor A2	330 x 200 x 140
Expositor A3	650 x 160 x 120
Expositor Q	1 600 x 450 x 580
Expositor tubo01	1 660 x 410 x 500
Expositor tubo02	1 660 x 450 x 500
Expositor tubo03	1 660 x 410 x 500
Expositor tubo04	1 660 x 450 x 500
Expositor tubo05	1 600 x 450 x 580
Expositor balcão rotativo01	400 x 300 x 500
Expositor balcão rotativo03	400 x 150 x 300
Expositor checkout 900	1 400 x 500 x 900

Expositores neutros / quentes de bancada, utilizados nas zonas de pastelaria, padaria e pizzaria, comercializados pela Fridouro.


Modelo	Altura x Profundidade x Largura (mm)	Tipo

ECC	195 x 370 x 1 020	Neutro
EO	235 x 210 x 1 000	Neutro
VEM 510 Inox	200 x 350 x 500	Neutro
VEM 520 Inox	340 x 350 x 500	Neutro
CT4C	235 x 385 x 810	Quente
CTEE	470 x 600 x 1 150	Quente
VEC 520	410 x 350 x 500	Quente
RIT	610 x 470 x 470	Quente

2006-06-04T15:23:00.000+01:00

Suponha-se que numa região existem 4 grandes clientes institucionais, representados por pontos na Figura 1, e seis áreas habitacionais, representadas na mesma figura. Neste caso, os pesos podem estar associados ao número de entregas a fazer por período de tempo.

Figura 1. Representação geográfica das localizações dos clientes
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

Usando a abordagem da força resultante para cada eixo, é possível resolver problemas de localização rectilineares envolvendo localizações em áreas para os elementos existentes, quando as áreas têm formato rectangular e o peso se distribui uniformemente pela área. Uma vez que estas suposições podem ser satisfeitas fazendo os rectângulos suficientemente pequenos, o procedimento gráfico pode ser aplicado a situações envolvendo áreas de forma irregular.

A área habitacional j é designada por A_j e o seu peso associado denotado por v_j. O total dos pesos é 25. Representando graficamente o peso cumulativo à direita de x, para 0 ≤ x ≤ 8, na Figura 2, verifica-se que metade do peso total é consumida quando x* = 4. Da mesma forma, vê-se na Figura 3 que metade do peso é consumida quando y* = 4 1/8. Note-se que a distribuição uniforme do peso por uma área resulta num consumo linear do peso.

Figura 2. Curva do consumo dos pesos para x
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

Figura 3. Curva do consumo dos pesos para y
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

Para exemplificar, movendo de x = 0 para x = 3, passa-se P₁, A₂, A₆ e um terço de A₁. Então, foram consumidos w₁ + v₂ + v₆ + (v₁ / 3), restando 25 – (2 + 3 + 3 + 1) = 16 como peso cumulativo à direita de x = 3. Da mesma forma, para y = 5 passa-se P₁, P₃, A₁, A₂, A₃, A₄ e três quintos de A₅, então, 25 – (2 + 2 + 3 + 3 + 1 + 2 + 3) = 9 é o peso cumulativo acima de y = 5.

2006-06-03T20:33:00.000+01:00

Uma empresa de hipermercados decidiu efectuar 60 medições relativas a determinada característica de um artigo exposto para venda na sua superfície comercial, no âmbito de um estudo realizado pelo departamento de qualidade.

Com base nas medições, indicadas na (Tabela 1), procedeu-se ao agrupamento desses dados (Tabela 2) e construi-se o respectivo histograma (Figura 1), assim como se calcularam os valores da média, mediana e variância. O histograma sugere que os valores medidos seguem, aproximadamente, uma distribuição normal.

Tabela 1. Medições


130	124	121	118	122	138	130	136	124	136
131	129	140	125	128	125	127	123	136	131
124	131	137	133	126	120	123	135	129	125
120	118	125	141	119	133	130	129	132	122
123	133	124	125	133	137	122	126	132	128
142	137	128	130	135	134	129	132	129	126

Tabela 2. Distribuição de frequências


Classe	Média da classe	Frequência absoluta	Frequência relativa	Frequência relativa acumulada
(i)	(m_i)	(fa_i)	(fr_i)	(Fr_i)

[117,75; 121,25[	119,5	6	0,100	0,100
[121,25; 124,75[	123,0	10	0,167	0,267
[124,75; 128,25[	126,5	12	0,200	0,467
[128,25; 131,75[	130,0	12	0,200	0,667
[131,75; 135,25[	133,5	10	0,167	0,833
[135,25; 138,75[	137,0	7	0,117	0,950
[138,75; 142,25[	140,5	3	0,050	1,000

Figura 1.

Média = ∑ (fa_i m_i) / n = 129

Mediana = L + R [(0,5 - Fr_{m - 1}) / fr_m] = 128,83

Variância =1/(n-1)*∑ fa_i(mi-média)²= 34,5

onde:

L = limite inferior da classe mediana

R = amplitude da classe

fr_m = frequência relativa da classe mediana

Fr_{m - 1} = frequência relativa acumulada de todas as classes abaixo da classe mediana

2006-06-03T17:10:00.000+01:00

Suponha-se que existem cinco hipermercados localizados nos pontos (0, 0), (0, 10), (20, 0), (40, 10) e (10, 10). Estes hipermercados necessitam de ser abastecidos com frequências esperadas de 6, 10, 11, 12 e 5 vezes por mês, respectivamente. O custo do abastecimento é de 10 UM por unidade de distância. O custo mensal de posse e operação de um centro de distribuição é de 6 000 UM. As distâncias apropriadas são rectilineares e um hipermercado é abastecido só por um centro de distribuição.

Para um centro de distribuição, n = 1, a localização de um único centro de distribuição é facilmente determinada usando a propriedade mediana. O total dos pesos é 44 e (x*, y*) = (20, 10); a distância total percorrida é de 780 (num sentido); portanto

ψ_{n = 1} = 10 (2) (780) + 6 000, ou seja , 21 600 UM

Com n = 2, existem

S (2, 5) = ∑ [(-1)^k (2 – k)⁵ / k! (2 - k!)], para k = 0, ..., (n - 1) = 15

combinações de afectação para serem consideradas. Normalmente, todavia, algumas combinações podem ser eliminadas por inspecção devido à topografia da situação.

Uma heurística que pode ser utilizada para reduzir o número de cáculos envolvidos é eliminar combinações de afectação que resultam em regiões a abastecer pelos novos centros de distribuição que se intersectam.

Para n = 2, a afectação de um novo centro de distribuição aos hipermercados 3 e 4 resulta em regiões a abastecer, representadas na Figura 1, que não se intersectam. Como se mostra na Figura 1, para distâncias rectilineares, uma região a abastecer é definida como sendo o menor rectângulo contendo os hipermercados a serem abastecidos pelo novo centro de distribuição.

Figura 1. Regiões de abastecimento para a combinação de afectação de
um novo centro de distribuição aos hipermercados 3 e 4
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

Neste caso, são eliminadas onze combinações de afectação com regiões de abastecimento que se intersectam. Os resultados para as restantes quatro combinações são resumidos na Tabela 1. A afectação óptima é um novo centro de distribuição abastecer o hipermercado 4 e o outro novo centro de distribuição abastecer os hipermercados restantes; o custo resultante é ψ*_{n = 2} = 20 400 UM.

Tabela 1. Resultados para n = 2


Combinação	Hipermercados afectados ao novo centro de distribuição 1	(x₁, y₁)	(x₂, y₂)	ψ_{n = 2}

4	4	(40, 10)	(0, 0)	20 400
6	1, 2	(0, 10)	(20, 10)	21 200
7	1, 3	(20, 0)	(10, 10)	23 600
13	3, 4	(40, 10)	(0, 10)	20 800

Para n = 3, existem

S (3, 5) = ∑ [(-1)^k (3 – k)⁵ / k! (3 - k!)], para k = 0, ..., (n - 1) = 25

combinações de afectação para serem consideradas. Neste caso, são eliminadas 16 combinações de afectação com regiões de abastecimento que se intersectam. Os resultados para as restantes nove combinações são resumidos na Tabela 2. A afectação óptima é um centro de distribuição abastecer o hipermercado 3, outro centro de distribuição abastecer o hipermercado 4 e o terceiro centro de distribuição abastecer os hipermercados 1, 2 e 5. O custo total dessa afectação é ψ*_{n = 3} = 20 200 UM.

Tabela 2. Resultados para n = 3


	Hipermercados afectados ao novo centro de distribuição

Combinação	1	2	3	(x₁, y₁)	(x₂, y₂)	(x₃, y₃)	ψ_{n = 3}

1	1	2	3, 4, 5	(0, 0)	(0, 10)	(20, 10)	26 000
2	1	3	2, 4, 5	(0, 0)	(20, 0)	(10, 10)	27 200
8	3	4	1, 2, 5	(20, 0)	(40, 10)	(0, 10)	20 200
13	1	2, 5	3, 4	(0, 0)	(0, 10)	(40, 10)	25 600
16	2	4, 5	1, 3	(0, 10)	(40, 10)	(20, 0)	23 400
17	3	1, 2	4, 5	(20, 0)	(0, 10)	(40, 10)	22 200
20	4	1, 2	3, 5	(40, 10)	(0, 10)	(20, 0)	21 200
21	4	1, 3	2, 5	(40, 10)	(20, 0)	(0, 10)	21 400
23	5	1, 2	3, 4	(10, 10)	(0, 10)	(40, 10)	25 800

Para n = 4, existem

S (4, 5) = ∑ [(-1)^k (4 – k)⁵ / k! (4 - k!)], para k = 0, ..., (n - 1) = 10

combinações de afectação a considerar. Uma vez que o custo dos novos centros de distribuição é de 24 000, é, no entanto, óbvio que ψ*_{n = 4} > ψ*_{n = 3}. Da mesma forma, para n = 5, ψ*_{n = 5} > ψ*_{n = 3}. Portanto, conclui-se que n* = 3, (x₁*, y₁*) = (20, 0), (x₂*, y₂*) = (40, 10) e (x₃*, y₃*) = (0, 10).

2006-06-03T12:50:00.000+01:00

10. Fazer a selecção do local

De acordo com os pressupostos do procedimento de Brown-Gibson, deve ser recomendado o local que tiver o maior valor da medida da localização. Os resultados da análise de sensibilidade, todavia, podem levar a direcção a recomendar que seja seleccionado outro local ou a realização de mais estudos. Não é invulgar verificar-se que o processo tem que ser repetido por terem sido definidos novos factores, terem sido sugeridos novos locais candidatos, as condições do negócio alteraram o valor atribuído a alguns factores ou por um conjunto de outras razões. Embora frustrante para o analista envolvido na realização do estudo, deve ser entendido que a finalidade do estudo é ajudar a direcção a tomar decisões bem pensadas.

No exemplo, a direcção pode decidir visitar os locais 1, 4 e 5 e tomar uma decisão com base numa reacção instintiva, particularmente porque a análise indicava que os locais estavam praticamente empatados.

2006-06-03T11:15:00.000+01:00

9. Fazer análise de sensibilidade

A sensibilidade da medida da localização ao peso do factor de decisão objectivo deve ser investigada dado que a determinação deste peso envolve, geralmente, um alto grau de subjectividade.

A Figura 1 ilustra a análise de sensibilidade realizada com os dados da Tabela 6 (VIII). A medida da localização é uma função linear de X. Portanto, todas as linhas do gráfico são rectas. Note-se que, neste caso, os locais 4 e 1 dominam todos os outros locais. Para valores de X < 0,73 o local 4 é preferível; caso contrário, deve ser seleccionado o local 1.

Figura 1. Análise de sensibilidade das medidas das localizações a variações do
peso do factor de decisão objectivo para o procedimento de
selecção sistemática de local para uma instalação

Podem também ser efectuadas análises de sensibilidade em relação a outras variáveis do estudo. Alterações na mão-de-obra, serviços públicos e necessidades da produção são exemplos de dados que podem estar sujeitos a variações. Por isso, adicionalmente, pode ser desejável apresentar à direcção análises de sensibilidade também em relação a estes factores.

2006-06-03T09:33:00.000+01:00

8. Calcular as medidas das localizações

A medida de localização pode ser determinada multiplicando o peso do factor de decisão objectivo pela medida do factor objectivo e adicionando o resultado ao produto da medida do factor subjectivo por 1 menos o peso do factor de decisão objectivo. A soma obtida é a medida de localização. Portanto, vê-se que a medida de localização é uma média ponderada da medida do factor objectivo e da medida do factor subjectivo. O peso do factor de decisão objectivo é o factor de ponderação.

Na Tabela 6 é dado um exemplo do cálculo de seis medidas de localização, dados as respectivas medidas do factor objectivo, medidas do factor subjectivo e o peso do factor de decisão objectivo.

Tabela 6. Exemplo da determinação das medidas de localização
para o procedimento de selecção sistemática de
local para uma instalação*


Local	Medida do factor objectivo	Medida do factor subjectivo	Medida de localização

1	0,174 33	0,228 39	0,185 14
2	0,168 14	0,136 38	0,161 79
3	0,161 19	0,152 57	0,165 07
4	0,166 69	0,248 80	0,183 11
5	0,165 56	0,233 86	0,179 22
6	0,157 09	0,000 00	0,125 68

*(peso do factor de decisão objectivo = 0,8)

Exemplo: (0,174 33) (0,8) + (0,228 39) (0,2) = 0,185 14

2006-06-03T08:46:00.000+01:00

7. Determinar o peso do factor de decisão objectivo

As vantagens relativas de cada localização potencial em relação aos factores objectivos e factores subjectivos foram determinadas pela avaliação dos indicadores adimensionais designados medida do factor objectivo, OFM, e medida do factor subjectivo, SMF, respectivamente. Para combinar estas duas medidas, deve ser determinado o peso do factor de decisão objectivo, X. Este peso é definido como a importância relativa dos factores objectivos para a decisão de localização. O valor varia entre 0 e 1.

O valor de X é frequentemente determinado por uma comissão de gestão e baseia-se na política da empresa, dados passados e outros. Por exemplo, se for decidido que os factores subjectivos e objectivos devem ter um papel igual na decisão de localização, então X = 0,5. Se, por outro lado, for considerado que os factores objectivos devem pesar 80% na decisão de localização, então X = 0,8.

2006-06-03T08:35:00.000+01:00

6. Avaliar as medidas dos factores subjectivos

Tendo determinado os pesos dos factores subjectivos e os pesos dos locais, pode-se avaliar a medida do factor subjectivo para cada local. Matematicamente, a medida do factor subjectivo para cada local é equivalente à soma dos produtos do peso de cada factor subjectivo pelo peso apropriado de cada local.

Considerando o exemplo dado na Tabela 5 para 6 localizações potenciais e 14 factores subjectivos. A medida do factor subjectivo do local 1 é obtida da somando os produtos dos elementos respectivos na coluna de pesos do local pelos da coluna dos pesos dos factores subjectivos. Portanto,

(0,138 30) × (0,200 00) + (0,095 74) × (0,200 00) + (0,021 28) × (0,277 78) + (0,000 00) × (0,187 50) + (0,063 83) × (0,333 33) + (0,053 19) × (0,125 00) + (0,031 91) × (0,266 67) + (0,1063 8) × (0,250 00) + (0,074 47) × (0,312 50) + (0,053 19) × (0,266 67) + (0,010 64) × (0,117 65) + (0,137 30) × (0,200 00) + (0,074 47) × (0,250 00) + (0,138 30) × (0,200 00) = 0,228 39

Tabela 5. Exemplo de determinação da medida do factor subjectivo para o
procedimento de selecção sistemática de local para uma instalação


	Peso do local						Peso do
							factor
Factor subjectivo	1	2	3	4	5	6	subjectivo

Disponibilidade de transportes	0,200 00	0,066 67	0,333 33	0,266 67	0,133 33	0,000 00	0,138 30
Parques industriais	0,200 00	0,066 67	0,133 33	0,333 33	0,266 67	0,000 00	0,095 74
Condições climatéricas	0,277 78	0,111 11	0,055 55	0,277 78	0,277 78	0,000 00	0,021 28
Estabelecimentos de ensino	0,187 50	0,312 50	0,187 50	0,250 00	0,062 50	0,000 00	0,000 00
Actividade sindical	0,333 33	0,266 67	0,066 67	0,200 00	0,133 33	0,000 00	0,063 83
Instalações de recreio	0,125 00	0,312 50	0,187 50	0,250 00	0,125 00	0,000 00	0,053 19
Habitação disponível	0,266 67	0,200 00	0,066 67	0,333 33	0,133 33	0,000 00	0,031 91
Crescimento futuro	0,250 00	0,125 00	0,062 50	0,250 00	0,312 50	0,000 00	0,10638
Serviços comunitários	0,312 50	0,062 50	0,125 00	0,187 50	0,312 50	0,000 00	0,074 47
Instalações para transporte do pessoal	0,266 67	0,133 33	0,066 67	0,200 00	0,333 33	0,000 00	0,053 19
Custo de vida	0,117 65	0,235 29	0,117 65	0,294 12	0,235 29	0,000 00	0,010 64
Indústrias oncorrentes	0,200 00	0,200 00	0,200 00	0,200 00	0,200 00	0,000 00	0,138 30
Indústrias complementares	0,250 00	0,187 50	0,125 00	0,125 00	0,312 50	0,000 00	0,074 47
Disponibilidade de mão de obra	0,200 00	0,066 67	0,133 33	0,333 33	0,266 67	0,000 00	0,138 30

Medida do factor subjectivo	0,228 39	0,136 38	0,152 57	0,248 80	0,233 86	0,000 00

2006-06-02T20:18:00.000+01:00

Cargas danificadas

= Número de cargas danificadas / Número total de cargas
[proporção]

Este indicador dá uma ideia de como as equipas de pessoal movimentam efectiva e apropriadamente as mercadorias que entram e saem, e os materiais em curso de fabrico. O indicador mede a qualidade do desempenho do pessoal de movimentação de materiais. Os requisitos de controlo das perdas podem ser exemplificados por «no máximo, são danificados 3 a 5% dos produtos movimentados» e «o custo dos bens danificados varia de 5 a 50 vezes o custo dos acidentes de trabalho».

As cargas danificadas devem ser determinadas por amostragem e não por relatório do próprio operador. Qualquer componente danificada de qualquer produto é considerada uma carga danificada. O indicador deve ser determinado para diferentes departamentos e fases do fluxo de materiais na instalação, tais como recepção, fabricação e expedição. A danificação das cargas durante a recepção, movimentação em curso de fabrico e expedição devem ser minimizados, Algumas possibilidades de melhoria incluem a instalação de aspersores e detectores de fumo, e fazer com que operadores da movimentação de materiais recebam treino formal, com refrescamento periódico.

Contracção dos stocks

= Investimento verificado em stocks, $ / Investimento esperado em stocks, $
[proporção]

A perda por contracção dos stocks deve-se a furtos, erros de registo e de expedição, entre outros. Algumas possibilidades de melhoria incluem fazer com que as pessoas que entram e saem do edifício passem por uma passagem apertada com vigilância humana.

2006-06-02T13:32:00.000+01:00

Edward Silver e Harlan Meal desenvolveram uma variante da EOQ que se aproxima a optimalidade do algoritmo de Wagner-Whitin, para um dado horizonte de tempo. Esta heurística selecciona uma quantidade de encomenda, correspondente às necessidades de um número inteiro de períodos, que minimize os custos relevantes totais (TRC) por período de tempo de duração da encomenda. Os custos relevantes totais são os custos de encomenda e de posse. Se uma encomenda chega no início do primeiro período e cobre as necessidades até ao final do período T, a função objectivo pode ser expressa por

TRC (T) / T = (C + total dos custos de posse até final do período T) / T

= [C + h P ∑_{k = 1, ..., T} (k - 1) R_k] / T

onde:

C = custo de encomenda

h = custo de posse por período, em fracção do custo unitário

P = custo unitário

R_k = procura no período k

T = duração do reabastecimento em períodos de tempo

TRC (T) = custos relevantes totais durante T períodos

TRC (T) / T = custos relevantes totais por período, durante T períodos

O objectivo é seleccionar o T que minimize os custos relevantes totais por unidade de tempo. A heurística avalia valores crescentes de T até que

TRC (T + 1) / (T + 1) > TRC (T) / T

Quando os custos relevantes totais por unidade de tempo começa a aumentar em T + 1, o T associado é seleccionado como o número de períodos do fornecimento da encomenda de reabastecimento. A quantidade de reabastecimento Q associada a um valor particular de T é

Q = ∑_{k = 1, ..., T} R_k

A heurística de Silver-Meal apenas garante um mínimo local para o reabastecimento imediato. É possível que maiores valores de T pudessem resultar ainda em menores custos por unidade de tempo, mas a probabilidade dessa melhoria, na maior parte dos casos reais, é pequena.

A justificação para usar uma heurística menos que óptima é uma combinação de simplicidade e custo de desempenho razoável. Na maior parte dos casos, a penalização média em custos é inferior a 1% do «óptimo» do algoritmo de wagner-Whitin e, muitas vezes, não há nenhum agravamento dos custos. Quando a heurística é testada num ambiente de horizonte móvel, pode ter melhor desempenho que o algoritmo de programação dinâmica. Duas situações em que a heurística não tem bom desempenho são quando:

a procura diminui rapidamente com o tempo durante vários períodos,

existe um grande número de períodos sem procura.

Para o mesmo artigo e situação analisada pelo algoritmo de Wagner-Whitin, a Tabela 1 indica os cálculos necessários para determinar as quantidades de reabastecimento pela heurística de Silver-Meal.

Tabela 1.


Período	T	Procura	Custos de posse incrementais	Custos de posse cumulativos	TRC (T)	TRC (T) / T
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)
		R_T	h P (T - 1) R_T	h P ∑ (k - 1) R_k	C + (5)	(6) / T

		unidades	---------------------------------- (UM) ----------------------------------
1	1	75	50 (0,02) (0) 75 = 0	0	100	100,00
2	2	0	50 (0,02) (1) 0 = 0	0	100	50,00
3	3	33	50 (0,02) (2) 33 = 66	66	166	55,33

3	1	33	50 (0,02) (0) 33 = 0	0	100	100,00
4	2	28	50 (0,02) (1) 28 = 28	28	128	64,00
5	3	0	50 (0,02) (2) 0 = 0	28	128	42,67
6	4	10	50 (0,02) (3) 10 = 30	58	158	39,50

O custo relevante total por período diminui a partir do período 1 até aumentar no período 3. O reabastecimento inicial, no período 1, é de unidades suficientes para durarem até ao período 2, ou seja, 75 + 0 = 75 unidades. O reabastecimento seguinte, no período 3, é de unidades suficientes para durarem até ao período 6, ou seja, 33 + 28 + 0 + 10 = 71 unidades. Note-se nesta situação a heurística de Silver-Meal chega às mesmas decisões de reabastecimento que o algoritmo optimizante de Wagner-Whitin com muito menos cálculos. A programação das encomendas da heurística de Silver Meal e os custos variáveis cumulativos são os seguintes:

TERSINE, Richard J. – Principles of Inventory and Materials Management, 3.ª ed., Nova Iorque, North-Holland, 1988.

2006-06-02T13:00:00.000+01:00

O valor do custo de ruptura não pode ser calculado

Prosseguindo com o exemplo anterior, mas numa situação onde não se podem calcular os custos de ruptura de stock, pode-se fixar, arbitrariamente, um risco aceitável de ruptura provável por ano, r. Limita-se, assim, o valor dos encargos de ruptura, apesar não se conhecerem em valor absoluto e determina-se o nível do stock de segurança.

Custo unitário = C₁ = 30 UM

Taxa de posse anual = T = 15 % = 0,15

Periocidade económica de encomenda, mensal = P = 1

Periodo de aprovisionamento, praticamente nulo = L = 0

Admitindo, por exemplo, um risco de ruptura provável por ano correspondente a r = 1

F(s) = r P / 12 = 1 / 12 = 0,0833

Consultando a Tabela 2 do exemplo anterior, observa-se que o valor do nível do stock de segurança é de 50 unidades.

A escolha de r nem sempre é simples. Por vezes, é necessario reduzi-lo consideravelmente. Nalguns casos, embora seja possível calcular o custo de ruptura, pode ser necessário a empresa afastar-se do óptimo económico, adoptando um risco de ruptura inferior. É o que pode acontecer por imperativo de garantias ou nível de qualidade do serviço a prestar aos clientes. Por tudo isto, há que ter em atenção as consequencias dessa opção, visto que o volume do stock de segurança aumenta rapidamente, quando o risco r escolhido diminui.

A partir do exemplo anterior foi elaborada a Tabela 1 e o correspondente gráfico, apresentado na Figura 1.

Tabela 1. Custo anual de posse do stock de segurança

Figura 1. Z₂ em função do número de rupturas prováveis aceites por ano

Analisando a Tabela 1 e a Figura 1, pode-se avaliar a rapidez com que o volume do stock de segurança e os encargos de posse aumentam, à medida que se é mais exigente quanto à probabilidade do risco de ruptura. Ambos duplicam quando, em vez de uma ruptura provavel por ano (r = 1), só se aceita uma ruptura provável em cada quatro anos (r = 0,25). Inversamente, se se aceitar que o número anual passe de 1 para 3 rupturas prováveis, tanto o volume do stock de segurança como os custos de posse deste stock diminuem para metade.

RAMBAUX, A. – Gestão Económica dos «Stocks» , 2.ª ed. Lisboa, Pórtico, s.d.

2006-06-02T00:42:00.000+01:00

Movimentação / Operação

= Número total de movimentações de um produto, movimentações / Número total de operações de transformação de um produto, operações
[proporção]

Esta relação reflecte a eficiência global das operações de movimentação de materiais numa instalação. Pode indicar o número de actividades de movimentação – e removimentação – envolvidos na recepção, armazenagem, produção e noutros departamentos. Normalmente, um indicador elevado indica uma oportunidade de melhoria, na forma de menos actividades de movimentação, operações simplificadas, ou utilização de equipamento mecanizado.

Distância média / Movimentação

= Total da distância de movimentação, m / Número total de movimentações de um produto, movimentações
[m / movimentações]

O número de movimentações e distâncias são normalmente desenvolvidos em fluxogramas. Os dados, especialmente para as distâncias, devem ser medidos como são feitos e não como imaginados numa mesa do escritório. Algumas possibilidades de melhoria incluem diagramas de fluxo para o material, equipamento e pessoas, e o desenvolvimento de configurações alternativas para reduzir distâncias.

Movimentação directa de materiais

= Distância que um componente ou peça tem que percorrerdurante a produção, m
[m]

Este não é propriamente um indicador, mas simplesmente um número de metros. É uma boa medida da eficiência com que a rota da produção está configuradada e pode ser usada para comparar instalações ou áreas produzindo o mesmo tipo de produto. Determinou-se ser mais preciso que qualquer indicador analisado.

Movimentação indirecta de materiais

= Somatório das distâncias que um componente se movimenta automaticamente de máquina para máquina, sem movimentação externa de materiais, m / Distância real total que um componente percorre na rota da produção desde os armazéns de matérias-primas até aos de produto acabado, m
[proporção]

A movimentação externa de materiais significa movimentação manual de materiais da produção de um local para outro, em caixas, tabuleiros e afins. No âmbito de organizacões mais pequenas, a distância real total que um componente percorre na rota da produção desde os armazéns de matérias-primas até aos de produto acabado, pode ser reformulado como: a distância desde a entrada da área do layout até à saída da área do layout.

Este indicador tem sido consistente e preciso e é recomendado como uma boa medida da eficiência da rota de produção em relação à mecanização da movimentação de materiais.

2006-06-01T23:06:00.000+01:00

Unidades de carga

= (Tara, kg / Peso bruto, kg) 100 [percentagem]
= (Tara, kg / Capacidade de carga, kg) 100 [percentagem]
= Tara, kg / Volume bruto, m³ [kg / m³]
= Tara, kg / Volume utilizável, m³ [kg / m³]
= Capacidade de carga, kg / Volume bruto, m³ [kg / m³]
= Capacidade de carga, kg / Volume utilizável, m³ [kg / m³]
= Capacidade de carga, kg / Área interior, m² [kg / m²]
= (Volume utilizável, m³ / Volume bruto, m³) 100 [percentagem]
= Volume utilizável, m³ / Custo, $ [m³ / $]

Os indicadores acima podem ser interpretados em termos de famílias de curvas por tipos de contentores e também é possível interpolar a partir dessas curvas ou gráficos em situações em que os dados reais não estão disponíveis.

2006-06-01T21:30:00.000+01:00

Utilização de energia

= kWh / Volume, m³
[kWh / m³]

também conhecido por

Energia

Mais do que nunca, todas as pessoas estão preocupadas com a eficiência energética dos equipamentos e operações, podendo utilizar os indicadores que cobrem este importante factor. Pode ser possível determinar as diferentes eficiências energéticas – relacionando a movimentação com o consumo de energia – para equipamentos individuais tais como as correias transportadoras ou empilhadoras. Contudo, uma avaliação mais significativa pode ser a energia utilizada para toda a instalação, medindo a eficiência das operações de aquecimento e arrefecimento – por exemplo kWh / m³ do espaço de armazenagem. Para operações em escritórios com pé direito baixo e consistente, pode-se querer calcular por m² em vez de por m³. A tabela seguinte mostra os factores de conversão de vários tipos de combustíveis para kWh. A unidade comum é o kWh em vez de UM para eliminar o efeito da inflação e permitir comparações com instalações com diferentes taxas de serviços de utilidade pública. Um BTU consumido por dia é igual a 7,033 706 Wh.

Este indicador pode ser mantida baixo com medidas tais como: fornecendo aquecimento, ventilação, ar-condicionado e iluminação em áreas sem pessoal ou instalações de armazenagem automática a níveis apropriados para produtos, em vez de para pessoas, fechando as cabines dos veículos, desligando as lâmpadas quando não são necessárias, iluminando as tarefas com projectores ou luzes montadas em equipamentos móveis, em vez de iluminação superior permanente, colocando as lâmpadas do tecto por cima dos corredores, em vez de por cima dos produtos e usando microprocessadores para regular o consumo de energia.

Se a fonte de energia for	e as unidades são	para ter as unidades em
		kWh, multiplicar por
Carvão betuminoso	Kg	8,069
Energia eléctrica	KWh	1
Gás natural	m³	10,347
Gasóleo	litro	8,825
Gasolina	litro	7,8
Óleo combustível n.º2	litro	9,09
Oléo combustível n.º4	litro	9,49
Propano	Kg	13,889
Vapor (comprado)	Kg	0,646

Utilização da gravidade

= Somatório das distâncias verticais em que é utilizada a alimentação por gravidade numa instalação com vários pisos, m / Distância vertical total, para cima ou para baixo, que um componente percorre, envolvendo esforços, quer mecânicos, quer humanos, desde a área de entrada até à área de saída da configuração de uma instalação com vários pisos, m
[proporção]

Este índice pode ser considerado uma boa indicação da medida em que a gravidade é utilizada para movimentar peças para cima e para baixo. Quando aplicado operações num único piso, dá resultados peculiares e pouco razoáveis.

2006-06-01T19:11:00.000+01:00

Suponha-se que existem cinco locais potenciais, A, B, C, D e E, para a construção de novos centros de distribuição para abastecerem os hipermercados localizados nas cidades 1, 2, 3, 4, 5. Para cada local, os custos anuais de abastecer um hipermercado são dados na Tabela 1. O custo fixo anual de dispôr de um centro de distribuição também é dado para cada local.

Tabela 1.


	Locais para centros de distribuição
Localização de
hipermercados	A	B	C	D	E

1	100	500	1 800	1 300	1 700
2	1 500	200	2 600	1 400	1 800
3	2 500	1 200	1 700	300	1 900
4	2 800	1 800	700	800	800
5	10 000	12 000	800	8 000	900

Custos fixos	3 000	2 000	2 000	3 000	4 000

Se apenas for construído um centro de distribuição, a selecção do local A resulta num custo total anual de 19 900 UM, incluindo o custo do novo centro de distribuição. Os custos totais anuais dos restantes locais são: 17 700, 9 600, 14 800 e 11 100 UM. Portanto, deve ser seleccionado o local C. Note-se que se se localizar um centro de distribuição em C, então os hipermercados das cidades 4 e 5 são sempre abastecidos pelo centro de distribuição no local C, independentemente de quaisquer decisões subsequentes de localizar novos centros de distribuição noutros locais.

Suponha-se que se decide localizar um novo centro de distribuição em A, juntamente com o centro de distribuição no local C.

Os hipermercados localizados nas cidades 1 e 2 são abastecidos do local A com uma poupança de 1 700 + 1 100 = 2 800 UM, o que é menos que o custo fixo de 3 000 UM de dispôr de um novo centro de distribuição em A. Localizando um novo centro de distribuição em B resulta numa redução de custos de 1 300 + 2 400 + 500 = 4 200 para os hipermercados localizados nas cidades 1, 2 e 3; dado que a redução de custos excede em 2 200 UM o custo fixo de 2 000, o local B é um candidato viável para um centro de distribuição adicional. Localizando um novo centro de distribuição em D resulta numa economia anual de 3 100 UM, ultrapassada pelo custo fixo anual de 3 000 UM. O local E resulta numa economia anual de 100 UM para o hipermercado localizado na cidade 1 a um custo fixo de 4 000 UM. Um segundo centro de distribuição vai ser localizado em B uma vez que a maior poupança líquida anual ocorre no local B. O novo custo total anual é (9 600 – 4 200) + 2 000 = 7 400.

Nesta altura, localizaram-se novos centros de distribuição em B e C. Adicionando um terceiro, as poupanças anuais líquidas resultantes da localização do terceiro centro de distribuição em j, designada por NAS (j), são

NAS (A) = 400 – 300 = - 2 600 UM

NAS (D) = 900 – 3 000 = - 2 100 UM

NAS (E) = 0 – 4 000 = - 4 000 UM

Portanto, não se justifica nenhum centro de distribuição adicional e os novos centros de distribuição são localizados somente em B e C, a um custo total anual de 7 400 UM. O centro de distribuição localizado em C abastece os hipermercados localizados nas cidades 4 e 5 e o centro de distribuição localizado em B abastece os hipermercados localizados nas cidades 1, 2 e 3.

A abordagem de continuar a adicionar centros de distribuição em locais com as maiores economias líquidas anuais não garante que resulte numa solução óptima. Em particular, pode acontecer que uma adição subsequente de centros de distribuição faz com que alguma decisão anterior de adicionar um centro de distribuição não seja óptima. Uma abordagem que pode ser usada para obviar parcialmente essa possibilidade é retirar da solução o local que produz a maior economia anual. Uma verificação de «eliminações» viáveis é feita depois de cada verificação de «adicções» viáveis.

2006-06-01T18:13:00.000+01:00

A Fridouro é uma empresa portuguesa que se dedica ao comércio de equipamentos para o ramo da hotelaria. A empresa comercializa, instala, faz a manutenção e dá assistência a uma vasta gama de equipamentos de frio, entre os quais ilhas frigoríficas e expositores de vinhos.

Ilhas frigoríficas

Modelo	Altura x Profunfidade x Largura (mm)	Capacidade (l)
CRISTAL 180 WP	1 025 x 850 x 1 014	172
CRISTAL 180 WN	1 025 x 850 x 1 014	172
GONDOLA K 25 OS	880 x 1 034 x 2 534	656
GONDOLA K 20 OS	880 x 1 034 x 2 034	518
GONDOLA K 15 OS	880 x 1 034 x 1 534	380

Expositores de vinhos Refrigerados

Modelo	Altura x Profunfidade x Largura (mm)	Capacidade (l)
USD 374 GD	1 840 x 635 x 595	372
ARVG320	1 930 x 650 x 620	90 a 95 garrafas
LSC-320	1 463 x 623 x 600	60 a 320 garrafas
UDVC 1370 PV	1 840 x 635 x 595	372
BC 123 BL	840 x 535 x 526	123

2006-06-01T02:31:00.000+01:00

Suponha-se, por exemplo, dois vencimentos: 3 000 UM e 6 000 UM. Admita-se que o escalão da Segurança Social se situa nas 4 000 UM.

Para o primeiro vencimento, o conjunto das cotizações aplicar-se sobre 3 000 UM, ou seja:

5 00 UM × (0,35 + 0,15) = 1 500 UM

Para o segundo vencimento, o cálculo efectua-se de uma forma diferente:

4 000 UM × 0,35 = 1 400 UM

6 000 UM × 0,15 = 900 UM

Total = 2 300 UM

A relação

(encargos sociais) / vencimentos

indica, para ambos os vencimentos:

1 500 / 3 000 = 50%

2 300 / 6 000 = 38,33%

É, por isso, prudente conhecer-se previamente a estrutura dos vencimentos, antes de se aplicar um qualquer coeficiente multiplicador dos encargos sociais.

2006-05-31T22:19:00.000+01:00

Tipos de layouts alternativos para um dado conjunto de parâmetros

Quaisquer que sejam os parâmetros básicos, a configuração do sistema pode variar alterando algumas das variáveis, tais como o número de cargasa em altura ou o número de colunas. Seguem-se alguns exemplos:

Parâmetros:

Palete de 1,07 × 1,22 m, com 1,22 m de altura, cargas de 900 a 1 800 kg.
[Palete de 42 × 48 polegadas, com 48 polegadas de altura, cargas de 2 000 a 4 000 libras].
Movimentações de 85 a 100 ciclos duplos / hora
(requer um mínimo de 5 gruas e 5 corredores).
Necessidade de armazenar 10 000 cargas ± 1%.

Configuração do Sistema # 1

Altura de 10 cargas × 100 colunas × 10 estantes de armazenagem = 10 000 cargas.

Dimensões do sistema:

Altura de 16,76 m de altura × [129,54 m de comprimento + 7,62 m (espaço à frente e ao fundo)] × 21,34 m de largura.
{Altura de 55 pés × [425 pés de comprimento + 25 pés (espaço à frente e ao fundo)] × 70 pés de largura}.

Configuração do Sistema # 2

Altura de 12 cargas × 84 colunas × 10 estantes de armazenagem = 10 080 cargas.

Dimensões do sistema:

Altura de 18,59 m de altura × [108,81 m de comprimento + 7,62 m (espaço à frente e ao fundo)] × 21,34 m de largura.
{Altura de 61,75 pés × [357 pés de comprimento + 25 pés (espaço à frente e ao fundo)] × 70 pés de largura}.

Configuração do Sistema # 3

Altura de 14 cargas × 72 colunas × 10 estantes de armazenagem = 10 080 cargas.

Dimensões do sistema:

Altura de 21,64 m de altura × [93,27 m de comprimento + 7,62 m (espaço à frente e ao fundo)] × 21,34 m de largura.
{Altura de 71,25 pés × [306 pés de comprimento + 25 pés (espaço à frente e ao fundo)] × 70 pés de largura}.

2006-05-31T20:37:00.000+01:00

A. Opções do sistema para reduzir custos

Os cálculos precedentes estabeleceram os parâmetros e orçamentos para um sistema de armazenagem automático com base nas necessidades usuais. Contudo, há opções no projecto dos sistemas que podem reduzir os custos da maquinaria e cotroladores necessários. Aqui estão dois exemplos:

1. Sistema com carros de transferência de corredor

Uma necessidade de armazenar um grande número de unidades de carga juntamente com uma taxa de movimentações baixa pode sugerir a utilização de um sistema de carro de transferência das gruas que permita que as gruas no sistema sirvam vários corredores. A experiência com este sistema dita que um carro de transferência geralmente trabalha com uma grua e que a transferência da grua entre corredores ocorre pouco frequentemente, de modo a maximizar a utilização da grua. Deve haver uma relação de, pelo menos, três corredores por grua, para que se possa considerar a ideia do carro de transferência como uma alternativa viável à abordagem de uma grua por corredor. Adicionalmente, é preciso contabilizar, uns 6 m (20 pés) adicionais de comprimento do sistema para o carro de transferência.

2. Armazenagem em estantes de profundidade dupla

A armazenagem de cargas em profundidade dupla, ou armazenagem das cargas uma atrás de outra em locais de armazenagem de dupla profundidade, pode ser uma boa alternativa a considerar quando há um número relativamente elevado de número de cargas armazenadas em relação ao número de unidades mantidas em armazém (SKUs) ou unidades em armazém individualmente identificáveis. Quando isto acontece, não é necessário acesso total a todas as cargas. Cargas semelhantes podem ser armazenadas uma atrás da outra mas movimentadas juntas num ciclo da grua. Este conceito aumenta a densidade do armazenagem da carga no sistema de 10 a 20% comparado com a armazenagem de profundidade simples.

B. Considerações especiais de projeto

A actividade em particular pode também requerer considerações de projeto no sistema que podem afectar o planeamento e orçamento global. Assegure-se são considerados fatores tais como:

O projecto do edifício novo é do tipo suportado pelas estantes?

É preciso ter capacidade de picking de encomendas?

Os produtos necessitam de armazenamento a baixas temperaturas?

É necessária proteção especial contra incêndios?

2006-05-31T15:10:00.000+01:00

Nas oficinas de uma empresa de hipermercados, procedeu-se, durante seis meses, à recolha de dados refentes ao trabalho de um mecânico. Estes dados permitem comparar as horas de presença remunerada com as horas de trabalho efectivo registadas nas folhas de serviço.

Meses (i)	1	2	3	4	5	6
Horas de presença (T_i)	176	160	176	160	184	160
Horas de trabalho efectivo (t_i)	167	144	169	155	169	144

Índice de eficiência médio: ∑ t_i / ∑ T_i = 948 /1 016 = 0,933

em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6

O mecânico recebe por hora de presença 24 UM. Na realidade, a sua hora de trabalho fica por

24 × (1 / 0,933) = 25,72 UM

Para o cálculo de um preço de custo, há que ter em conta o custo real da mão de obra e não o custo contabilístico. Neste exemplo, a diferença é significativa e foram, posteriormente, imputadas à má organização das oficinas.

Há, contudo, que não confundir o índice de eficiência, exclusivamente relacionado com a organização do trabalho, com o índice de rendimento relativo ao trabalho do operário e que é um problema totalmente diferente.

2006-05-31T00:33:00.000+01:00

A condição M > 1 não significa, necessariamente, que a localização do estabelecimento não possa ser num vértice do triângulo locacional ou mesmo numa fonte de produto que não perca peso no processo de produção. Se os círculos descritos em volta dos triângulos semelhantes se cruzam fora do triângulo locacional, o ponto de equilíbrio dá-se fora desse triângulo. Esse ponto deixa de ser a solução para o problema locacional, uma vez que os custos de transporte poderiam sempre ser reduzidos com a transferência do local para um dos vértices do triângulo locacional. Esse caso pode ser sempre reconhecido pelo facto de que um dos círculos construídos nos lados do triângulo locacional inclui o terceiro vértice que não se encontra nas extremidades do lado em questão. O vértice em questão é sempre o local em que se dá a minimização dos custos de transporte. Isso ocorre quando os pesos dos outros dois vértices são pequenos em comparação com o do terceiro (Figura 2a) ou quando esse vértice se encontra próximo da linha que une os outros dois (Figura 2b).

Figura 2.
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

A aplicação desta técinca geométrica depende da hipótese de funções lineares de transporte. Se as tarifas de transporte diminuem com o aumento da distância, a técnica do triângulo (polígono) locacional não funciona. Weber sugere que um sistema de tarifas desse tipo poderia ser ajustado substituindo-se as distâncias geográficas por distâncias fictícias que reflectissem a escala decrescente da tarifa. Quanto maior a distância real, tanto mais ela teria que ser reduzida na representação geométrica. A dificuldade reside, evidentemente, em que não se sabe quanto será necessário reduzir a distância a partir de cada vértice do triângulo ao local do estabelecimento, enquanto este não tiver sido localizado, e não se pode localizá-lo enquanto não se conhecer aquelas distâncias. Assim, para os sistemas reais de tarifas a técnica triangular é impossível. Entretanto, isso não altera a validade do modelo, pois, embora a geometria tenha que ser abandonada, o problema pode ser resolvido matematicamente se são dadas as funções não-lineares de transporte.

RICHARDSON, Harry W. – Economia Regional: Teoria da Localização, Estrutura Urbana e Crescimento Regional. 2.ª ed., Rio de Janeiro, Zahar Editores, 1981.

2006-05-31T00:31:00.000+01:00

Ignorando as complicações introduzidas na teoria de Weber: pela consideração das possibilidades de substituição entre custos de transporte e de mão de obra, reconhecendo, por isso, que mão de obra barata pode representar um estímulo locacional; e a influência das tendências de aglomeração e dispersão; então dentro do contexto weberiano, os custos de transporte constituem a única influência sobre a localização. A determinação da localização óptima reduz-se a encontrar o ponto que minimiza os custos de transporte.

Num caso simplificado, a localização que implica um custo mínimo de transporte pode ser obtida por meios geométricos com a ajuda do chamado triângulo locacional de Weber. Se os produtos forem divididos em ubíquos e produtos localizados, os ubíquos, sendo obtidos em qualquer ponto, não exercem qualquer efeito locacional, mas os produtos localizados, disponíveis nalguns lugares e não noutros, influenciam a escolha do local.

Weber estabelece o termo índice de material, M, definido como a relação do peso dos produtos localizados utilizados e o peso do produto final. Usa também o conceito de peso locacional, L, definido como o peso do produto final mais o peso dos produtos localizados por unidade de produto final. L tem o valor mínimo igual a um, quando M é igual a zero, isto é, quando só são utilizados ubíquos, e eleva-se paralelamente ao índice de material (M = ½, L = 1½ ou M = 1, L = 2 e assim por diante). De modo geral, os estabelecimentos que têm um L elevado são atraídos pelos produtos, ao passo que os que têm um L baixo são atraídos pelo mercado consumidor. Os estabelecimentos para os quais M <1 tendem a localizar-se no centro de consumo. No que se refere à orientação no sentido dos produtos, apenas no caso em que existe perda de peso é que haverá uma influência locacional. Se os produtos não perderem peso no processo de comercialização, M é sempre maior que 1. Para que o esbelecimento se localize junto às fontes de produtos, é preciso que haja perda de peso, isto é, que M > 1 e L > 2, e que o peso do produto seja igual ao (ou maior que o) peso do produto final mais o peso de todos os outros produtos localizados. Nestes casos limite, a localização é determinada ou no local de consumo ou numa das fontes de produtos.

Em casos de intermédios, em que M > 1, mas não há fonte de produto dominante com perda de peso, o triângulo de peso é um instrumento útil para resolver o problema locacional. Suponha-se que se tem um produto final composto por dois produtos encontradas em locais dispersos e que as duas fontes mais vantajosas desses produtos relativas a um único centro de consumo C são representadas por M₁ e M₂. Este caso pode ser facilmente resolvido. Quando as fontes de produtos são inferiores a dois e /ou os centros de consumo inferiores a um, obtêm-se polígonos. Nesse caso, a resultante final dos diferentes impulsos locacionais pode ser obtida encontrando as forças de equilíbrio para as quais os pesos relativos e as distâncias relativas são os respectivos componentes, mas a solução é mais facilmente obtida por meio de uma analogia com a mecânica aplicada.

Um triângulo locacional pode ser visto na Figura 1a, em que C, M₁ e M₂ representam o local de consumo e as duas fontes de produtos, os lados do triângulo representando as distâncias relativas reais entre os três pontos (d₁, d₂, d₃). Suponha-se agora que a₁ toneladas do produto m₁ produzido em M₁ e a₂ toneladas do produto m₂ produzido em M₂ são necessárias para a comercialização de a₃ toneladas do produto final (é mais fácil supor que a₃ = 1). Assim, (a₁ + a₂) / a₃ é igual ao índice de material.

Figura 1.
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

Se qualquer das três variáveis (a₁, a₂, a₃) excede as outras duas, a localização é determinada pelo local associado à variável em questão.

Se nenhuma das variáveis predomina, podemos construir um triângulo tendo como lados a₁, a₂ e a₃, que pode ser chamado de triângulo de peso e é ilustrado na Figura 1b. Como o triângulo de peso é determinado exclusivamente por a₁, a₂ e a₃, pode-se medir os ângulos do triângulo e denominá-los α₁, α₂ e α₃, como na Figura 1b. Traçam-se então triângulos semelhantes a partir de cada um dos lados do triângulo locacional (Figura 1c), onde α₁ é igual ao ângulo do quadrilátero C M₁ M₂ Q, oposto a M₁, α₂ é o ângulo do quadrilátero C M₂ M₁ S oposto a M₂, e α₃ é igual ao ângulo do quadrilátero M₁ C M₂ R, oposto a C. Os círculos descritos em volta desses triângulos determinam o local do estabelecimento Z que minimiza os custos de transporte (de facto, bastam dois círculos para localizar Z). Z representa o ponto em que as três forças locacinais exercidas por M₁, M₂ e C estão em equilíbrio, uma vez que essas forças (a₁, a₂ e a₃) em Z são medidas em relação às distâncias de M₁, M₂ e C em relação a Z. Os custos totais de transporte por tonelada de produto acabado estão no seu nível mínimo e são iguais a a₁ M₁ Z + a₂ M₂ Z + a₃ C Z.

RICHARDSON, Harry W. – Economia Regional: Teoria da Localização, Estrutura Urbana e Crescimento Regional. 2.ª ed., Rio de Janeiro, Zahar Editores, 1981.

2006-05-30T20:48:00.000+01:00

A força de atracção relativa das fontes de produtos e do mercado do consumidor pode ser explicada com um exemplo simples: encontrar a localização óptima para um estabelecimento que vende para um só mercado, um único produto. Considere-se uma empresa que compra um produto produzido em M e o vende no mercado representado pela cidade C. Os custos de posse são considerados iguais em qualquer localização, de modo que o objectivo da empresa de maximizar os lucros pode ser obtido pela minimização dos custos totais de transporte. Estes consistem nos custos de aprovisionamento (ou seja, trazer o produto de M até ao estabelecimento) e nos custos de distribuição (isto é, os custos de entregar o produto aos consumidores de C). Represente-se por D a distância de M a C e por d a distância de M ao estabelecimento. Assim, a distância da loja a C é (D - d). Se o custo por quilómetro de transportar uma quantidade suficiente de produto para colocar na loja uma unidade do produto pronto a vender é t_M, então os custos por unidade de produto na loja são t_Md; e, se os custos de transporte do produto vendido por quilómetro são t_C; então os custos de distribuição por unidade são t_C(D – d). Os custos totais de transporte por unidade de produto vendido, representados por T, podem ser mostrados na seguinte equação:

T = t_M d + t_C (D – d) ou

T = (t_M – t_C) d + t_C D.

A empresa escolhe a localização na qual o valor de d minimiza T.

Se t_M > t_C, a empresa procurará fazer com que d seja o menor possível; consequentemente, escolherá a localização nas proximidades de M, onde d = 0.

Por outro lado, se a tarifa de transporte é maior para o artigo vendido (t_C > t_M, então o coeficiente de d será negativo, e a empresa procurará a localização que maximize d, ou seja, em C, onde d = D.

Finalmente, se t_C = t_M, o coeficiente de d é zero e os custos de transporte por unidade de produto vendido = t_C D, qualquer que seja a localização loja. Neste caso, mantidas as outras condições consideradas pela hipótese, a localização poderá ser em M, em C ou em qualquer ponto intermediário.

Além da hipótese de um único mercado e de uma única matéria-prima, o modelo é extremamente simplificador por causa das suas hipóteses no que se refere aos custos de transporte. A ideia de que os custos de transporte aumentam na proporção directa da distância percorrida, implícita na hipótese de tarifas de transporte constantes, precisa ser modificada.

Em primeiro lugar, é forçoso considerar os custos terminais, que incluem componentes como embarque, desembarque e manobra. Esses custos terminais, X_M, podem ocorrer nos dois extremos do trajecto. O resultado é que os custos totais de transporte são:

X_M + t_M d.

Em segundo lugar, na maioria dos sistemas de tarifas, a tarifa por quilómetro é menor para os trajectos maiores. Assim, a inclinação da curva de transporte mostra o declínio representado pelas economias de grandes distâncias.

Em terceiro lugar, o formato da curva de transporte pode ser modificado levando-se em consideração diferentes meios de transportes. Por exemplo, o transporte rodoviário pode ter custos terminais menores e tarifas mais elevadas por quilómetro, em comparação com os transportes ferroviários, que podem ser considerados da mesma forma que o transporte por navio. A empresa interessada escolherá o tipo de transporte que apresente os custos médios mais baixos para a distância que deve ser percorrida.

A modificação da estrutura do transporte para levar em conta a existência de custos terminais e o facto da curva de transporte ser, realmente, curvilínea e não linear, reforçam a atractividade das localizações extremas (isto é, em M ou em C), que já eram preferíveis mesmo no modelo simples examinado. Na medida em que a curva de transporte se achata com o aumento da distância, vale a pena maximizar a distância do trajecto, escolhendo a localização num dos dois extremos. Mesmo que os custos de aprovisionamento e de distribuição sejam simétricos, uma localização intermediária, na maioria das vezes, é a mais dispendiosa. Da mesma forma, deixando de lado o problema da curvatura, a eliminação de um conjunto de custos terminais também leva à preferência pela localização junto às fontes de produto ou do mercado. As influências do transporte são um dos elementos que explicam por que uma actividade comercial se concentra ou junto às fontes do produto ou junto do mercado consumidor, ao invés de se espalhar no espaço.

Outro ponto a ser considerado em detalhe é a possibilidade de que meios alternativos de transporte não se apresentem por toda a parte. Num certo trecho do trajecto total a ser percorrido, utiliza-se um determinado tipo de transporte e, em seguida, pode ser necessário mudar para outro tipo. Os pontos em que os sistemas de transporte convergem são usulamente denominados pontos de transbordo. A transferência de um produto de um meio de transporte para outro implica custos adicionais, e esses custos podem ser reduzidos pela localização do estabelecimento no ponto em que os diferentes sistemas de transporte se cruzam. Os pontos de transbordo, por isso, representam uma localização bastante atraente, tal com acontece com as fontes de produtos e os mercados de consumo, especialmente para os estabelecimentos que se dedicam a vender produtos das fases intermédias do processamento, resultantes da transformação de produtos naturais em produtos semi-processados.

Embora estas considerações elementares ilustrem alguns dos pontos fundamentais, elas não dão a importância devida ao papel desempenhado pelos custos de transporte na teoria da localização. É interessante discutir brevemente esse papel, referindo os textos de Alfred Weber e, mais recentemente, de Walter Isard, dois autores de trabalhos sobre a localização, que tratam o factor do custo de transporte de forma sistemática.

RICHARDSON, Harry W. – Economia Regional: Teoria da Localização, Estrutura Urbana e Crescimento Regional. 2.ª ed., Rio de Janeiro, Zahar Editores, 1981.

2006-05-30T20:45:00.000+01:00

Os custos de transporte, como custos monetários de movimentação no espaço, obviamente têm um lugar especial na análise locacional. As primeiras teorias de localização consideram, frequentemente, a localização que minimiza os custos de transporte como a localização óptima. Tais teorias são muito parciais porque ignoram a possibilidade de haver variações espaciais nos custos de operação e na procura explicadas por factores distintos dos custos de transporte, por um lado, e dos bens acabados, por outro. Contudo, mesmo que o ponto de custo de transporte mínimo possa não dar uma resposta geral ao problema da melhor localização, os custos de transporte podem ser uma força crítica na análise locacional, em determinadas circunstâncias.

Ignorando considerações pessoais e subjectivas e se os custos de operação e a localização dos concorrentes (o factor procura) forem mantidos constantes, as escolhas de localização dependem dos custos de transporte. A localização que possibilita o lucro máximo para um estabelecimento é aquela em que os custos de transporte são minimizados. Mesmo que essas hipóteses não sejam satisfeitas, o transporte pode exercer uma influência importante sobre a localização, especialmente quando a relação entre o frete e os custos totais é elevada e quando essa relação varia muito entre os diferentes pontos. Os vendedores de bens de consumo são estimulados a localizar-se perto do mercado consumidor, ao passo que as fases iniciais da operação (fases de aprovisionamento) são atraídas pelas fontes de fornecimento de produtos. Se o mercado consumidor e as fontes de produtos estão separadas espacialmente, o resultado é uma dispersão vertical das localizações. Quanto maiores os custos de transporte, tanto maior será o grau de dispersão espacial, especialmente num sector que comercializa um mesmo produto e está em concorrência pura. As influências da procura também tenderão, ceteris paribus, a agir no sentido da dispersão, já que os custos altos de transporte funcionam como tarifa protectora para os estabelecimentos locais. Na verdade, os altos custos de transporte podem até mesmo fazer com que valha a pena para um monopolista estabelecer filiais, com o objectivo de obter produto e/ou produtos intermediários mais perto das suas fontes de fornecimento, para vender aos mercados situados nas proximidades.

As actividades orientadas no sentido dos produtos tendem a ter uma ou mais das seguintes características:

1) os custos gerais de transporte variam mais amplamente do que os outros custos nos locais alternativos;

2) os produtos perdem peso durante a sua transformação em produtos nas prateleiras;

3) a tarifa de transporte sobre produtos aprovisionados excede ou iguala a tarifa sobre o produto vendido (a não ser que o diferencial de tarifa seja compensado pelo factor peso).

A segunda e terceira características, frequentemente, estão contidas na primeira. Por outro lado, uma localização orientada para o mercado de consumo tende a ser preferida quando se dão uma ou mais das seguintes condições:

1) o produto final é de transporte mais caro do que a matéria-prima;

2) o produto é perecível;

3) a procura dos consumidores flutua sensivelmente (nesse caso, a localização próxima dos consumidores permite a manutenção de stocks a custos mínimos);

4) o contrato directo com os consumidores pode aumentar as vendas.

Este último ponto aplica-se, particularmente, às indústrias de serviços e às empresas que vendem bens intermediários para outras empresas. Nesses casos, a proximidade do mercado facilita a rapidez das entregas e o controle da qualidade pelos compradores, entre outras.

RICHARDSON, Harry W. – Economia Regional: Teoria da Localização, Estrutura Urbana e Crescimento regional. 2.ª ed., Rio de Janeiro, Zahar Editores, 1981.

2006-05-30T19:04:00.000+01:00

c) Limitações do monopólio espacial

As situações em que um único vendedor exerce controle monopolista sobre toda a sua área de mercado são raras, e este facto explica por que a discriminação contra os consumidores sobre os compradores próximos é mais comum na prática. O vendedor tem maior controle sobre os consumidores próximos; mesmo numa actividade que inclua vários vendedores, a distância dos fornecedores alternativos dará ao vendedor um mercado protegido em torno do seu estabelecimento, a não ser que as empresas do ramo em questão estejam concentradas no mesmo local. Desse modo, há margem suficiente para que os vendedores discriminem contra os compradores próximos. Por outro lado, a discriminação contra os compradores distantes é muito limitada.

Em primeiro lugar, existe a possibilidade da revenda. Se um vendedor discriminasse contra os compradores distantes, então os compradores próximos poderiam comprar em nome dos mais distantes e revender os produtos a eles.

Em segundo lugar, em muitos casos, as localizações de venda rivais limitarão o exercício do poder de monopólio. Junto à periferia da área de mercado do vendedor haverá outra área de mercado na qual as vendas são divididas entre o primeiro vendedor e os seus rivais e onde a margem de exploração do poder de monopólio é mínima. Nessa zona, o vendedor mais próximo cobrará um preço que é igual ao custo marginal no local de venda mais próximo acrescido dos custos de transporte de um ponto ao outro. Se o primeiro cobrar mais do que isso, todas as vendas na zona limite estarão perdidas; se cobrar menos, não estará a explorar a vantagem monopolista máxima.

Em terceiro lugar, se o mercado analisado é oligopolista, a concorência entre os vendedores situados em localizações diferentes pode ser limitada por acordos de preços. Se o número de empresas na área de mercado for suficientemente pequeno, a política óptima para os vendedores será permitir que cada uma das empresas explore monopolisticamente a sua própria área. As dificuldades administrativas envolvidas num esquema como este provavelmente levarão a uma preferência pelos acordos de preços, mais facilmente operáveis, e não a acordos de delimitação de áreas de mercado. A grande frequência de acordos de fixação de um preço uniforme para todo o mercado e certas formas de acordos de preços com indicação de ponto de partida para o cálculo de fretes são outras razões por que a discriminação efectiva tende a realizar-se contra os compradores próximos. claro que os sistemas de preços com indicação do ponto de referência podem ser concebidos de forma a penalizar as regiões mais distantes por meio da fixação de zonas de discriminação).

RICHARDSON, Harry W. – Economia Regional: Teoria da Localização, Estrutura Urbana e Crescimento Regional. 2.ª ed., Rio de Janeiro, Zahar Editores, 1981.

2006-05-30T17:41:00.000+01:00

Parâmetros do problema

M/M/S, λ = 0,5 clientes / minuto, μ = 2/3 clientes / minuto,

Medidas de desempenho

(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

1) Número médio de clientes no sistema (L)

(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

2) Número médio de clientes à espera (L_q)

(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

Para valores da intensidade do tráfego (λ / µ) menores que um, o número médio de clientes na fila é quase o mesmo para qualquer número de servidores maior ou igual a dois. Portanto, se (λ / µ) < 1, só são necessários um ou dois servidores.

Em geral, o número médio de clientes na fila é pequeno, quando o número de servidores é igual ou maior que (λ / µ) + (λ / µ)^1/2

3) Tempo médio no sistema (W)

(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

4) Tempo médio à espera (W_q)

(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

5) Probabilidade de não existir nenhum cliente no sistema (P₀)

(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

6) Probabilidade de ter que esperar (P_w)

(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

7) Número médio de clientes à espera, quando o sistema está ocupado (L_b)

(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

8) Tempo médio à espera, quando o sistema está ocupado (W_b)

(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

CHANG, Yih-Long; DESAI, Kiran - WinQSB. Nova Iorque, John Wiley & Sons, 2002

2006-05-30T17:31:00.000+01:00

Continuando o exemplo anterior, a saída de matérias primas, (400 u) na encomenda 46, pode ser valorizada segundo os métodos:

CUMP (Custo Unitário Médio Ponderado)	18,99 × 400		= 7 598 UM
FIFO (O primeiro a entrar é o primeiro a sair)	19,00 × 100	= 1 900 UM
	19,20 × 300	= 5 760 UM	= 7 660 UM
LIFO (O último a entrar é o primeiro a sair)	19,20 × 400		= 7 680 UM

Se as despesas operacionais e de distribuição imputadas se elevam a 4 750 UM e receita é de 15 000 UM, o preço de custo da encomenda é, respectivamente:

CUMP, 15 000 - (7 598 + 4 750) = 2 652 UM

FIFO, 15 000 - (7 660 + 4 750) = 2 590 UM

LIFO, 15 000 – (7 680 + 4 750) = 2 570 UM

Os três resultados são diferentes, conforme o método de avaliação.

2006-05-30T08:27:00.000+01:00

Um centro absoluto geral é qualquer ponto x tal que o ponto mais afastado do ponto x está tão perto quanto possível. Para encontrar um centro absoluto geral, tem que se encontrar um ponto f – (r, s) tal que

MPA (f – (r, s)) = min {MPA (f – (t, u))}, com f – (t, u) ∈ P, o conjunto de todos os pontos da rede

onde

MPA (f – (t, u)) = max {d' (f – (t, u), (v, w))}

Para encontrar um centro absoluto geral, sabe-se que todos os centros absolutos gerais (pode haver empates e, consequentemente, mais de que um centro absoluto geral) devem ser nós ou pontos interiores de arcos sem direcção ou com dois sentidos. Nenhum ponto interior de um arco com direcção ou sentido único pode ser um centro absoluto geral. Uma vez que todas as movimentações num arco com direcção é numa direcção, segue-se que o nó terminal de um arco com direcção está mais perto de cada arco na rede do que qualquer ponto interior do arco com sentido único. Consequentemente, para encontrar um centro absoluto geral só é preciso considerar nós e pontos interiores de arcos sem direcção ou com dois sentidos.

Observe-se que o problema de encontrar um centro absoluto geral é idêntico ao problema de encontrar um centro abslouto, excepto quando agora tem que se considerar as distâncias ponto - arco, em vez das distâncias ponto - nó. Todas as funções distância ponto - arco têm a mesma forma que as funções distância ponto - nó, excepto a distância ponto - arco d' (f – (r, s), (r, s)).

Na maioria dos problemas reais, o ponto mais distante do ponto f no arco (r, s) não se encontra no arco (r, s). Neste caso, pode-se simplesmente omitir de se continuar a considerar a função distância do ponto - arco d' (f - (r, s), (r, s)). O problema de encontrar um centro absoluto geral pode agora ser resolvido pela técnica usadas para encontrar um centro absoluto. A única diferença é que as funções distância ponto - arco têm que substituir a função distância ponto - nó. Como há mais arcos do que nós, é necessário fazer mais gráficos para se encontrar o centro absoluto geral.

Se, no entanto, houver uma possibilidade do ponto mais distante do ponto f no arco (r, s) também se encontra no arco (r, s), então o gráfico da função distância ponto-arco d' (f - (r, s), (r, s)), tem que ser incluído nos cálculos para o melhor candidato no arco (r, s). A equação (3d) pode ser usada para construir esse gráfico. Felizmente, este gráfico também é uma linha quebrada com um máximo de quatro secções.

Em resumo, a técnica para se encontrar um centro absoluto geral é a mesma que a técnica para se encontrar um centro absoluto excepto que as distâncias do ponto - nó são substituídas pelas distâncias do ponto - arco.

EVANS, James R.; MINIEKA, Edward - Optimization Algorithms For Networks and Graphs. 2.ª ed., Nova Iorque, Marcel Dekker, 1992.

2006-05-30T07:05:00.000+01:00

Uma mediana absoluta é qualquer ponto com a menor distância total possível a todos os nós. A distância de um ponto a um nó é a distância mais curta do ponto ao nó. Então, a mediana absoluta geral é qualquer ponto f – (r, s) tal que

SPV (f – (r, s)) = min SPV (f – (t, u)), com f – (t, u) ∈ P, o conjunto de todos os pontos da rede

onde

SPV (f – (t, u)) = ∑ d (f – (t, u), j)

Considerando que SPV (f – (r, s)) é uma função côncava de f,

então é minimizada quando f = 0 ou f = 1.

Consequentemente, nenhum ponto interior do arco (r, s) é um candidato melhor para mediana absoluta do que um dos seus nós terminais.

Então só é necessário considerar os nós na procura de uma mediana absoluta, qualquer mediana é também uma mediana absoluta e não são necessárias novas técnicas de resolução.

EVANS, James R.; MINIEKA, Edward - Optimization Algorithms For Networks and Graphs. 2.ª ed., Nova Iorque, Marcel Dekker, 1992.

Quantidade encomendada

Custos variáveis cumulativos

2006-05-29T23:52:00.000+01:00

O algoritmo de Wagner-Whitin obtém uma solução óptima, recorrendo a um modelo de programação dinâmica, para as quantidades a encomendar, num horizonte finito, dinâmico e determinístico, em que a procura de todos os períodos é satisfeita. Os períodos de tempo no horizonte de planeamento têm que ter uma dada duração fixa e as encomendas são feitas para assegurar a chegada dos materiais no início do período de tempo. O trabalho computacional deste algoritmo é reduzido pelo facto da solução óptima ter de satisfazer as seguintes duas propriedades:

uma encomenda só chega quando o nível de stocks atinge o zero;

existe um limite superior para o número de períodos para os quais uma encomenda durará.

O algoritmo determina a política de menor custo controlável e envolve o seguinte procedimento de três passos:

1. Calcular a matriz dos custos variáveis totais para todas as alternativas possíveis de encomendas para um horizonte de tempo de N períodos. O custo variável total inclui os custos de encomenda e de posse. Definir Z_{c e} como o custo variável total, nos períodos c a e, de fazer uma encomenda no período c que satisfaz as necessidades dos períodos c a e.

Z_{c e} = C + h P ∑_{i = c, ..., e} (Q_{c e} - Q_{c i}), para 1 ≤ c ≤ e ≤ N

onde:

C = custo de encomenda

h = custo de posse por período, em fracção do custo unitário

P = custo unitário

Q_{c e} = ∑_{k = c, ..., e} R_k

R_k = procura no período k

2. Definir f_e como o mínimo custo possível nos períodos 1 a e, dado que o nível do stock no final do período e é zero. O algoritmo começa com f₀ = 0 e calcula f₁, f₂, ..., f_N por esta ordem. O valor de f_e é calculado por ordem crescente usando a fórmula:

f_e = min (Z_{c e} + f_{c - 1}), para c = 1, 2, ..., e

Por outras palavras, para cada período, são comparadas todas as combinações de alternativas de encomenda e estratégias suplementares f_e. A melhor combinação (de mais baixo custo) é registada como sendo a estratégia f_e que satisfaz as necessidades dos períodos 1 a e. O valor de f_N é o custo do programa óptimo de encomendas.

3. Para traduzir a solução óptima (f_N), obtida pelo algoritmo, em quantidades a encomendar, aplicar o seguinte:

f_N = Z_{w N} + f_{w – 1}	A encomenda final ocorre no período w e é suficiente para satisfazer a procura nos períodos w a N.

f_{w – 1} = Z_{v w – 1} + f_{v – 1}	A penúltima encomenda ocorre no período v e é suficiente para satisfazer a procura nos períodos v a w – 1.

f_{u – 1} = Z_{1 u – 1} + f₀	A primeira encomenda ocorre no período 1 e é suficiente para satisfazer a procura nos períodos 1 até u – 1.

Um artigo tem um custo unitário de 50 UM, custo de encomenda de 100 UM e um custo de posse por período, em fracção do custo unitário, de 0,02. Suponha-se que o nível das existências, no inicio do período 1, é zero e as procuras são as seguintes:

A matriz dos custos variáveis totais apresentada na Tabela 1 é calculada como se segue:

Z_{c e} = C + h P ∑_{i = c, ..., e} (Q_{c e} - Q_{c i})

Z_{1 1} = 100 + 1 (75 – 75) = 100

Z_{1 2} = 100 + 1 [(75 – 75) + (75 – 75)] = 100

Z_{1 3} = 100 + 1 [(108 – 75) + (108 – 75) + (108 – 108)] = 166

Z_{1 4} = 100 + 1 [(136 – 75) + (136 – 75) + (136 – 108) + (136 – 136)] = 250

Z_{1 5} = 100 + 1 [(136 – 75) + (136 – 75) + (136 – 108) + (136 – 136) + (136 – 136)] = 250

Z_{1 6} = 100 + 1 [(146 – 75) + (146 – 75) + (146 – 108) + (146 – 136) + (146 – 136) + (146 – 146)] = 300

Z_{2 2} = 100 + 1 (0 – 0) = 100

Z_{2 3} = 100 + 1 [(33 – 0) + (33 – 33)] = 133

Z_{2 4} = 100 + 1 [(61 – 0) + (61 – 33) + (61 – 61)] = 189

Z_{2 5} = 100 + 1 [(61 – 0) + (61 – 33) + (61 – 61) + (61 – 61)] = 189

Z_{2 6} = 100 + 1 [(71 – 0) + (71 – 33) + (71 – 61) + (71 – 61) + (71 – 71)] = 229

Z_{3 3} = 100 + 1 (33 – 33) = 100

Z_{3 4} = 100 + 1 [(61 – 33) + (61 – 61)] = 128

Z_{3 5} = 100 + 1 [(61 – 33) + (61 – 61) + (61 – 61)] = 128

Z_{3 6} = 100 + 1 [(71 – 33) + (71 – 61) + (71 – 61) + (71 – 71)] = 158

Z_{4 4} = 100 + 1 (28 – 28) = 100

Z_{4 5} = 100 + 1 [(28 – 28) + (28 – 28)] = 100

Z_{4 6} = 100 + 1 [(38 – 28) + (38 – 28) + (38 – 38)] = 120

Z_{5 5} = 100 + 1 (0 – 0) = 100

Z_{5 6} = 100 + 1 [(10 – 0) + (10 – 10)] = 110

Z_{6 6} = 100 + 1 (10 – 10) = 100

Tabela 1. Matriz dos custos variáveis totais Z_{c e}


e	1	2	3	4	5	6
c

1	100	100	166	250	250	300
2		100	133	189	189	229
3			100	128	128	158
4				100	100	120
5					100	110
6						100

O mínimo custo possível nos períodos 1 a e (f_e), mostrado na Tabela 2, é determinado como se segue:

f_e = min (Z_{c e} + f_{c - 1})

f₀ = 0

f₁ = min (Z_{1 1} + f₀) = 100 + 0 =

= 100, para Z_{1 1} + f₀

f₂ = min (Z_{1 2} + f₀, Z_{2 2} + f₁) = min (100 + 0, 100 + 100) =

= 100, para Z_{1 2} + f₀

f₃ = min (Z_{1 3} + f₀, Z_{2 3} + f₁, Z_{3 3} + f₂) = min (100 + 0, 133 + 100, 100 + 100) =

= 166, para Z_{1 3} + f₀

f₄ = min (Z_{1 4} + f₀, Z_{2 4} + f₁, Z_{3 4} + f₂, Z_{4 4} + f₃) = min (250 + 0, 189 + 100, 128 + 100, 100 + 166) =

= 288, para Z_{3 4} + f₂

f₅ = min (Z_{1 5} + f₀, Z_{2 5} + f₁, Z_{3 5} + f₂, Z_{4 5} + f₃, Z_{5 5} + f₄) =

= min (250 + 0, 189 + 100, 128 + 100, 100 + 166, 100 + 228) =

= 288, para Z_{2 5} + f₁

f₆ = min (Z_{1 6} + f₀, Z_{2 6} + f₁, Z_{3 6} + f₂, Z_{4 6} + f₃, Z_{5 6} + f₄, Z_{6 6} + f₅) =

= min (300 + 0, 229 + 100, 158 + 100, 120 + 166, 110 + 228, 100 + 228) =

= 258, para Z_{3 6} + f₂

Tabela 2. Alternativas dos custos variáveis totais e f_e


e	1	2	3	4	5	6
c

1	100	100	166	250	250	300

2		200	233	289	289	329
3			200	228	228	258

4				266	266	286
5					328	338
6						328

f_e	100	100	166	228	228	258

Neste caso, f₆ = f_N é a combinação de Z_{3 6} e f₂, de modo que a última encomenda é feita no período 3 e vai satisfazer as necessidades dos períodos 3 a 6, ou 33 + 28 + 0 + 10 = 71 unidades; f₂ é a combinação de Z_{1 2} e f₀, de modo que a encomenda é feita no período 1 e vai satisfazer as necessidades dos períodos 1 a 2, ou seja 75 + 0 = 75 unidades. A programação óptima das encomendas e os custos variáveis cumulativos são os seguintes:

TERSINE, Richard J. – Principles of Inventory and Materials Management, 3.ª ed., Nova Iorque, North-Holland, 1988.


130	124	121	118	122	138	130	136	124	136
131	129	140	125	128	125	127	123	136	131
124	131	137	133	126	120	123	135	129	125
120	118	125	141	119	133	130	129	132	122
123	133	124	125	133	137	122	126	132	128
142	137	128	130	135	134	129	132	129	126


e	1	2	3	4	5	6
c

1	100	100	166	250	250	300
2		100	133	189	189	229
3			100	128	128	158
4				100	100	120
5					100	110
6						100


130	124	121	118	122	138	130	136	124	136
131	129	140	125	128	125	127	123	136	131
124	131	137	133	126	120	123	135	129	125
120	118	125	141	119	133	130	129	132	122
123	133	124	125	133	137	122	126	132	128
142	137	128	130	135	134	129	132	129	126


e	1	2	3	4	5	6
c

1	100	100	166	250	250	300
2		100	133	189	189	229
3			100	128	128	158
4				100	100	120
5					100	110
6						100


130	124	121	118	122	138	130	136	124	136
131	129	140	125	128	125	127	123	136	131
124	131	137	133	126	120	123	135	129	125
120	118	125	141	119	133	130	129	132	122
123	133	124	125	133	137	122	126	132	128
142	137	128	130	135	134	129	132	129	126


e	1	2	3	4	5	6
c

1	100	100	166	250	250	300
2		100	133	189	189	229
3			100	128	128	158
4				100	100	120
5					100	110
6						100