quinta-feira, abril 13, 2006

 

Filas de espera: relações fundamentais


Quando um determinado serviço é procurado por vários clientes, podem-se formar filas de espera, já que o número de servidores e a duração do serviço prestado, usualmente não permite que cada cliente seja atendido, assim que solicita o serviço.

As filas de espera são um fenómeno bem conhecido dos clientes e fornecedores dos hipermercados. Por exemplo, ao nível das secções do talho, peixaria, charcutaria, padaria e apoio ao cliente (em que é usual a utilização de senhas para gerir a fila de espera), mas, principalmente, ao nível das caixas registadoras. Esta situação verifica-se, também, no abastecimento ou nos novos serviços de entrega ao domicílio.

A modelação de sistemas de filas de espera é de grande utilidade na tomada de decisões sobre o dimensionamento do serviço (número de servidores ou, no caso dos hipermercados, número de caixas registadoras abertas, número de operadores na peixaria ou cais de descarga a funcionar num determinado período do dia). A modelação destes sistemas tem o objectivo de melhorar o funcionamento, encontrando soluções equilibradas entre dois cenários possíveis: situações de congestionamento e de rarefacção. Uma dificuldade é valorizar o tempo de espera dos clientes, estabelecendo a compensação entre o custo do serviço prestado e o custo do tempo de espera dos clientes para a empresa.

Os modelos necessitam de informações para quantificar o desempenho do sistema. As medidas de desempenho de um sistema de filas de espera caracterizam o seu funcionamento, quer do ponto de vista do cliente, quer do ponto de vista do serviço. Para um sistema de filas de espera, no estado estacionário, as medidas de desempenho de maior interesse são:

L – número médio de clientes no sistema;
Lq – número médio de clientes na fila;
W – tempo médio que um cliente permanece no sistema;
Wq – tempo médio que um cliente espera na fila;
Pn – probabilidade de haver n clientes no sistema;
P [W > t] – probabilidade de um cliente permanecer mais do que t unidades de tempo no sistema;
P [Wq > t] – probabilidade de um cliente esperar mais do que t unidades de tempo na fila.

As quatro primeiras medidas, em muitos sistemas de filas de espera, no estado estacionário, relacionam-se entre si. O número médio de clientes no sistema (L) e na fila (Lq) são iguais ao produto da taxa de chegada (λ) pelos correspondentes tempos médios de espera W (no sistema) e Wq (na fila):

L = λ W
Lq
= λ Wq

O tempo médio que um cliente permanece no sistema é igual ao tempo médio de espera na fila mais o tempo médio do serviço (1 / μ):

W = Wq + 1 / μ

Das três relações anteriores pode deduzir-se que o número médio de clientes no sistema é igual ao número médio de clientes na fila mais λ / μ:

L = Lq + λ / μ

Estas quatro relações, dados os valores de λ e μ, permitem determinar as quatro medidas de desempenho (L, W, Lq e Wq) a partir do valor de qualquer uma delas.

Por exemplo, se chegarem a uma caixa registadora de um hipermercado uma média de 10 clientes por hora, o tempo médio de serviço for de 3 minutos e cada cliente levar, em média, 10 minutos até acabar de ser atendido, então há, em média, um cliente na caixa, que espera 3 minutos para ser atendido e estão 0,5 clientes na fila, à espera de serem atendidos na caixa.

HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald J. - Introduction to Operations Research. 6.ª ed., Nova Iorque, McGraw-Hill, 1995.

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