Logística 2006

Curso de Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade Nova de Lisboa

Sábado, Junho 10, 2006

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#2 comments from:  Anónimo,  Virgílio A. P. Machado,

Seminário Moodle@FCTUNL

Quarta-feira, 28 de Junho de 2006

Local e Hora: Ed. VII, sala 1.14, das 14:30 às 17:30

• Objectivos
  
  
  • Apresentar e discutir alguns exemplos relevantes do uso da tecnologia na educação pelos professores e alunos da FCTUNL.
  
  
  • Reflectir sobre o papel das tecnologias no ensino e na aprendizagem e o seu potencial na FCTUNL.
  
  
• Programa
  
  
  • Cada apresentação demorará cerca de 10 min, seguida de 10 min de discussão.

15:35-16:00 – Alunos de Logística (Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial)
Blogs e aprendizagem

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Distância média percorrida por dois produtos num armazém com duas portas do mesmo lado

Considere-se o exemplo anterior, mas com várias classes de produtos. Então para o produto j:

q (k_j) = k_j² - 0,25 c²

r (B_j) = (B_j + 0,25 c²)^½

onde B_j = A₁ + ... + A_j. Para o caso de três classes de produtos, a distância média percorrida é dada por:

Suponha-se são feitas 100 movimentações por hora e que o espaço total necessário são 10 000 ft². Os produtos da Classe I representam 75% das movimentações e 15% das necessidades de espaço; os produtos da Classe II representam 20% das movimentações e 35% do espaço de armazenagem; e os produtos da classe II representam 5% das movimentações e 50% do espaço. Fazendo T₁ = 75, A₁ = 1 500, T₂ = 20, A₂ = 3 500, T₃ = 5 e A₃ = 5 000, as razões entre as movimentações e os espaços para as três classes de produtos são 0,05, 0,0057 e 0,001. Com c = 20 ft, a distância média percorrida para as três classes é de 3 677,49 ft/hora.

Para estabelecer um limite superior para o espaço necessário em armazenagem aleatória resultar na mesma distância média percorrida em armazenagem dedicada das três classes de produtos, faz-se a distância média percorrida por uma classe de produtos de área desconhecida igual à distância média percorrida pelas três classes de produtos. Então, da última equação da entrada anterior, com c = 20 ft, T = 100 por hora e E [R] = 3 677,49 ft/hr,

100 [(4 A_rs + 20²)^½ - 20³] / (12 A_rs) = 3 677,49

Resolvendo em ordem a A_rs por métodos numéricos resulta um valor aproximado de 2 771,86 ft². Portanto, com base nos resultados obtidos, para um armazém com duas portas do mesmo lado e três classes de produtos com as razões entre as movimentações e o espaço dadas, em comparação com os 10 000 ft² para a armazenagem dedicada, o espaço necessário para a armazenagem aleatória não pode exceder 27,72% da área do sistema de armazenagem dedicada para se obter o mesmo valor para a distância média percorrida.

FRANCIS, Richard L.; et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

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Distância média percorrida num armazém com duas portas do mesmo lado

Suponha-se que a região de armazenagem se localiza no primeiro e quarto quadrantes, duas portas (P₁ e P₂) se localizam ao longo do eixo dos y's separadas pela distância c, a movimentação rectilinear de/para o armazém tem igual probabilidade de ocorrência para cada porta e é necessária uma área de armazenagem A.

Na Figura 1, r é a distância rectilinear desde a intersecção da linha de isocusto com o eixo dos y's à porta mais próxima. A linha de isocusto envolve uma área de

A = r (c + r)

A linha de contorno é um trapézio cuja área é dada por

A = h × (a + b) / 2

onde a é o comprimento da base menor, b o comprimento da base maior e h a altura do trapézio. Assim, a área limitada pela linha de isocusto da Figura 1 pode ser expressa como

r × (c + 2 × r + c) / 2 = r (c + r)

Resolvendo em ordem a r tem-se

0,5 [(4 A + c²)^½ - c]

Se um peso de 0,5 for associado a cada porta, a relação entre r e k, o valor da linha de isocusto, é dada por

k = 0,5 r + 0,5 (r + c )

ou

r = k - 0,5 c

Figura 1. Região de armazenagem contínua com duas portas

Substituindo r, na primeira equação, pelo valor de r dado pela última equação, obtém-se

A = (k - 0,5 c) × (k + 0,5 c)

ou

A = k² - 0,25 c² = q (k)

Para além disso, resolvendo para k como uma função de A,

k = (A + 0,25 c²)^½ = r (A)

e

r (0) = 0,5 c

A distância média percorrida é dada por

Suponha-se que a área de armazenagem delimitada pela linha de isocusto tem 10 000 ft², que as portas estão separadas por uma distância de 20 ft e são feitas 100 operações de entrada / saída por hora. Para c = 20 ft, T = 100 por hora e A = 10 000 ft², E [R] = 6 760,25 ft/hora.

FRANCIS, Richard L.; et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

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Distância média percorrida por dois produtos num armazém com uma porta

Considere-se o exemplo anterior com dois produtos, 1 e 2. As necessidades de espaço são, respectivamente, S₁ = 2 500 ft² e S₂ = 2 400 ft². As movimentações são, respectivamente, T₁ = 100 e T₂ = 50 por dia. As áreas de armazenagem dos dois produtos num espaço com uma única porta são ilustradas na Figura 1.

Figura 1. Armazenagem de dois produtos numa área com uma única porta

Por extensão dos resultados para um único produto, a distância média percorrida é dada por

onde T₁ e T₂ são os valores das movimentações dos produtos 1 e 2, respectivamente.

Os limites do segundo integral resultam da linha de isocusto que limita a região do produto 2 tomar os valores expressos em termos da área total de armazenagem envolvida. Desta forma, as linhas de contorno para o produto 2 variam em valor desde o máximo para o produto 1 até um valor que coincide com a envolvente das áreas conjuntas dos dois produtos. Assim sendo,

FRANCIS, Richard L.; et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

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Cálculo da distância média percorrida num armazém

No caso de locais de armazenagem discretos, a distância média percorrida, dentro da zona de armazenagem, pode ser determinada somando as distâncias médias de cada produto. Esta distância pode ser determinada somando as distâncias percorridas de e para todos os locais de armazenagem afectados a um produto, dividindo a soma pelo número de locais afectados ao produto e multiplicando o resultado pelo número médio de movimentações efectuadas por período de tempo, pelo produto. De forma semelhante, no caso de armazenagem contínua, a distância média, para uma região de armazenagem dedicada a um produto, pode ser obtida integrando a região de armazenagem e multiplicando o resultádo pela razão entre o número de movimentações e o espaço afectado ao produto.

Em alternativa à integração sobre toda a região, é possível integrar ao longo das linhas de isocusto que definem a região. Para fazer isso, é necessário desenvolver uma relação funcional entre o valor de uma linha de isocusto e a área que envolve. Para facilitar a descrição da abordagem da «integração pela linha de isocusto», considere-se a Figura 1, envolvendo a utilização de armazenagem aleatória.

Figura 1. Layout de armazenagem contínua

A região de armazenagem é servida por um única porta, localizada na origem; a região de armazenagem está contida no primeiro e quarto quadrantes; supõe-se que as movimentações são rectilineares.

Como se mostra na Figura 1, a linha de isocusto resultante é um triângulo. Escolhendo uma linha de isocusto arbitrária qualquer de valor k, a área envolvida (A) é igual a k². Portanto,

A = k² = q (k)

q (k) é a relação funcional entre A e k; especificamente, é a área de um conjunto de nívelde valor k. Mais ainda, invertendo a equação anterior,

k = A^½ = r (A)

r (A) é a função inversa que relaciona k com A e determina-se resolvendo q (k) em ordem a k. A função inversa de r (t) pode ser calculada a partir de A = q (r (t)). Por exemplo, q (k) = k² resulta em A = r (A)² ou r (A) = A^½.

Geralmente, à medida que uma linha de isocusto varia do valor mínimo ao máximo, a área envolvida varia do valor mínimo ao valor A. Neste caso, o valor mínimo da linha de isocusto pode ser obtido a partir da equação anterior, fazendo A igual a zero; o valor máximo pode ser obtido igualando a mesma equação à área de armazenagem a envolver.

No exemplo da Figura 1 a área limitada é de 152 000 ft². Aplicando a equação k = A^½ = r (A), o valor mínimo da linha de isocusto é zero e o valor máximo é 389,8717 ft. Para calcular a distância média percorrida, pode-se usar a seguinte expressão com um integral simples:

onde E[R] é a distância média percorrida na região de armazenagem R, T é o número de «viagens» de e para o armazém por unidade de tempo (i.e., as movimentações), f (X) é a distância média por viagem de ou para o ponto X, e q' (k) é a primeira derivada de q (k) em ordem a k.

Para explicar a equação anterior, note-se que a função distrubição para a distância percorrida é dada por q (k) / A; portanto a função densidade é dada por q' (k) / A para r (0) ≤ k ≤ r (A). Portanto a distância média percorrida é como indicado acima.

Para ilustrar o uso da equação anterior no cálculo da distância média percorrida, considere o exemplo da Figura 1. Aplicando a equação anterioir temos:
Portanto, para a movimentação de uma unidade por minuto e uma área de 152 000 ft², E[R] = 259,9145 ft/min.

FRANCIS, Richard L.; et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

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Regiões de armazenagem dedicada para dois produtos

Considerem-se dois produtos, 1 e 2. As necessidades de espaço são, respectivamente, S₁ = 2 500 ft² e S₂ = 2 400 ft². As movimentações são, respectivamente, T₁ = 100 e T₂ = 50 por dia. T₁ / S₁ = 0,04 e T₂ / S₂ = 0,021. Como (T₁ / S₁) > (T₂ / S₂) o produto 1 é colocado no layout primeiro. Para delimitar a zona ocupada pelo produto 1 é necessário construir uma linha de isocusto que delimite a área de 2 500 ft². Existe uma única porta, localizada ao longo do eixo y's e a região de armazenagem deve ocupar apenas o primeiro e quarto quadrantes. Então uma região de armazenagem triangular com 100 ft de base e 50 ft de profundidade ou altura é afectada ao produto 1. A união das duas áreas de armazenagem é também limitada por uma linha de isocusto triangular. Como as duas áreas combinadas somam 4 900 ft², esta área deve ser limitada por uma linha de isocusto triangular com 140 ft de base e 70 ft de altura, como se mostra na Figura 1.

Figura 1. Áreas de armazenagem de produtos com uma única porta

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Configuração contínua de armazém

Em várias situações práticas o projecto de layout é para mum armazém já existente. Para ilustrar a abordagem seguida, considere-se um armazém com as dimensões 200 ft × 150 ft com uma única porta localizada como se mostra na Figura 1.

Figura 1. Planta de armazém

É utilizada armazenagem aleatória e o espaço necessário é de 18 000 ou 27 500 ft². Supõe-se que a probabilidade da movimentação de um artigo entre a porta e qualquer ponto no espaço de armazenagem é a mesma e supõe-se que as deslocações são rectilineares.

Construindo curvas de nível dentro do armazém existente resulta em três famílias diferentes de formas geométricas, cono se mostra na Figura 2.

Figura 2. Linhas de isocusto para um armazém existente

A linha de isocusto de menor valor tem forma triangular e é aplicável a áreas que não excedam 10 000 ft²; o conjunto seguinte de linhas de isocusto aplica-de a áreas entre 10 000 ft² e 20 000 ft²; e o último conjunto de linhas de isocusto aplica-se a áreas de armazenagem entre 20 000 ft² e 30 000 ft².

A área de armazenagem (A) delimitada por uma linha de isocusto pode ser expressa como uma função do valor da linha de isocusto (k) da seguinte forma:

No primeiro caso, a curva de nível tem forma triangular com uma base igual a 2 × k e uma altura de k; a área é k² com valores de k a variarem de 0 a 100 ft enquanto a área interior varia de 0 a 10 000 ft².

No segundo caso, começando no ponto onde a linha de isocusto intersecta a parede superior da instalação, a distância da linha de isocusto ao ponto de entrada / saída é a soma de 100 ft percorridos paralelamente ao eixo dos y's e (k - 100) ft percorridos paralelamente ao eixo dos x's. A linha de isocusto varia entre 100 e 150 ft à medida que a ára de armazenagem varia de 10 000 a 20 000 ft². A forma geométrica da linha de isocusto pode ser representada como a união de um rectângulo de dimensões 200 ft × (k - 100) ft e um triângulo de 200 ft de base e 100 ft de altura. Assim, a área limitada pela linha de isocusto é 200 k - 10 000.

No terceiro caso, a área limitada pela linha de isocusto pode ser obtida simplesmente subtraindo a área exterior à linha de isocusto, da área total do edifício. Cada canto do edifício fora da linha de isocusto tem uma forma triangular de dimensões (250 - k) × (250 - k). Então, a área limitada pela linha de isocusto é igual à área do edifício, 30 000, menos a soma das áreas dos dois cantos, (250 - k)². As linhas de isocusto variam entre valores de 150 a 250 ft enquanto a área de armazenagem varia de 20 000 a 30 000 ft².

Fazendo A igual a 18 000 e resolvendo em ordem a k dá um valor de 140 ft (usando a equação A = 200 k - 10 000) e o resultado pode ser observado na Figura 3.

Figura 3. Área de armazenagem de 18 000 ft²

Fazendo A igual a 27 500 e resolvendo em ordem a k dá um valor de 200 ft [usando a equação A = 30 000 - (250 - k²)] e resulta na configuração que pode ser observada na Figura 4.

Figura 4. Área de armazenagem de 27 500 ft²

FRANCIS, Richard L.; et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

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Dimensionamento de armazém com base nos custos

Suponha-se que só se tem que armazenar um artigo. Defina-se um horizonte de planeamento T = 10 períodos de tempo. O custo fixo actualizado por unidade de capacidade de armazagem que se possui, durante o horizonte de planeamento, C₀, é de 20 UM. O valor presente do custo de posse por unidade armazenada no espaço que se possui por período de tempo, C₁, é de 1 UM e num espaço alugado, C₂, é de 4 UM. As necessidades de espaço, ao longo do horizonte de planeamento, são: 4, 6, 8, 10, 9, 8, 7, 6, 5, e 4 para os períodos de tempo 1 a 10, respectivamente.

As procuras por período e por ordem decrescente, as respectivas frequências e soma cumulativa parcial das frequências estão representadas na Tabela 1. C' = C₀ / (C₂ - C₁) = 20 / (4 - 1) = 6,7 e a soma cumulativa parcial das frequências excede 6,7 para uma procura de 6 unidades.

Tabela 1. Determinação da capacidade óptima de armazém

Procura ordenada	Frequência	Soma parcial
10	1	1 < 6,7
9	1	2 < 6,7
8	2	4 < 6,7
7	1	5 < 6,7
6	2	7 > 6,7
5	1	8 > 6,7
4	2	10 > 6,7

A capacidade óptima do armazém é, portanto, de 6 unidades. O custo total resultante é:

20 × 6 + 2 × 4 + 5 + 2 × 6 + (6 + 4) + 2 × (6 + 2 × 4) + (6 + 3 × 4) + (6 + 4 × 4) = 223 UM.

Se a capacidade for de 5 unidades o custo total é de 224 UM e se a capacidade for de 7 unidades o custo total é de 228 UM.


Suponha-se agora um horizonte de planeamento T = 50, com C₀ = 100 UM, C₁ = 4 UM e C₂ = 8 UM. As necessidades de espaço são dadas na Tabela 2.

Tabela 2. Necessidades de espaço de armazenagem

Períodos	Espaço necessário	Períodos	Espaço necessário
	- paletes -		- paletes -
1-5	100	26-30	120
6-10	120	31-35	115
11-15	125	36-40	110
16-20	130	41-45	105
21-25	125	46-50	100

Neste caso C' = 100 / (8 - 4) = 25. Na Tabela 3, a soma parcial é igual a 25 quando a procura é igual a 120. Dado que a soma parcial é igual a C', há múltiplas soluções óptimas, nomeadamente, 115 ≤ Q ≤ 120.

Tabela 3. Determinação da capacidade optima de armazém

Procura ordenada	Frequência	Soma parcial
130	5	5 < 25
125	10	15 < 25
120	10	25 = 25
115	5	30 > 25
110	5	35 > 25

FRANCIS, Richard L. et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

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SLP de unidade produtiva (II)

A carta de inter-relações para a unidade produtiva é apresentada na Figura 1.


Figura 1. Carta de inter-relações

Com a carta de inter-relações, constrói-se o diagrama de inter-relações. Primeiro, constrói-se o diagrama com as relações do tipo A (Figura 2).

Figura 2. Diagrama com duas relações do tipo A

Em seguida, constrói-se o diagrama com as relações do tipo A e do tipo E (Figura 3), fazendo os rearranjos necessários.

Figura 3. Diagrama com duas relações do tipo A e duas do tipo E

No terceiro passo, constrói-se o diagrama com as relações do tipo A, E e I (Figura 4), fazendo os rearranjos necessários.

Figura 4. Diagrama com duas relações do tipo A, duas do tipo E e 6 do tipo I

No quarto e último passo, é construído o diagrama de inter-relações (Figura 5), fazendo, novamente, os rearranjos necessários.

Figura 5. Diagrama de inter-relações

Com o diagrama de inter-relações com uma disposição dos departamentos satisfatória, desenha-se o diagrama de inter-relações de espaços, tendo em conta os espaços necessários e o espaço disponível que, neste caso, são iguais. O resultado é apresentado na Figura 6.

Figura 6. Diagrama de inter-relações de espaços à escala 1 : 304,8 (1 ft = 1 mm)

Não havendo nenhumas considerações de mudança nos dados, a limitação prática é que para construir uma instalação com os departamentos nesta disposição, é necessário um espaço de 117 × 113 = 13 221 ft², enquanto a soma das áreas de todos os departamentos é 8 000 ft². Há um grande desperdício de espaço e um perímetro irregular, sinónimo de custos mais elevados de manutenção. Condicionando a razão entre as dimensões do departamento C a não ser superior a 2, procede-se da seguinte forma:

L × A = 800 ft²

com

L = largura

A = altura

Então, de

2 A × A = 800

obtém-se:

A = 20 ft e L = 800 / 20 = 40 ft

As dimensões dos outros departamentos são determinadas pela seguinte ordem:

1. C
2. B
3. A
4. D
5. F
6. E

Para que os departamentos E e F fiquem com a mesma largura, faz-se:

f = altura do departamento F

e = altura do departamento E

l = largura comum ao dois departamentos

Resolvendo o sistema de equações:

Um layout alternativo é apresentado na Figura 7.

Figura 7. Um layout final

Este layout não deve ser tomado como único, mas sim como uma de várias alternativas de layouts para serem avaliados, posteriormente.

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SLP de unidade produtiva (I)

A empresa Muitos Produtos Lda. fabrica vários produtos. No processamento requerido pelos produtos estão envolvidos seis departamentos. Na Tabela 1 é apresentado um resumo das sequências de processamento necessárias para os 10 principais produtos e os volumes das produções mensais.

Tabela 1. Sequências e volumes de produção

Produto	Sequência de processamento	Produção mensal
1	A B C D E F	800
2	A B C B E D C F	1 000
3	A B E F	600
4	A B C E B C F	2 000
5	A C E F	1 500
6	A B C D E F	400
7	A B D E C B F	2 000
8	A B C B D B E B F	2 500
9	A B C D F	800
10	A B D E F	1 000

Na Tabela 2 são apresentadas as áreas necessárias para cada departamento.

Tabela 2. Áreas dos departamentos

Departamento	Área (ft2)
A	1 000
B	1 200
C	800
D	1 500
E	2 500
F	1 500

Com base nos dados da Tabela 1 constrói-se a carta de - para (Tabela 3), somando os valores dos volumes movimentados de uma secção para outra:

Departamentos	Movimentações
A para B	800 + 1 000 + 600 + 2 000 + 400 + 2 000 + 2 500 + 800 + 1 000 = 11 100
B para C	800 + 1 000 + 2 000 + 2 000 + 400 + 2 500 + 800 = 9 500
B para D	2 000 + 2 500 + 1 000 = 5 500
B para E	1 000 + 600 + 2 500 = 4 100
B para F	2 000 + 2 500 = 4 500
C para B	1 000 + 2 000 + 2 500 = 5 500
C para D	800 + 400 + 800 = 2 000
C para E	2 000 + 1 500 = 3 500
C para F	1 000 + 2 000 = 3 000
D para E	800 + 400 + 2 000 + 1 000 = 4 200
E para B	2 000 + 2 500 = 4 500
E para F	800 + 600 + 1 500 + 400 = 3 300

Tabela 3. Carta de - para

de - para	A	B	C	D	E	F
A		11 100	1 500
B			9 500	5 500	4 100	4 500
C		5 500		2 000	3 500	3 000
D		2 500	1 000		4 200	800
E		4 500	2 000	1 000		3 300
F

A partir da carta de - para, resume-se a informação numa carta de movimentações entre os departamentos, apresentada na Figura 1.

Figura 1. Tabela de movimentações entre departamentos

Com a tabela de movimentações construída, classifica-se a intensidade do fluxo entre os departamentos em cinco classes; A, E, I, O, U por ordem decrescente de importância (Figura 2):

Figura 2. Classificação do fluxo

Com o fluxo classificado por intensidade, pode-se, então, construir a carta de inter-relações.

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Selecção do tipo de layout por análise do ponto de equilíbrio

A Task Masters Lda. fabrica produtos para segurança. A gestão está a considerar a opção de construir um novo edifício para satisfazer o que parce ser um aumento sustentado da procura de algemas em algumas cidades grandes. A gestão tem que optar entre comprar as algemas a outra empresa e usar o novo edifício para testes de controlo de qualidade, pintura do logotipo da empresa, embalagem e similares; ou usar o novo edifício para produção com um layout do tipo produto ou processo.

Para ajudar na decisão, foi recolhida a seguinte informação

Alternativas	Custos fixos	Custo unitário*
	- UM / ano -	- UM -
Comprar	50 000	10
Produção com layout tipo processo	75 000	7
Produção com layout tipo produto	110 000	4
* Linear até às 50 000 unidades por ano, o valor máximo previsto para a procura

Para resolver este problema, começa-se por determinar as equações que exprimem o custo total (y_i) de cada alternativa (i), em função da quantidade produzida (x):

y₁ = 50 000 + 10 x
y₂ = 75 000 + 7 x
y₃ = 110 000 + 4 x

Onde 1 é a alternativa de comprar; 2, produzir com um layout tipo processo; e 3, produzir com um layout tipo produto.

As três equações acima podem ser representadas graficamente, como se mostra na Figura 1. dado que os menores custos se encontram nos segmentos de recta mais baixos, os pontos de equilíbrio são na intersecção das equações de y₁ com y₂ e y₂ com y₃.

Figura 1. Relação entre o custo e a quantidade produzida anualmente para os layouts alternativos
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

O valor de x na intersecção entre y₁ e y₂ pode ser obtido resolvendo a equação

50 000 + 10 x = 75 000 + 7 x

de onde x = 8 33(3) unidades / ano

O valor de x na intersecção entre y₂ e y₃ é dado por

75 000 + 7 x = 110 000 + 4 x

portanto, x = 11 66(6) unidades / ano.

Pode, então, concluir-se que para:

x ≤ 8 33(3) unidades / ano, a alternativa de menor custo é comprar a outra empresa; para

8 33(3) ≤ x ≤ 11 66(6) unidades / ano, produção com um layout tipo processo; e para

x ≥ 11 66(6) unidades / ano, produção com um layout tipo produto.

OLSEN, Robert A. - Manufacturing Management: A Quantitative Approach, Scranton, PA, International Textbook, 1968, p. 314.

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Planeamento do layout de armazém

As distâncias podem ser minimizadas guardando os artigos em áreas de armazenagem em profundidade e posicionando os materiais de forma a minimizar a distância total percorrida. Conforme é ilustrado na Figura 1, armazenando os artigos em áreas de armazenagem em profundidade, a distância percorrida será menor do que se os materiais forem armazenados em áreas sem profundidade.

Figura 1. Impacte da armazenagem em profundidade na distância percorrida
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

A centralização das operações de recepção e expedição, também tem influência nos custos de operação do armazém, como se pode observar na Figura 2.

Figura 2. Impacte da centralização da recepção/expedição
conjugada com a armazenagem dedicada por classes
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

TOMPKINS, James A.; WHITE, John A. - Facilities Planning, Nova Iorque, John Wiley & Sons, 1984.

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Layout óptimo com armazenagem dedicada

Considere-se um armazém cuja planta é ilustrada na Figura 1.

Figura 1. Planta de um armazém

Os locais para armazenagem têm dimensões de 20 × 20 pés. As portas P₁ e P₂ são para camiões e as portas P₃ e P₄ são para vagões de caminho de ferro. É usada armazenagem dedicada. Sessenta por cento de todas as movimentações do armazém são feitas pelas portas P₁ e P₂, tendo cada porta a mesma probabilidade de ser usada. Quarenta por cento de todas as movimentações do armazém são divididas igualmente pelas portas P₃ e P₄.

Neste armazém vão ser armazenados três produtos, A, B e C, com um único tipo de produto armazenado no mesmo local. O produto A necessita de 3 600 pés² de espaço de armazenagem e é movimentado à taxa de 750 unidades de carga por mês; o produto B necessita de 6 400 pés² de espaço de armazenagem e é movimentado à taxa de 900 unidades de carga por mês; o produto C necessita de 4 000 pés² e é movimentado à taxa de 800 unidades de carga por mês.

A distância apropriada é a rectilinear, medida entre as portas e os centróides dos locais de armazenagem. Os valores de f_k (distância média do local de armazenagem k às portas) estão apresentados na Figura 2. Para exemplificar o cálculo de um f_k, suponha-se que k = 29. Medindo as distâncias rectilineares do centróide do local de armazenagem 29 a cada uma das quatro portas tem-se d_{1, 29} = 120, d_{2, 29} = 100, d_{3, 29} = 100 e d_{4, 29} = 80. Então,

f₂₉ = 0,3 (120) + 0,3 (100) + 0,2 (100) + 0,2 (80) = 102




Figura 2. Distância média de cada local de armazenagem k às portas

O número de locais de armazenagem necessário para cada produto é S_A = 3 600 / 400 = 9, S_B = 16 e S_C = 10. Os valores de T_j são T_A = 750, T_B = 900, T_C = 800. Portanto, os valores de T_j / S_j são T_A / S_A = 83 1/3, T_B / S_B = 56,25 e T_C / S_C = 80. Então os produtos são numerados 1(A), 2(C) e 3(B).

O produto 1(A) necessita de 9 locais de armazenagem; então, os locais de armazenagem afectados ao produto A são [17, 18, 19, 9, 25, 20, 10, 26, 21]. O produto 2(C) necessita de 10 locais de armazenagem; então, [11, 27, 22, 12, 28, 23, 13, 29, 24, 1] são afectados ao produto C. O produto 3(B) necessita de 16 locais de armazenagem; então, o produto B é afectado aos locais de armazenagem [14, 30, 33, 2, 15, 31, 34, 3, 16, 32, 35, 4, 36, 5, 37, 6]. Os locais 7, 8, 38, 39 e 40 ficam disponíveis para armazenar equipamento, sanitários, escritórios e outros.

Um layout que minimiza a distância média percorrida por unidade de tempo é mostrado na Figura 3. É importante salientar que o layout apresentado não é o único que minimiza a distância média percorrida por unidade de tempo, nem necessariamente o layout final. Nada mais foi considerado, para além da distância média percorrida; a utilização desta abordagem da armazenagem dedicada deve ser examinada em cada aplicação em particular. No entanto, o layout serve de base para a avaliação de outras configurações.

Figura 3. Layout que minimiza a distância média percorrida por unidade de tempo

TOMPKINS, James A.; WHITE, John A. - Facilities Planning, Nova Iorque, John Wiley & Sons, 1984.

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Afectação de produtos a locais de armazenagem dedicada

A configuração óptima dos produtos em armazenagem dedicada envolve a afectação dos produtos aos locais de armazenagem. As distâncias rectilineares são consideradas apropriadas e é usada a seguinte notação:

q	=	número de locais de armazenagem
n	=	número de produtos
m	=	número de locais de entrada/saída (cais e/ou portas)
Sj	=	número de locais de armazenagem necessários para o produto j
Tj	=	número de entradas e saídas do armazém do produto j, isto é, as movimentações do produto j
pi	=	percentagem das entradas/saídas do armazém pelo ponto de entrada/saída i
dik	=	distância (ou tempo) que é necessário percorrer do ponto i ao local de armazenagem k
xjk	=	1 se o produto j é afectado ao local de armazenagem k; caso contrário, 0
f(x)	=	distância (ou tempo) média percorrida

O problema do layout do armazém pode ser formulado da seguinte forma:

Minimizar

sujeito a:

Supõe-se que cada artigo tem igual probabilidade de se movimentar entre o ponto de entrada/saída ou porta i e qualquer local de armazenagem afectado ao artigo j. Portanto, o valor de (1 / S_j) é a probabilidade de um local de armazenagem em particular afectado ao produto j ser escolhido para a movimentação de saída/entrada por uma porta. Fazendo

onde f_k é a distância média percorrida entre o local de armazenagem k e as portas.

Para minimizar a distância média total percorrida, procede-se do seguinte modo:

1. Numerar os produtos de acordo com o valor de T_j / S_j, de forma que
   
   


2. Calcular os valores de f_k para todos os locais de armazenagem.


3. Afectar o produto 1 aos S₁ locais de armazenagem que têm os menores valores de f_k; afectar o produto 2 aos S₂ locais de armazenagem que têm os menores valores de f_k seguintes e assim sucessivamente.

TOMPKINS, James A.; WHITE, John A. - Facilities Planning, Nova Iorque, John Wiley & Sons, 1984.

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Armazenagem aleatória vs dedicada

Para ilustar o efeito do método de armazenagem nas necessidades de espaço, suponha-se que seis produtos são recebidos num armazém. As existências de cada um dos produtos no final de cada período são as apresentadas na Tabela 1. O valor agregado das existências obtém-se somando as existências dos seis produtos.

Tabela 1 - Existências de seis produtos em armazém, expressos em paletes de produto

	Produtos
Período	1	2	3	4	5	6	Agregado
1	24	12	2	14	11	12	73
2	22	9	8	8	10	9	66
3	20	6	6	4	9	6	51
4	18	3	4	24	8	3	60
5	16	36	2	20	7	24	105
6	14	33	8	16	6	21	98
7	12	30	6	12	5	18	83
8	10	27	4	8	4	15	68
9	8	24	2	4	3	12	53
10	6	21	8	24	2	9	70
11	4	18	6	20	1	6	55
12	2	15	4	16	24	3	64
13	24	12	2	12	23	24	97
14	22	9	8	8	22	21	90
15	20	6	6	4	21	13	70
16	13	3	4	24	20	15	79
17	16	36	2	20	19	12	105
18	14	33	8	16	13	9	93
19	12	30	6	12	17	6	83
20	10	27	4	8	16	3	68
21	8	24	2	4	15	24	77
22	6	21	8	24	14	21	94
23	4	18	6	20	13	18	79
24	2	15	4	16	12	15	64
Soma dos níveis máximos de existências individuais Nível máximo do valor agregado das existências Nível médio do valor agregado das existências Nível mínimo do valor agregado das existências							= 140 = 105 = 77,5 = 51

Os níveis máximos das existências de cada um dos seis produtos são:

• Produto 1: 24
• Produto 2: 36
• Produto 3: 8
• Produto 4: 24
• Produto 5: 24
• Produto 6: 24

Com armazenagem dedicada o espaço necessário é igual à soma dos valoes máximos das existências de todos os produtos, ou seja espaço para 140 paletes. Com armazenagem aleatória o espaço necessário é igual ao máximo do valor agregado das existências. isto é, espaço para 105 paletes. Neste exemplo, a armazenagem dedicada necessita de mais um terço do espaço necessário com armazenagem aleatória.

TOMPKINS, James A.; WHITE, John A. - Facilities Planning, Nova Iorque, John Wiley & Sons, 1984.

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Sexta-feira, Junho 09, 2006

Filas de espera (M/M/1): sensibilidade a μ

Um armazém de um hipermercado recebe camiões com encomendas que são descarregados usando empilhadoras. Um levantamento de dados realizado no local permitiu concluir que os camiões chegam seguindo uma distribuição de Poisson, a uma taxa de 16 camiões / dia; os tempos de descarga seguem uma distribuição Exponencial Negativa, com médias que dependem do número de empilhadoras utilizadas:

N.º de empilhadoras	Tempo de descarga
	(1 / µ)
	--- minutos ---
1	50
2	20
3	15
4	12
5	10

A operação das empilhadoras tem um custo de 15 UM / hora e a imobilização dos camiões acarreta um encargo de 30 UM / hora.

1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/1, com λ = 2 camiões / hora.

A taxa de serviço ou taxa de descarga (µ) vai depender da decisão tomada sobre o número de empilhadoras.

2) Verificação da condição de equilíbrio: λ / µ < 1 ⇒ µ > 2 ⇒ Número de empilhadoras ≥ 2

Com uma empilhadora, a taxa de descarga é inferior à taxa de chegada, o que leva ao crescimento ilimitado da fila, nunca se atingindo o estado de equilíbrio.

Com duas ou mais empilhadoras, a condição de equilíbrio (ρ < 1) é satisfeita, permitindo determinar todas as medidas de desempenho para o modelo M / M / 1.

Operando com várias empilhadoras, a fila permanece sempre única, com apenas 1 servidor, devido ao facto das várias empilhadoras descarregam simultaneamente o mesmo camião, traduzindo-se num aumento da velocidade de descarga (aumento de velocidade do servidor ou taxa de serviço, µ).

Na tabela seguinte são indicados, para cada número de empilhadoras, o tempo médio de descarga dado (1 / µ), a taxa de serviço (µ), a taxa de ocupação (ρ = λ / μ), o tempo que, em média, os camiões permanecem no sistema (W) e o número médio de camiões no sistema (L = λ × W)

N.º de empilhadoras	Tempo médio de descarga	Taxa de serviço	Taxa de ocupação	Tempo médio no sistema por camião	Número médio de camiões no sistema
(n)	(1 / µ)	(µ)	(λ / µ)	(W)	(L = λ × W)
	- minutos -	- camiões por hora -		- horas -	- camiões -
1	50	1,20	1,67
2	20	3,00	0,67	1,00	2,00
3	15	4,00	0,50	0,50	1,00
4	12	5,00	0,40	0,33	0,67
5	10	6,00	0,33	0,25	0,50

Para minimizar os custos do sistema, há que determinar o custo de imobilização dos camiões e o custo do serviço, directamente proporcional ao número de empilhadoras utilizadas na descarga.

Na tabela seguinte apresenta-se o custo total em função do número de empilhadoras, permitindo concluir que o custo mínimo, de 75 UM / hora, corresponde a três empilhadoras.

N.º de empilhadoras	Custo de imobilização dos camiões	Custo das empilhadoras	Custo total
(n)	(30 λ w)	(15 n)
	-------------- UM / hora -------------
1	-	-	-
2	60	30	90
3	30	45	75
4	20	60	80
5	15	75	90

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Filas de espera (M/M/S): funcionamento de cais de armazém

Caso de aplicação

Ao cais de um hipermercado com três docas, chegam camiões com uma distribuição de Poisson a uma taxa de 20 veículos por dia de oito horas. O tempo de carga ou descarga do camião segue uma distribuição exponencial com média de 40 minutos.

1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/3, com taxa de chegadas, λ = 20 veiculos / dia = 2,5 veiculos / hora e taxa de serviço (µ)= 60 / 40 = 1,5 veiculos / hora.

2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / S µ = 2,5 / (3 × 1,5) = 5 / 9 < 1.

As três docas têm, portanto, capacidade para os camiões que se dirigem ao armazém do hipermercado.

Medidas de desempenho

1) Intensidade do tráfego (λ / µ) =
= λ / µ = 2,5 / 1,5 = 5 /3

2) Taxa de ocupação (ρ)=
Taxa média de ocupação do sistema =
Taxa média de ocupação do servidor =
Factor de ocupação do sistema =
ρ = λ / S µ = 2,5 / (3 × 1,5) = 5 / 9

3) Taxa de desocupação (1 - ρ) =
= 1 - ρ = 4 / 9

4) Número médio de camiões no sistema (L) =
L = 2 camiões

5) Número médio de camiões à espera (L_q) =
L_q = 0,4 camiões

6) Tempo médio no sistema (W) =
W = 0,8 horas = 49 minutos

7) Tempo médio à espera (W_q) =
W_q = 0,15 horas = 9 minutos

8) Número médio de camiões a serem servidos (L₃) =
Número médio de cais ocupados (L_b) =
L₃ = 5 / 3 camiões
L_b = 5 / 3 cais

9) Probabilidade de não existir nenhum camião no sistema (P₀) =
P₀ = 17 %

10) Probabilidade de existir algum camião no sistema (P {n > 0}) =
= 1 - P₀ = 83 %

11) Probabilidade de ter que esperar (P_w) =
Probabilidade do sistema estar ocupado (P_b) =
Probabilidade de todos os servidores estarem ocupados =
P_w = P_b = 30 %

12) Probabilidade de não ter que esperar (1 - P_w) =
Probabilidade de um servidor estar desocupado (1 - P_b) =
1 - P_w = 1 - P_b = 70 %

13) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n ≤ 3) estarem ocupados =
Probabilidade de haver n camiões (0 ≤ n ≤ 3) no sistema =

n	0	1	2	3
Pn	0,1727	0,2878	0,2398	0,1332

14) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n ≤ 3) estarem desocupados =
Probabilidade de haver (3 - n) camiões (0 ≤ n ≤ 3) no sistema =

n	3	2	1	0
3 - n	0	1	2	3
Pn	0,1727	0,2878	0,2398	0,1332

15) Número médio de camiões à espera, quando o sistema está ocupado (L_b) =
L_b = 1,25 camiões

16) Número médio de camiões à espera, quando há pelo menos um (L_q | q > 0) =
L_q | q > 0 = 2,25 camiões

17) Tempo médio à espera, quando o sistema está ocupado (W_b) =
Tempo médio à espera, quando se tem de esperar =
W_b = 0,5 horas

18) Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, n camiões no sistema (P_n)

19) Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) camiões no sistema (P {N ≤ n})

20) Probabilidade de haver mais de n camiões no sistema ((P {N > n}) =
1 - Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) camiões no sistema =
1 - (P {N ≤ n})
Probabilidade de haver pelo menos n + 1 (n + 1 ou mais) camiões no sistema (P {N ≥ n + 1})

21) Probabilidade de haver pelo menos n (n ou mais) camiões no sistema (P {N ≥ n})

n	Pn	P {N ≤ n}	P {N ≥ n}	q	Pq	P {Q ≤ q}	P {Q ≥ q}
	(18)	(19)	(21)		(23)	(24)	(25)
0	0,17	0,17	1,00
1	0,29	0,46	0,83
2	0,24	0,70	0,54
3	0,13	0,83	0,30	0	0,13	0,83	0,30
4	0,07	0,91	0,17	1	0,07	0,91	0,17
5	0,04	0,95	0,09	2	0,04	0,95	0,09
6	0,02	0,97	0,05	3	0,02	0,97	0,05
7	0,01	0,98	0,03	4	0,01	0,98	0,03
8	0,01	0,99	0,02	5	0,01	0,99	0,02
9	0,00	1,00	0,01	6	0,00	1,00	0,01
10	0,00	1,00	0,00	7	0,00	1,00	0,00

22) Probabilidade de haver n camiões a serem servidos =
P_n, para 0 ≤ n < S
P_S = 1 - ∑^{(S - 1)}P_n, para n = S

n	0	1	2	3
Pn	0,17	0,29	0,24	0,30

23) Probabilidade de haver 3 camiões a serem servidos e q na fila =
Probabilidade de haver 0, 1, 2, 3,…, q camiões na fila (P {Q = q}) =
P₃, para q = 0
P_q + 1, para q = 1, 2, 3,…

24) Probabilidade de não haver mais de q (q ou menos) camiões na fila (P {Q ≤ q})

25)Probabilidade de haver pelo menos q (q ou mais) camiões na fila (P {Q ≤ q})


Na figura seguinte podem ver-se algumas das medidas de desempenho do problema acima, determinadas numa folha de cálculo pré-programada (McClain, 2003).


(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

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Localização minisoma de centro de distribuição / hipermercado: distâncias Euclideanas ao quadrado, linhas de isocusto

Pelas razões indicadas anteriormente para o problema rectilinear, são de interesse as curvas de nível do problema gravitacional. As curvas de nível do problema gravitacional podem ser obtidas muito facilmente. Considere-se as curvas de nível dadas na Figura 1 para dois casos simples do problema gravitacional. No primeiro caso existe uma instalação. No segundo caso existe igual movimento de artigos entre a instalação nova e cada uma de duas instalações existentes. Consequentemente, é fácil de ver que as curvas de nível serão circunferências concêntricas centradas na localização óptima.


Figura 1.

Agora, como é que se pensa que as curvas de nível serão quando se tem um número qualquer de instalações existentes com movimentação de artigos desigual? Se se suspeitou que as curvas de nível serão ainda circunferências concêntricas centradas na localização óptima, essa intuição é notável, pois é esse o caso. Para se ver porque isto é verdade, note-se que de expressão da função objectivo se quer determinar o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que

k = ∑ w_i [(x - a_i)² + (y - b_i)²]

onde k é uma constante. Consequentemente, expandindo os termos quadrados determina-se que

k = x² ∑ w_i – 2 x ∑ w_i a_i + ∑ w_i a_i² + y² ∑ w_i - 2 y ∑ w_i b_i + ∑ w_i b_i²

Se se fizer

W = ∑ w_i

dividindo a equação anterior por W, e empregando as expressões de x* e y*, determina-se que

k / W = x² - 2 x x* + ∑ (w_i a_i²) / W + y² - 2 y y* + ∑ (w_i b_i²) / W

Adicionando (x*)² e (y*)² a ambos os lados da equação anterior e simplificando, obtém-se a equação de uma circunferência,

r² = (x – x*)² + (y – y*)²

centrada no ponto (x*, y*) com raio

r = [k / W + (x*)² + (y*)² - ∑ w_i (a_i² + b_i²) / W]^1/2

Este é um resultado interessante e não intuitivo. Com base neste resultado, se não se puder localizar a nova instalação na localização óptima (x*, y*) e se tiver que avaliar locais alternativos, deve-se sempre escolher aquele que está a menor distância em linha recta do ponto (x*, y*).

Para o caso considerado anteriormente, tem-se:

r² = (x – 4,76)² + (y – 3,88)²

com

r = [k / 25 + (4,76)² + (3,88)² – 49,92]^1/2

ou

r = [k / 25 -12,21]^1/2, para k > 305,2 (o valor óptimo da função objectivo).

FRANCIS, Richard L.; WHITE, John A. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach. Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1974.

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Filas de espera: M/M/S vs S sistemas M/M/1

No caso do talho/charcutaria do hipermercado, considere-se as seguintes alternativas:

A. Uma senha (fila única) e duas empregadas, ou seja, um sistema com dois servidores.

B. Duas senhas (duas filas) e uma empregada para cada senha, isto é, dois sistemas de um servidor. Neste caso supôe-se que os clientes se dividem igualmente pelos dois sistemas, portanto λ_B = λ_A / 2.

Medidas de	M/M/2	2 × M/M/1
desempenho	λA = 0,5 cl. / min.	λB = 0,25 cl. / min.
L (clientes)	0,87	1,2 (= 2 × 0,6)
Lq (clientes)	0,12	0,45 (= 2 × 0,225)
W (minutos)	1,75	2,4
Wq (minutos)	0,25	0,9

Com um sistema de dois servidores (alternativa A) verifica-se uma redução substancial nas quatro medidas de desempenho, em relação a dois sistemas, cada um com a sua fila.

Sempre que possível, é preferível ter um sistema com múltiplos servidores e uma fila única, do que ter o mesmo número de servidores, cada um a atender uma fila.

As duas alternativas têm os mesmos custos (não contando o custo e manutenção de uma máquina de senhas), mas grandes diferenças na previsível satisfação dos clientes. Os clientes, em geral, dão mais importância, pela negativa, ao tempo que permanecem na fila à espera.

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Filas de espera (M/G/1): variabilidade do serviço

A variabilidade do serviço tem um efeito importante nas medidas de desempenho do sistema, para além da velocidade média do servidor. Compare-se o desempenho de três sistemas com variâncias do tempo de serviço crescentes.

Medidas de	σ2 = 0	σ2 = 2,25	σ2 = (2,25)2
desempenho	(M/D/1)	(M/M/1)
ρ	0,75	0,75	0,75
P0	0,25	0,25	0,25
L (clientes)	1,875	3	4,4
Lq (clientes)	1,125	2,25	3,66
W (minutos)	3,75	6	8,8
Wq (minutos)	2,25	4,5	7,3
Lb (clientes)	1,5	3	4,875
Wb (minutos)	3	6	9,75

O número médio de clientes no sistema (L), na fila (L_q), na fila, quando o sistema está ocupado (L_b), o tempo no sistema (W), na fila (W_q) e na fila, quando o sistema está ocupado (W_b), aumentam (linearmente) com a variância, e só dependem da taxa de chegadas, intensidade de tráfego e variância do serviço.

A variabilidade do servidor tem um efeito importante nas medidas de desempenho do sistema, para além da velocidade média do servidor.

Considerando a variância nula (M/D/1), o tamanho médio da fila (L_q), número médio de clientes na fila, quando o sistema está ocupado (L_b), o tempo médio na fila (W_q) e na fila, quando o sistema está ocupado (W_b), são exactamente metade dos valores para M/M/1.

Diminuir a variância pode, portanto, melhorar significativamente as medidas de desempenho do sistema.

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Quinta-feira, Junho 08, 2006

A falta de dados para abordagens analíticas de localização

Na resolução de problemas de localização, supôs-se que certos dados estão disponíveis. Concretamente, os valores de (a_i, b_i) e w_i de cada instalação existente são supostos serem conhecidos. Nalguns casos, estes valores podem mudar ao longo do tempo. Noutros, os valores podem não ser conhecidos de todo. Se os valores mudam ao longo do tempo, pode-se estar interessado em minimizar o valor anual equivalente do custo das movimentações. Se os valores de (a_i, b_i) e w_i não são conhecidos, sugere-se que sejam feitas diferentes estimativas desses valores e que o problema de localização seja resolvido para cada combinação de estimativas. Com base nas soluções obtidas e curvas de nível associadas, pode-se escolher a localização que melhor satisfaz os objectivos do problema em particular.

Muitas vezes, as abordagens analíticas não são usadas por causa da «falta de dados precisos». Esta é uma desculpa muito fraca por pelo menos duas razões. Primeiro, os modelos são, normalmente, bastante insensíveis a erros na estimativa dos valores dos parâmetros do modelo. Segundo, qual a abordagem alternativa que vai ser utilizada para tomar uma decisão? Sem dúvida, a abordagem alternativa baseia-se (pelo menos implicitamente) nas estimativas subjectivas dos valores dos parâmetros. Se é esse o caso, porque não explicitar essas estimativas e usar o modelo?

Se ainda não se quer atribuir valores aos parâmetros e, mesmo assim, é tomada uma decisão sobre a localização da nova instalação, então podem imputar-se valores ou intervalos de valores aos parâmetros. Para exemplificar, suponha-se que as suposições do problema gravitacional são satisfeitas e que existem três instalações localizadas em P₁ = (0, 0), P₂ = (2, 6) e P₃ = (8, 4). Se for dito que não é possível estimar os valores de w_i, mas que foi decidido localizar a nova instalação em (4, 4). Do que foi exposto anteriormente, para (x*, y*) ser igual a (4, 4) tem que ser verdade que

4 = 0 w₁ + 2 w₂ + 8 w₃

4 = 0 w₁ + 6 w₂ + 4 w₃

onde a escala de tempo foi escolhida de tal maneira que

1 = w₁ + w₂ + 4 w₃

Consequentemente, tem-se um sistema de três equações com três incógnitas, que pode ser resolvido para se obter:

w₁ = 0,2

w₂ = 0,4

w₃ = 0,4

Pode-se agora perguntar, «Espera-se ter, realmente, para a segunda instalação existente, duas vezes mais movimentações do que para a primeira e a mesma quantidade de movimentações entre a nova instalação e a segunda e terceira instalações existentes?» Se a resposta é «Não!», então devem ser especificados valores que são razoáveis para o problema de localização em causa. Podem ser seguidas abordagens semelhantes quando os modelos rectilineares e Euclideanos são apropriados. A análise, no entanto, não é tão simples como para o problema gravitacional.

FRANCIS, Richard L.; WHITE, John A. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach. Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1974.

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Localização de uma instalação linear

Neste caso, pretende-se localizar um tapete transportador num centro de distribuição onde serve n pontos de carga e/ou descarga com um peso associado, positivo.

O problema é localizar o tapete x₂ = A* + S* x₁, tal que a soma das distâncias ponderadas perpendiculares ao tapete (o custo total do sistema) seja minimizada.

A distância perpendicular dos pontos de carga e/ou descarga (a_j 1, a_j 2) ao tapete é:

|A - (a_j 2 - S a_j 1)| / (S² + 1)^1/2

o que implica o problema de localização:

minimizar P (A, S) = ∑ [w_j |A - (a_j 2 - S a_j 1| / (S² + 1)^1/2]

Duas simplificações, são sugeridas:

1) A localização óptima do tapete tem que passar, no mínimo, por dois pontos de carga e/ou descarga. Neste caso pode ser seguida uma abordagem simples de busca. Calculam-se, simplesmente, as intersecções A e declives S das n (n - 1) / 2 linhas que passam por todos os pares de pontos, calcula-se o valor da função objectivo e escolhe-se a localização óptima do tapete.

2) O algoritmo de resolução pode ser visto como rodando o tapete, usando ponto pivot após ponto pivot tais que a localização do tapete continue a ser mediana. Isto é fácil de fazer graficamente, para problemas pequenos.


Suponha-se que existem quatro pontos de carga e/ou descarga cujas coordenadas e pesos, w_i, são dados na Tabela 1.


Tabela 1. Parâmetros do problema

j	wi	aj 1	aj 2
1	2	1	5
2	1	4	4
3	1	6	6
4	1	3	4

A Figura 1 ilustra o procedimento de rotação. Começando com o tapete horizontal, ele tem que passar pelo ponto 1 para dividir os pesos por dois. Esta localização, contudo, intercepta apenas um ponto e não pode ser óptima. Roda-se, portanto, o tapete no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio com o ponto 1 como pivot até se obter a localização #1 da Figura 1. Para esta localização continuar mediana, o ponto 3 torna-se o pivot até que a localização #2 é produzida. Depois, o ponto 4 torna-se o pivot até que a localização #3 é produzida. O ponto 1 torna-se então o pivot para se criar a localização #4. Continua então a ser o pivot até o tapete estar de novo horizontal. Só quatro localizações precisam de ser avaliadas. Os índices dos pares de pontos de carga e/ou descarga são (1, 2), (1, 3), (1, 4) e (3,4). A Tabela 2 mostra as intercepções, (A), declive, (S), e o custo destas localizações. A localização que passa pelos pontos a₁ e a₂ é a óptima.


Figura 1. Localizações candidatas

Tabela 2. Avaliação das localizações candidatas

Par	A	S	P (A, S)
(1, 2)	16 / 3	- 1 / 3	2,846
(1, 3)	24 / 5	1 / 5	2,942
(1, 4)	11 / 2	- 1 / 2	3,578
3 / 4	2	2 / 3	4,438

LOVE, R. F. et al. - Facilities Location: Models and Methods. Nova Iorque, North-Holland, 1988.

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Afectação quadrática (II)

Procedimento de melhoria (trocas de pares)

Para o exemplo anterior, designe-se o locais numericamente e os postos de trabalho alfabeticamente. Os seguintes fluxos ocorrem entre os postos de trabalho: A B (2), A C (8), A D (3), B C (4), B D (9), e C D (5). Suponha-se que se começa afectando arbitrariamente postos de trabalho A, B, C e D aos locais 1, 2, 3 e 4, respectivamente;. Então, as distâncias entre os postos de trabalho são A B (8), A C (10), A D (2), B C (4), B D (7) e C D (9). O custo total resultante deste layout inicial é obtido somando o produto do fluxo pela distância de cada par de postos de trabalho. Portanto o custo total da solução inicial é

2 (8) + 8 (10) + 3 (2) + 4 (4) + 9 (7) + 5 (9) = 226.

Dada uma solução inicial, considere-se agora trocar as localizações entre pares de postos de trabalho. Suponha-se que A troca com B. Localizando B no local 1 e A no local 2 as novas distâncias são A B (8), A C (4), A D (7), B C (10), B D (2), e C D (9). O novo custo total é

2 (8) + 8 (4) + 3 (7) + 4 (10) + 9 (2) + 5 (9) = 172.

Não se faz já a troca A B, apesar de ser possível um redução do custo total. Vai-se calcular o custo total de todos os pares de trocas e então faz-se a troca de que resulta a maior redução no custo total.

A seguir, considera-se o efeito de trocar A com C, mas ainda com base na solução inicial. Da colocação de C no local 1 e A no local 3, resultam as seguintes distâncias: A B (4), A C (10), A D (9), B C (8), B D (7), e C D (2). O novo custo total é

2 (4) + 8 (10) + 3(9) + 4 (8) + 9 ( 7) + 5 (2) = 220.

O procedimento continua, considerando as trocas de A e D, B e C, B e D, e C e D. Os resultados das trocas são dados na Tabela 1 para a solução inicial. Como se pode verificar, a melhor troca, é entre C e D; então, a troca é feita para se obter a primeira solução melhorada.


Tabela 1. Resultados das trocas de pares para a solução inicial

		Distâncias
			Trocas de pares
Fluxos	Pares de postos de trabalho	Solução inicial	A B	A C	A D	B C	B D	C D
2	A B	8	8	4	7	10	2	8
8	A C	10	4	10	9	8	10	2
3	A D	2	7	9	2	2	8	10
4	B C	4	10	8	4	4	9	7
9	B D	7	2	7	8	9	7	4
5	C D	9	9	2	10	7	4	9
Custo total		226	172	220	230	222	227	171

Seguidamente, considera-se o efeito no custo total de fazer troca de pares para a primeira solução melhorada. Os resultados das trocas são mostrados na Tabela 2. Como se pode ver, a maior redução no custo total ocorre quando os postos de trabalho C e D são trocados. Portanto, a troca é feita e obtém-se a segunda solução melhorada.


Tabela 2. Resultados das trocas de pares para a primeira solução melhorada

		Distâncias
			Trocas de pares
Fluxos	Pares de postos de trabalho	Solução inicial	A B	A C	A D	B C	B D	C D
2	A B	8	8	7	4	2	10	8
8	A C	2	7	2	9	8	2	2
3	A D	10	4	9	10	10	8	10
4	B C	7	2	8	7	7	9	7
9	B D	4	10	4	8	9	4	4
5	C D	9	9	10	2	4	7	9
Custo total		171	227	175	220	227	167	226

Normalmente, o processo continua sendo consideradas as trocas de pares para a segunda solução melhorada. A procura da melhor solução termina quando não há trocas que resultem numa redução do custo total ou o limite inferior é obtido. Neste caso, não há trocas que resultem numa redução do custo total.

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Quarta-feira, Junho 07, 2006

Filas de espera (M/G/1): medidas de desempenho

Num hipermercado, a certas horas do dia, os clientes dirigem-se a uma caixa registadora, para pagar as compras, com uma distribuição de Poisson, a uma taxa média de um de dois em dois minutos. A empregada da caixa atende os clientes por ordem de chegada (FIFO). Dado o tempo gasto a fazer as compras, os clientes estão dispostos a esperar para serem atendidos, se for necessário. O tempo de atendimento de cada cliente é, em média, 1,5 minutos, com uma variância de (9 / 4)².

1) Trata-se, portanto, de um sistema M/G/1, com taxa de chegadas λ = 0,5 clientes / minuto e tempo médio de serviço (1 / μ) = 1,5 minutos, com uma variância σ²= (9 / 4)².

2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / μ = 0,5 × 1,5 = 0,75 < 1.
A empregada tem, portanto, capacidade para atender os clientes que se dirigem à caixa para pagar as compras. O sistema poderá atingir o estado estacionário, se as condições dadas se mantiverem por tempo suficiente. A fila de espera não cresce indefinidamente, mas varia de tamanho ao longo do tempo.


Medidas de desempenho

1) Taxa de ocupação (ρ) =
Taxa média de ocupação do sistema =
Taxa média de ocupação do servidor =
Factor de ocupação do sistema =
Intensidade do tráfego =
Probabilidade de existir algum cliente no sistema (P {n > 0}) =
Probabilidade de ter que esperar na fila (P_w) =
Probabilidade do servidor estar ocupado (P_b) =
ρ = λ / μ = 0,75

2) Taxa de desocupação (P₀) =
Probabilidade de não existir nenhum cliente no sistema =
Probabilidade de não ter que esperar na fila =
Probabilidade do servidor estar desocupado =
P₀ =1 - ρ = 0,25

3) Número médio de clientes no sistema (L) =
L = {(λ² σ² + ρ²) / [2 (1 - ρ)]} + ρ = 4,4 clientes

4) Número médio de clientes na fila (L_q) =
Tamanho médio da fila =
L_q = (λ² σ² + ρ²) / [2 (1 - ρ)] = 3,7 clientes

5) Tempo médio no sistema (W) =
Duração média do período de ocupação do servidor =
W = L / λ = 8,8 minutos

6) Tempo médio na fila (W_q) =
Tempo médio de espera na fila =
W_q = L_q / λ = 7,3 minutos

7) Número médio de clientes na fila, quando o sistema está ocupado (L_b) =
L_b = L_q / P_w = 4,875 clientes

8) Número médio de clientes na fila, quando há pelo menos um (L_q | q > 0) =
Número médio de clientes servidos por período de ocupação do servidor =
L_q | q > 0 = μ W = 5,875 clientes

9) Número médio de clientes a serem servidos (L_S) =
Número médio de servidores ocupados (S_b) =
L_S = L - L_q = ρ = 0,75 clientes
S_b = ρ = P_b = 0,75 servidores

10) Tempo médio na fila, quando o sistema está ocupado (W_b) =
Tempo médio na fila, quando se tem de esperar =
W_b = W_q / P_w = 7,3125 / 0,75 = 9,75 minutos

11) Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, n clientes no sistema (P_n)

12) Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema (P {N ≤ n})

13) Probabilidade de haver mais de n clientes no sistema (P {N > n}) =
1 - Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema = 1 - (P {N ≤ n})
Probabilidade de haver pelo menos n + 1 (n + 1 ou mais) clientes no sistema (P {N ≥ n + 1}) =
ρ^{n + 1}

14) Probabilidade de haver pelo menos n (n ou mais) clientes no sistema (P {N ≥ n}) =
ρⁿ, para n = 0, 1, 2, …

	Pn	P {N ≤ n}	P {N ≥ n}		Pq	P {Q ≤ q}	P {Q ≥ q}
n	(11)	(12)	(14)	q	(16)	(17)	(18)
0	0,25	0,25	1,00
1	0,19	0,44	0,75	0	0,19	0,44	0,75
2	0,14	0,58	0,56	1	0,14	0,58	0,56
3	0,11	0,68	0,42	2	0,11	0,68	0,42
4	0,08	0,76	0,32	3	0,08	0,76	0,32
5	0,06	0,82	0,24	4	0,06	0,82	0,24
6	0,04	0,87	0,18	5	0,04	0,87	0,18
7	0,03	0,90	0,13	6	0,03	0,90	0,13
8	0,03	0,92	0,10	7	0,03	0,92	0,10
9	0,02	0,94	0,08	8	0,02	0,94	0,08
10	0,01	0,96	0,06	9	0,01	0,96	0,06
11	0,01	0,97	0,04	10	0,01	0,97	0,04
12	0,01	0,98	0,03	11	0,01	0,98	0,03
13	0,01	0,98	0,02	12	0,01	0,98	0,02
14	0,00	0,99	0,02	13	0,00	0,99	0,02
15	0,00	0,99	0,01	14	0,00	0,99	0,01

15) Probabilidade de haver um cliente a ser servido e nenhum na fila =
P₁ = 0,19

16) Probabilidade de haver um cliente a ser servido e q na fila =
Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, q clientes na fila (P {Q = q}) =
P₁, para q = 0
P_q + 1, para q = 1, 2, …

17) Probabilidade de não haver mais de q (q ou menos) clientes na fila (P {Q ≤ q}) =
Confiar que há espaço para q clientes esperarem, uma percentagem (probabilidade × 100) do tempo =
P {N ≤ q + 1}

Se quisermos estar confiantes de que há espaço no hipermercado para os clientes de uma caixa, pelo menos 95% do tempo, devemos ser capazes de acolher 10 clientes, incluindo o que está a ser servido, ou seja, haver espaço para uma fila de 9 clientes com os carros das compras.

18) Probabilidade de haver pelo menos q (q ou mais) clientes na fila (P {Q ≥ q}) =
P {N ≥ q + 1} = ρ^{q + 1}

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Classificação de problemas de localização de centro de distribuição / hipermercado numa rede

A classificação dos problemas de localização de um centro de distribuição / hipermercado numa rede é feita de acordo com três características:

1. A localização potencial da instalação a ser localizada - ou num nó ou em qualquer ponto da rede.

2. A localização das procuras - ou num nó ou em qualquer ponto da rede.

3. Função objectivo - ou minimizar o custo total a todos os pontos de procura ou minimizar o custo máximo a qualquer ponto de procura.

Este esquema da classificação é resumido na Figura 1.


Figura 1. Classificação dos problemas de localização de um
centro de distribuição / hipermercado numa rede
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

Cada combinação das características do problema tem um nome diferente como se mostra na figura. Estes são definidos abaixo:

1. Um centro de uma rede é qualquer nó cujo nó mais distante está tão perto quanto possível. Neste caso, tanto a instalação como as procuras ocorrem somente em vértices.

2. Um centro geral de uma rede é qualquer nó cujo ponto mais distante na rede está tão perto quanto possível. Note-se que enquanto a instalação é localizada num vértice, os pontos de procura encontram-se ao longo dos arcos da rede assim como nos nós.

3. Um centro absoluto de uma rede é qualquer ponto cujo nó mais distante está tão perto quanto possível. Neste caso, a instalação é localizada em qualquer ponto da rede, mas as procuras ocorrem somente nos nós.

4. Um centro absoluto geral de uma rede é qualquer ponto cujo ponto mais distante estiver tão perto quanto possível. Aqui, tanto a instalação como as procuras localizam-se em qualquer ponto da rede.

Por analogia a cada um destes quatro tipos de problemas de localização numa rede, pode-se definir a mediana, mediana geral, mediana absoluta, mediana absoluta geral, mudando simplesmente a função objectivo de minimizar a distância máxima da instalação a uma procura, pela de minimizar a soma das distâncias da instalação a todos os pontos de procura.

EVANS, James R.; MINIEKA, Edward - Optimization Algorithms For Networks and Graphs. 2.ª ed., Nova Iorque, Marcel Dekker, 1992.

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Distância ponto-arco numa rede

Represente-se por d' (f – (r, s), (t, u)) a distância máxima do ponto f do arco (r, s) aos pontos do arco (t, u). Esta é a chamada distância ponto-arco.

Se o arco (r, s) não tem direcção e se (r, s) ≠ (t, u), então a rota do ponto f de (r, s) ao ponto mais distante de (t, u) deve ser ou via nó r ou via nó s. Então, segue-se que

d' (f – (r, s), (t, u)) = min {f a (r, s) + d' (r, (t, u)), (1 – f) a (r, s) + d' (s, (t, u))} (3a)

Se o arco (r, s) é direccionado e (r, s) ≠ (t, u), o primeiro termo da minimização acima pode ser eliminado e

d' (f - (r, s), (t, u)) = (1 - f) a (r, s) + (d´ (s, (t, u)) (3b)

Se (r, s) = (t, u) e se o arco (r, s) é direccionado, os pontos mais distantes, do arco (r, s), do ponto f de (r, s) são os pontos g tais que g se aproxima de f de valores menores que f. Assim, neste caso,

d' (f - (r, s), (r, s) = (1 - f) a (r, s) + d (s, r) (3c)

Se (r, s) = (t, u) e se o arco (r, s) não tem direcção, a distância máxima do ponto f de (r, s) para qualquer ponto g de (r, s) (onde g < f) não pode exceder

A = min {f a (r, s), [a (r, s) + d (s, r)] / 2}

O primeiro termo desta minimização leva em conta as rotas do ponto f ao ponto g limitado ao arco (r, s). O segundo termo da minimização leva em conta as rotas do ponto f de (r, s) ao ponto g de (r, s) que passam pelo nó s.

Similarmente, a distância máxima do ponto f de (r, s) a qualquer ponto g de (r, s) (onde g > f) não pode exceder

B = min {(1 - f) a (r, s), [a (r, s) + d (s, r)] / 2}

O primeiro termo da minimização precedente leva em conta as rotas do ponto f ao ponto g limitado ao arco (r, s). O segundo termo da minimização precedente leva em conta as rotas do ponto f de (r, s) ao ponto g em (r, s) que passam pelo vértice r.

Consequentemente, se o arco (r, s) não tem direcção,

d' (f - (r, s), (r, s)) = max {A, B}

ou, equivalentemente,

d' (f - (r, s), (r, s)) = max {min {f a (r, s), [a (r, s) + d (s, r)] / 2}}, min {(1 - f) a (r, s), [a (r, s) + d (r, s)] / 2}} (3d)

Quando d' (f - (r, s), (t, u)) é traçado em função de f para todos os (r, s) ≠ (t, u), a curva toma a mesma forma que nas distâncias ponto-nó mostradas na Figura 1 (Distância ponto-nó), dado que a equação (3a) tem a mesma forma que a equação (1a) e a equação (3b) tem a mesma forma que a equação (1b). Só as constantes são diferentes; as formas equacionais são as mesmas.

Por outro lado, quando d' (f - (r, s), (r, s)) é traçado em função de f para qualquer arco sem direcção (r, s), a curva toma a forma apresentada na Figura 1. Isto decorre da equação (3d).


Figura 1. Gráfico da distância ponto–arco d' (f - (r, s), (r, s))
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

EVANS, James R.; MINIEKA, Edward - Optimization Algorithms For Networks and Graphs. 2.ª ed., Nova Iorque, Marcel Dekker, 1992.

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Algoritmo da encomenda dinâmica incremental

O algoritmo da encomenda dinâmica incremental (IPP) aumenta uma encomenda enquanto o custo incremental de posse é menor ou igual ao custo fixo de encomenda. As encomendas dinâmicas não são acumuladas, mas são listados numa base incremental. O objectivo é determinar as quantidades a encomendar que incluem as necessidades de um número inteiro de períodos tais que

h P (T - 1) R_T = C

(T - 1) R_T = C / (h P)

onde:

C = custo de encomenda

h = custo de posse por período, em fracção do custo unitário

P = custo unitário

T = número de períodos de procura incluídos num reabastecimento

R_T = procura em T períodos futuros

C / (h P) = EPP = encomenda dinâmica económica

(T - 1) R_T = IPP = encomenda dinâmica incremental

A quantidade a encomendar é aumentada, sequencialmente, das necessidades de períodos sucessivos até que a IPP exceda a EPP. No primeiro período com necessidades líquidas positivas é feita a encomenda inicial. A encomenda de reabastecimento seguinte é planeada para o primeiro período em que o valor da IPP exceda o valor da EPP. A quantidade das encomendas subsequentes é obtida de maneira semelhante à da encomenda inicial.


Para o mesmo artigo e situação analisada anteriormente, a solução é:

EPP = C / (h P) = 100 / (0,02 × 50) = 100

A Tabela 1 indica os cálculos necessários para determinar as quantidades de reabastecimento.


Tabela 1.

Período	T	RT	IPP = (T - 1) RT
1	1	75	(0) 75 = 0 < 100
2	2	0	(1) 0 = 0 < 100
3	3	33	(2) 33 = 66 < 100
4	4	28	(3) 28 = 84 < 100
5	5	0	(4) 0 = 0 < 100
6	6	10	(5) 10 = 50 < 100

Dado que o IPP durante os seis períodos nunca excede a EPP de 100, a encomenda inicial no período é suficiente para durar até ao período 6, nomeadamente, 75 + 0 + 33 + 28 + 0 + 10 = 146 unidades.

A programação dos reabastecimentos da encomenda dinâmica incremental e os custos variáveis cumulativos são os seguintes:

Período	1	2	3	4	5	6
Procura	75	0	33	28	0	10
Quantidade encomendada	146	0	0	0	0	0
Custos variáveis cumulativos	171	242	280	290	300	300

As virtudes do algoritmo da encomenda dinâmica incremental são que é fácil de perceber e necessita de menos cálculos que outras heurísticas, como a de Silver-Meal, e os algoritmos da encomenda dinâmica.

TERSINE, Richard J. – Principles of Inventory and Materials Management, 3.ª ed., Nova Iorque, North-Holland, 1988.

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Terça-feira, Junho 06, 2006

Distância nó-arco numa rede

Considere-se a distância mais curta do nó j a cada ponto do arco (r, s). Para algum ponto do arco (r, s), esta distância tem o seu valor máximo. Esta distância máxima do nó j a qualquer ponto no arco (r, s) é denotada por d' (j, (r, s)) e chama-se distância nó-arco.

Se o arco (r, s) não tem direcção, há duas meaneiras de ir do nó j ao ponto f em (r, s): via nó r ou via nó s. Naturalmente, selecciona-se a mais curta das duas rotas. Se estas duas rotas têm distâncias desiguais, então alguns pontos na vizinhança do ponto f do arco(r, s) estão ainda mais afastados do nó j. Por exemplo, na Figura 1 (Localização mediana absoluta geral), o ponto 0,25 do arco (3, 4) está a 1,25 unidades ou 2,75 unidades do nó 2, conforme se vá via nó 3 ou via nó 4. Se o f é aumentado de 0,25 para 0,26, a distância mais curta do nó 2 ao ponto 0,26 do arco (3, 4) é o min {1,26; 2,74} = 1,26. Estas duas distâncias são iguais no ponto mais distante. Observe-se que essas duas distâncias somam sempre

d (j, r) + f a (r, s) + d (r, s) + (1 - f) a (r, s) = d (j, r) + d (j, s) + a (r, s)

Então, segue-se que

d' (j, (r, s)) = [d (j, r) + d (j, s) + a (r, s)] / 2 (2a)

Se, por outro lado, o arco (r, s) é direccionado, então um ponto no arco (r, s) só pode ser alcançado via nó r. Consequentemente, os pontos mais distantes de (r, s) de qualquer nó são os pontos mais próximos do nó s, isto é, os pontos f para os quais f se aproxima de 1. Neste caso

d' (j, (r, s)) = d (j, r) + a (r, s) (2b)

Numere-se os arcos numa rede G de 1 a m. Denote-se por D' a matriz n × m cujo elemento j, k é a distância do nó-arco do nó j ao arco k. Observe-se que a matriz das distância do nó–arco D' pode ser calculada da matriz das distâncias entre todos os pares de nós D e o comprimento dos arcos usando as equações (2a) e (2b).

EVANS, James R.; MINIEKA, Edward - Optimization Algorithms For Networks and Graphs. 2.ª ed., Nova Iorque, Marcel Dekker, 1992.

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Afectação quadrática (I)

Quando há trocas de mercadorias ou materiais entre as novas instalações, o problema é de afectação quadrática.

Suponha-se que queremos localizar quatro postos de trabalho, no talho de um hipermercado. Os valores dos fluxos e distâncias são dadas nas matrizes simétricas V e D,

V	=	0	2	8	3
		2	0	4	9
		8	4	0	5
		3	9	5	0

D	=	0	8	10	2
		8	0	4	7
		10	4	0	9
		2	7	9	0

Ordenando os valores de v_{j h} e os valores d_{k l} obtêm-se os vectores v e d.

v = (9, 8, 5, 4, 3, 2)

e

d = (2, 4, 7, 8, 9, 10)

O limite inferior LB é dado por

LB = v d’ = 9 (2) + 8 (4) + 5 (7) + 4 (8) + 3 (9) + 2 (10) = 164


Procedimento de construção

O maior valor de fluxo (v_{2 4} = 9) é entre os postos de trabalho 2 e 4; a menor distância (d_{1 4} = 2) é entre os locais 1 e 4. Então, o posto de trabalho 1 é afectado ou ao local 1 ou local 4 e o posto de trabalho 4 é afectado ao local restante. O valor seguinte de fluxo em v é v₁₃ = 8 e o valor seguinte da distância em d é d_{2 3} = 4; portanto, é desejável afectar os postos de trabalho 1 e 3 aos locais 2 e 3. O valor seguinte de fluxo em v é v_{3 4}= 5 e o valor seguinte da distância em d é d_{2 4} = 7; portanto, é desejável afectar os postos de trabalho 3 e 4 aos locais 2 e 4. Dado que o posto de trabalho 4 pode ser afectado ao local 1 ou local 4 e o posto de trabalho pode ser afectado ao local 2 ou local 4 ela, decorre que o posto de trabalho 4 é afectado ao local 4. Então, o posto de trabalho 2 é afectado ao local 1, o posto de trabalho 3 é afectado ao local 2 e o posto de trabalho 1 é afectado ao local 3.

O custo desta afectação é

z = v_{1 2} d_{3 1} + v_{1 3} d_{3 2} + v_{1 4} d_{3 4} + v_{2 3} d_{1 2} + v_{2 4} d_{1 4} + v_{3 4} d_{2 4}

= 2 (10) + 8 (4) + 3 (9) + 4 (8) + 9 (2) + 5 (7)

= 164

Uma vez que o valor da função objectivo da afectação é igual ao limite inferior, foi obtida uma solução óptima. Isto nem sempre acontece. Para problemas maiores, os detalhes deste método tornam-se um pouco mais complicados; no entanto, o princípio mantém-se o mesmo: Localizar as instalações que têm a maior interacção (fluxo) o mais próximas possível.

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Localização central de centro de distribuição/ hipermercado numa rede em árvore (IV)

Procedimento para determinar o centro absoluto ponderado num nó

Tendo utilizado o procedimento para determinar o centro absoluto ponderado y*, para resolver o problema do centro absoluto ponderado num nó (se y* não é um nó) só é necessário avaliar g nos nós do arco que contém y* e escolher como centro absoluto ponderado num nó um dos dois nós com o menor valor de g.

Para o exemplo anterior, uma vez que y* é no arco que une os nós 2 e 4, também se pode concluir que ou o nó 2 ou o nó 4 é o centro absoluto ponderado num nó. Os cálculos estabelecem que g (v₂) = 20 e que g (v₄) = 16, portanto o nó 4 é o centro absoluto ponderado num nó.

FRANCIS, Richard L. et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

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Quantidade a encomendar periodicamente

Para o mesmo artigo e necessidades indicadas na tabela seguinte:

Período	Necessidades
	(unidades)
1	10
2	3
3	30
4	100
5	7
6	15
7	80
8	50
9	15
10	0
	310

o intervalo económico de encomenda (EOI) é:

EOI = [(2 C) / (R h P)]^1/2 = [(2 × 100) / (31 × 0,02 × 50)]^1/2 = 2,54

Arredondando para o inteiro mais próximo, uma oferta para 3 períodos resulta nas seguintes quantidades a encomendar periodicamente:

TERSINE, Richard J. – Principles of Inventory and Materials Management, 3.ª ed., Nova Iorque, North-Holland, 1988.

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Algoritmo da encomenda dinâmica

Este algoritmo selecciona um número de períodos, para serem cobertos pelo reabastecimento, tal que os custos de posse acumulados sejam iguais ao custo de encomenda. Geralmente não é possível uma igualdade exacta por causa da natureza discreta das necessidades, por isso o tamanho da encomenda é aumentado enquanto os custos de posse acumulados são menores ou iguais ao custo de encomenda. O objectivo é determinar as quantidades de encomenda que incluem as necessidades de um número inteiro de períodos tais que

h P ∑_{k = 1, ..., T} (k - 1) R_k = C

∑_{k = 1, ..., T} (k - 1) R_k = C / (h P)

onde:

C = custo de encomenda

h = custo de posse por período, em fracção do custo unitário

P = custo unitário

R_k = procura no período k

T = duração do reabastecimento em períodos de tempo

C / (h P) = EPP = encomenda dinâmica económica

∑_{k = 1, ..., T} (k - 1) R_k = APP = encomenda dinâmica cumulativa

A encomenda dinâmica económica (EPP) representa um ponto de equilíbrio que converte o custo de encomenda e os custos de posse numa medida da encomenda dinâmica. A encomenda dinâmica é o produto da procura do período pelo número de períodos em que se vão manter as existências, para além do período de recepção da encomenda. A quantidade encomendada é aumentada, sequencialmente, das necessidades de períodos sucessivos até que a APP exceda a EPP. No primeiro período com necessidades líquidas positivas é feita a encomenda inicial. A encomenda de reabastecimento seguinte é planeada para o primeiro período em que o valor da APP exceda o valor da EPP. A quantidade das encomendas subsequentes é obtida de maneira semelhante à da encomenda inicial. A quantidade de reabastecimento associada a um valor de T em particular é:

Q = ∑_{k = 1, ..., T} R_k


Para o mesmo artigo e situação analisada anteriormente, a solução é:

EPP = C / (h P) = 100 / (0,02 × 50) = 100

A Tabela 1 indica os cálculos necessários para determinar as quantidades de reabastecimento.


Tabela 1.

Período	T	RT	(T - 1) RT	APP = ∑ (k - 1) Rk
1	1	75	(0) 75 = 0	0 < 100
2	2	0	(1) 0 = 0	0 < 100
3	3	33	(2) 33 = 66	66 < 100
4	4	28	(3) 28 = 84	150 > 100
4	1	28	(0) 28 = 0	0 < 100
5	2	0	(1) 0 = 0	0 < 100
6	3	10	(2) 10 = 20	20 < 100

No período 4, a APP de 150 excede a EPP de 100, de modo que o reabastecimento inicial no período 1 é de unidades suficientes para durarem até ao período 3, ou 75 + 0 + 33 = 108 unidades. O reabastecimento seguinte no período 4 é suficiente para durar até ao período 6, ou 28 + 0 + 10 = 38 unidades.

A programação dos reabastecimentos da encomenda dinâmica e os custos variáveis cumulativos são os seguintes:

Período	1	2	3	4	5	6
Procura	75	0	33	28	0	10
Quantidade encomendada	108	0	0	38	0	0
Custos variáveis cumulativos	133	166	166	276	286	286

Têm sido desenvolvidos alguns refinamentos do algoritmo da encomenda dinâmica (PPA) para melhorar o seu desempenho. Estes refinamentos, chamados «olhar-para-a-frente» e «olhar-para-trás», podem melhorar o desempenho quando há grandes variações das necessidadespróximas dos períodos de reabastecimento. Requerem, no entanto, cálculos adicionais e o resultado não é necessariamente óptimo.

As características do olhar-para-a-frente e olhar-para-trás destinam-se a prevenir que existências que cobrem picos na procura sejam conservadas durante longos períodos de tempo, e evitar encomendas em períodos de pouca procura. Os ajustamentos são feitos só quando melhoram as condições. O teste de olhar-para-a-frente é feito primeiro. Se falhar, é feito o teste de olhar-para-trás. Se ambos os testes falharem, não se faz mais nada e são postas em prática as encomendas dadas pelo algoritmo da encomenda dinâmica.

O teste de olhar-para-a-frente observa os períodos que se seguem ao período previsto de encomenda para ver se vão surgir algumas procuras fora do comum. A primeira encomenda é feita no período 1 para satisfazer T períodos de oferta. A encomenda seguinte é feita no período T + 1. Se for adiada, é feita no período T + 2 e a encomenda inicial é revista para cobrir T + 1 períodos de oferta. Os passos são os seguintes:

1. Determinar o período previsto de encomenda pelo algoritmo da encomenda dinâmica.


2. Olhar-para-a-frente a procura do período seguinte:
   
   
   1. Se a procura no período seguinte T + 2 é maior ou igual ao valor da encomenda dinâmica no período previsto de encomenda T + 1, o período de encomenda é adiado para o período seguinte. Caso contrário, o período previsto de encomenda é aceite. Para adiar o período de encomenda, a condição seguinte é necessária:
      
      R_{T + 2} ≥ T R_{T + 1}
   
   
   2. O teste de olhar-para-a-frente é repetido sucessivamente em todos os períodos até falhar.

O teste de olhar-para-trás não é feito se o teste de olhar-para-a-frente adiar a encomenda para outro período. Se o teste de olhar-para-a-frente não adiar a encomenda, o teste de olhar-para-trás é aplicado da seguinte maneira:

• Multiplicar a procura no período previsto de encomenda T + 1 por 2. Se a procura no período T é maior, a encomenda é antecipada um período. Caso contrário, o período previsto de encomenda é aceite. Para antecipar o período de encomenda, a condição seguinte é necessária:
  
  R_T > 2 R_{T + 1}

Apesar dos teste de olhar-para-a-frente e olhar-para-trás não serem infalíveis, adicionam precisão quando a procura flutua drasticamente.

TERSINE, Richard J. – Principles of Inventory and Materials Management, 3.ª ed., Nova Iorque, North-Holland, 1988.

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Segunda-feira, Junho 05, 2006

Controlo de qualidade: diagrama de Pareto

Uma empresa de hipermercados decidiu produzir leite com a sua marca e recolheu informação relativa ao número de determinados tipos de defeitos que ocorrem na produção do leite, como indica a folha de registo (Tabela 1).


Tabela 1.

N.º	Tipo de defeito	Total
101	Caixas danificadas	33
102	Leite estragado	2
103	Caixas mal maquinadas	25
104	Caixas mal cortadas	4
105	Dimensões incorrectas	45
106	Colagem deficiente	13
107	Mau alinhamento das caixas	2
108	Sequência incorrecta de fabrico	6
109	Incorrecção na entrega das caixas	2
110	Produto mal acabadoo	4
111	Falha na dobragem das caixas	8
112	Caixas com poros	40
113	Entrada de homem tardia	1
114	Colocação insuficente de leite	1
115	Falha na colocação do prazo de validade	7
116	Dimensão errada da caixa de leite	1
117	Mau embalamento do produto	1
118	Erro na descrição das características do produto	2
119	Erro no logótipo	1
120	Incorrecto procedimento de inspecção	2

Para estabelecer uma estratégia que permita à empresa melhorar a sua produção, o departamento de qualidade utilizou como ferramenta o diagrama de Pareto. Assim, tratou os dados, como indicado na Tabela 2 e representados na Figura 1.


Tabela 1.

Ordem	Defeito	Observações	Observações acumuladas	Observações acumuladas	Defeitos acumulados	Defeitos
				--------------------- (%) ---------------------
1	105	45	45	22,5	5	22,5
2	112	40	85	42,5	10	20,0
3	101	33	118	59,0	15	16,5
4	103	25	143	71,5	20	12,5
5	106	13	156	78,0	25	6,5
6	111	8	164	82,0	30	4,0
7	115	7	171	85,5	35	3,5
8	108	6	177	88,5	40	3,0
9	104	4	181	90,5	45	2,0
10	110	4	185	92,5	50	2,0
11	102	2	187	93,5	55	1,0
12	107	2	189	94,5	60	1,0
13	109	2	191	95,5	65	1,0
14	118	2	193	96,5	70	1,0
15	120	2	195	97,5	75	1,0
16	113	1	196	98,0	80	0,5
17	114	1	197	98,5	85	0,5
18	116	1	198	99,0	90	0,5
19	117	1	199	99,5	95	0,5
20	119	1	200	100	100	0,5

Figura 1.

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Localização central de centro de distribuição / hipermercado numa rede em árvore (III)

Interpretando w_i d (y, v_i) como o tempo do transporte de y para o nó i, pode-se designar por adenda, h_i, o tempo de preparar o transporte mais o tempo de carga ou descarga no nó, mais o tempo de viagem do nó i para qualquer outro ponto conhecido na rede, tal como um centro de recolha de veículos. Naturalmente, dependendo das circunstâncias, alguns destes tempos podem ser nulos.

Neste caso, a função g (y) que se pretende minimizar é

g (y) = max {w₁ d (y, v₁) + h₁, …,w_m d (y, v_m) + h_m}


Procedimento para determinar o centro absoluto ponderado com adendas

1) Para cada i e j tais que 1 ≤ i < j ≤ m, calcular b_{i j}, agora definido como sendo

b_{i j} = (w_i w_j d (v_i, v_j) + w_j h_i + w_i h_j) / (w_i + w_j)

e depois calcular b_{s t}, definido, como sendo o máximo de b_{i j}.

2) Calcular h_p, definido como sendo o máximo dos h_i.

3) Calcular b, definido como sendo o máximo de b_{s t} e h_p.

4) Se b = h_p, então y* = v_p, é o único centro absoluto e o problema está resolvido.

5) Se não, quando b = b_{s t}, então y*, é o ponto único, no caminho que liga os vértices s e t, que satisfaz

d (y*, v_s) = (w_t d (v_s, v_t) + h_t – h_s) / (w_s + w_t)

d (y*, v_t) = (w_s d (v_s, v_t) + h_s – h_t) / (w_s + w_t)

Note-se que a principal diferença na resolução do problema com adendas é que se alguma das adendas é suficientemente grande (i.e., b = h_p), a localização óptima é mo vértice v_p, para que não seja dispendido nenhum tempo no transporte para v_p. Caso contrário, a abordagem para resolver o problema é praticamente a mesma.

FRANCIS, Richard L. et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

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Inputs de transporte: um centro consumidor e dois produtores

Os modelos discutidos anteriormente são, evidentemente, muito simplificados. Considerando os polígonos locacionais, a técnica de Isard parece muito difícil porque a localização de equilíbrio final não pode ser encontrada imediatamente. Os problemas podem ser ilustrados com o caso de dois produtos (M₁ e M₂) e um único centro consumidor (C). Mais uma vez, mantém-se a hipótese da uniformidade dos custos da mão-de-obra e de outros custos no espaço, de modo que, se a localização muda, apenas os inputs de transporte se alteram. Pode-se traçar um triângulo locacional como o da Figura 3a, em que os vértices representam as fontes de produtos e o mercado consumidor. A única diferença entre este triângulo locacional e o de Weber é que aqui os lados do triângulo não são as distâncias reais, mas medem apenas os inputs de transporte (toneladas-quilómetro), de forma que os pesos dos produtos utilizados para comercializar cada tonelada do artigo na prateleira já estão considerados e não precisam de ser acrescentados, como na análise de Weber, como pesos que pressionam a partir de cada vértice.


Figura 3.
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

O procedimento a ser seguido é atribuir um valor, por exemplo r, à variável input de transporte até C, e isso vai fornecer o arco X Y de raio r que é o lugar geométrico de todas as localizações do estabelecimento para aquele valor determinado de inputs de transporte até C dentro do triângulo locacional C M₁ M₂. Esse lugar pode ser expresso em termos de quantidades de inputs de transporte de M₁ e de M₂, o que fornece para essas duas variáveis a curva de transformação X Y na Figura 3b. Conhecendo as tarifas de transporte dos produtos em M₁ e M₂, pode-se desenhar um conjunto de linhas de relação de preços. A B representa a mais baixa dessas linhas que é tangente à curva de transformação X Y. O ponto tangente é Z, que representa o ponto de equilíbrio parcial do conjunto de quantidades das duas variáveis de inputs de transporte que determina a localização nas condições supostas

Entretanto, Z é apenas um ponto parcial de equilíbrio porque depende da hipótese de que a localização está a r inputs de transporte de C. Mas os inputs de transporte para C devem ser considerados variáveis se a localização de equilíbrio está ainda por ser encontrada. Desse modo, o passo seguinte é tomar os inputs de transporte de M₂ coerentes com a localização em Z e construir uma curva de transformação para os inputs de transporte variáveis de M₁ e de C. Sobrepõem-se as linhas de relação de preços reflectindo as tarifas relativas de transporte em M₁ e sobre o artigo na prateleira. Novamente é encontrada uma posição de equilíbrio parcial. Esta, provavelmente, corresponderá a um valor de inputs de transporte até C diferente do valor r, anteriormente fixado. Consequentemente, a curva de transformação entre M₁ e M₂ muda e talvez seja necessário encontrar um novo ponto de equilíbrio parcial, para essas duas variáveis. Este procedimento é repetido até que se obtenha uma posição de equilíbrio geral. Esta última será obtida no ponto em que as posições de equilíbrio parcial correspondentes aos três pares de variáveis (inputs de transporte do artigo na prateleira e o produto em M₁; inputs de transporte do artigo na prateleira e o produto em M₂; e inputs de transporte em M₁ e M₂ coincidem.

A técnica é igualmente aplicável a casos com polígonos de quatro ou mais lados e as hipóteses mais realistas sobre meios de transporte e sistemas de tarifas. Por exemplo, supondo que, ao invés de se irradiarem em todas as direcções, os meios de transporte ligam um número finito de pontos, a própria curva de transformação torna-se descontínua e degenera num certo número de pontos. Mais ainda, a despeito da tarefa considerável de encontrar o equilíbrio locacional nessa análise, a sua principal vantagem, sobre a abordagem mais elegante de Weber, é que ela pode dar lugar a um realismo muito maior em relação às tarifas de transporte. Isard mostra como é possível, substituindo as linhas de relação de preços por linhas de dispêndios uniformes (para os custos de transporte), levar em conta o carácter zonal de vários sistemas de tarifas, os altos custos terminais e a elevação de custos devida à interrupção do transporte nos pontos de transbordo, além do tratamento adequado das tarifas de transporte não-proporcionais.

Um resultado da abordagem de Isard é que ela relaciona a análise da localização decorrente da consideração dos transportes com a teoria da produção tradicional. A inclusão dos inputs de transporte na função de transformação da empresa acrescenta uma dimensão espacial à teoria da produção. Essa vantagem não deixa de ter as suas contrapartidas: a possibilidade de descontinuidades de mercado, tanto nas curvas de transformação, como nas linhas de iguais dispêndios de transporte, indicam as limitações da análise de substituição marginalista para resolver o problema locacional.

RICHARDSON, Harry W. – Economia Regional: Teoria da Localização, Estrutura Urbana e Crescimento Regional. 2.ª ed., Rio de Janeiro, Zahar Editores, 1981.

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Inputs de transporte: equilíbrio locacional

Com a ajuda das linhas de transformação e das de relação de preços, tomadas em conjunto, é possível obter o ponto de equilíbrio locacional para o estabelecimento. A condição de equilíbrio é directamente paralela à condição de equilíbrio normal na análise de substituição da teoria da produção. Nesse caso, o ponto de produção corresponde ao ponto em que a linha de transformação é tangente à linha de relação de preços. Isso significa que a taxa marginal de substituição entre quaisquer dos inputs de transporte é igual à recíproca dos seus preços (as tarifas de transporte correspondentes). Assim, o lugar de equilíbrio corresponde ao ponto na linha de transformação que se coloca ao nível mais baixo da linha de relação de preços, implicando, portanto, os custos totis de transporte mais baixos. Para encontrar esse ponto de equilíbrio, só é preciso sobrepor a linha de relação de preços ao diagrama de transformação. Considerando, a Figura 1A, B e C (já apresentada), conjuntamente com D, E e F, chega-se a nove combinações diferentes. Os resultados estão colocados na matriz da Figura 2.


Figura 2.
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

Esses resultados são evidentes, de forma que é desnecessário comentá-los em detalhe. A combinação A-D é indeterminada porque as inclinações da linha de transformação e da linha de relação de preços são ambas iguais a – 1, e qualquer localização (M, C ou qualquer ponto na via que os liga) incorre nos mesmos custos totais de transporte. Em A-F, a simetria da linha de relação de preços convexa à origem assegura que a mais baixa dessas curvas toca a linha de transformação A em ambos os eixos, o que torna indiferente a localização em M ou em C. Na coluna horizontal inferior da tabela, a localização resulta sempre no centro consumidor; isso ocorre porque a linha de transformação C, representando o aumento de peso durante o processo de comercialização, domina sempre as linhas de relação de preços consideradas (D, E e F) porque em todos esses casos a tarifa de transporte do produto final é ≥ à tarifa de transporte da matéria-prima. Na linha de transformação B, onde existe perda de peso durante a comercialização, a localização junto à fonte de produto surge em casos (B-D, B-F) em que a tarifa de transporte é a mesma para o produto e para o artigo na prateleira. A combinação B-E é a mais difícil; aqui uma influência de diminuição no peso do produto é compensada por uma tarifa mais elevada para os artigos na prateleira. Entretanto, a localização do estabelecimento é plenamente determinada, dependendo das inclinações relativas da linha de transformação e da linha de relação de preços. Se essas inclinações fossem completamente especificadas, poder-se-ia então determinar se o equilíbrio ocorre em M ou em C.

Um último ponto importante a ser assinalado sobre os resultados da Figura 2 é que a localização de equilíbrio é sempre num ponto extremo. O ponto de equilíbrio é quase sempre um ponto extremo em que o polígono locacional se reduz a uma linha, por exemplo, quando somente um produto é utilizado na comercialização. Nesse caso, a linha de transformação é uma linha recta ou um certo número de pontos possíveis situados numa linha recta. A única excepção em exemplos desse tipo é quando a linha de relação de preços é côncava em relação à origem, o que exige, como condição, que a tarifa de transporte cresça com o aumento da distância, o que é bastante improvável. De facto, a convexidade dos sistemas modernos de transporte é um poderoso factor a influir no sentido dos pontos extremos serem escolhidos para a localização. Por outro lado, é preciso destacar que as soluções relativas aos pontos extremos são apenas possibilidades e não probabilidades em situações mais complexas com fontes múltiplas de produtos e/ou múltiplos mercados de consumo.

RICHARDSON, Harry W. – Economia Regional: Teoria da Localização, Estrutura Urbana e Crescimento Regional. 2.ª ed., Rio de Janeiro, Zahar Editores, 1981.

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Inputs de transporte: um centro consumidor e um produtor

A obra de Isard no que se refere à teoria da localização, em particular, os seus elementos sobre a orientação dos transportes, liga-se muito à tradição weberiana. Da mesma forma que Weber, Isard esboça um modelo simples em que a procura da localização óptima envolve a minimização dos custos de transporte, embora a sua técnica seja mais flexível, pois pode levar em conta sistemas de tarifas mais realistas.

O conceito básico utilizado na análise de Isard é o input de transporte, definido como o movimento de uma unidade de peso uma unidade de distância; assim, os inputs de transporte podem ser expressos em toneladas quilómetro. Os inputs de transporte correspondem ao exercício de esforço (como, por exemplo, homens-hora) necessário para superar a resistência oposta ao movimento no espaço. Da mesma forma que existe um desconto relativo ao tempo, pode-se descontar em relação ao espaço. Esse tipo de desconto permite a comparação de valores de dois ou mais bens separados espacialmente de qualquer ponto geográfico de referência. A taxa de desconto em relação ao espaço, ou o preço de um input de transporte, é a tarifa de transporte. No mundo real, existem várias tarifas de transporte, reflectindo a extensão e as características do trajecto, o tipo de mercadoria transportada, o grau de concorrência do sector de transporte, a topografia do território sobre o qual os bens são tranportados e outros. Pode-se, no entanto, conceber a tarifa de transporte como uma tarifa hipotética representativa, da mesma forma que no desconto relativo ao tempo se usa a taxa de juro, embora existam de facto varias taxas de juro de acordo com as regiões, o grau de risco e o prazo do empréstimo.

Considere-se de início o primeiro caso. Suponha-se que há um único centro consumidor C, e estabeleça-se um ponto M, como a única fonte de produto indispensável à comercialização de um determinado artigo. Todos os outros factores operativos são considerados disponíveis em qualquer ponto e ao mesmo preço. O produto é móvel e uma via em linha recta liga os pontos M e C. O único factor de custo variável é o input de transporte do produto e do artigo na prateleira. Supondo que uma tonelada de produto é utilizada para produzir uma tonelada de artigo na prateleira (isto é, W_M / W_C = 1), o input de transporte é igual à distância de M e de C. Combinando essas duas variáveis, obtém-se uma linha de transformação recta com declive –1, como na Figura 1A. Se houvesse perda de peso na operação de comercialização, a localização no centro consumidor absorveria mais input de transporte (toneladas-quilómetro) para trazer o produto ao local de comercialização do que se o estabelecimento estivesse localizado em M e o produto final fosse transportado de M para o mercado. Assim, quando W_M / W_C excede a unidade, a linha de transformação tem um declive algebricamente inferior a –1, como mostra a Figura 1B. Finalmente, quando existe ganho de peso na comercialização, verifica-se a situação inversa, ou seja, o declive negativo da transformação será menos acentuado, isto é, será algebricamente superior a –1 (Figura 1C).


Figura 1.
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

A linha de transformação mostra como, mudando a localização, se pode substituir inputs de transporte de uma mercadoria (por exemplo, produto) por inputs de transporte de outra (o artigo na prateleira). Para encontrar a posição de equilíbrio espacial, precisa-se de um conjunto de linhas de relação de preços, reflectindo os preços relativos dos dois conjuntos de inputs de transporte. Considerando que a tarifa de transporte por toneladas-quilómetro é a mesma tanto para a produto como para o artigo na prateleira e que esse tarifa é proporcional à distância, as várias linhas de relação de preços são linhas rectas com um declive de –1, como na Figura 1D. Mantendo a hipótese relativa à proporcionalidade do frete à distância, mas considerando que a tarifa de transporte para os artigos na prateleiras é mais elevada do que as dos produtos (o que ocorre frequentemente na prática), a linha de relação de preços torna-se mais inclinada, como na Figura 1E. Na Figura 1F, volta-se à hipótese de uma tarifa igual para o produto e o artigo na prateleira, mas abre-se mão da proporcionalidade da tarifa à distância, para levar em conta o facto de que, especialmente nos países mais avançados em que os meios de transporte modernos envolvem um grande número de despesas e custos terminais elevados, os sistemas de tarifas são normalmente elaborados de tal forma que a tarifa diminui proporcionalmente ao aumento da distância. Isso fornece um conjunto de linhas de relação de preços convexo em relação à origem, mas que cortam os dois eixos simetricamente.

RICHARDSON, Harry W. – Economia Regional: Teoria da Localização, Estrutura Urbana e Crescimento Regional. 2.ª ed., Rio de Janeiro, Zahar Editores, 1981.

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Distância ponto-nó numa rede

Represente-se por d (f - (r, s), j) o comprimento do caminho mais curto do ponto f do arco (r, s) ao nó j. Esta é a chamada distância ponto-nó. Se o arco (r, s) não tem direcção, i.e., permite movimentações em ambas as direcções, esta distância deve ser a menor das duas distâncias seguintes:

a) a distância do ponto f ao nó r mais a distância do nó r ao nó j;

b) a distância do ponto f ao nó s mais a distância do nó s ao nó j.

Então,

d (f - (r, s), j) = min {f a (r, s) + d (r, j), (1 – f) a (r, s) + d (s, j)} (1a)

Se (r, s) é um arco direccionado, i.e., só são permitidas movimentações de r para s, o primeiro termo da minimização acima é eliminado e

d (f - (r, s), j) = (1 – f) a (r, s) + d (s, j) (1b)

Observe-se que só os comprimentos dos arcos e a matriz de D são necessários para calcular todas as distâncias ponto-nó.

Quando traçada em função de f, a distância ponto-nó para um dado arco (r, s) e um dado nó j toma uma das três formas mostradas na Figura 1. Note-se que o declive desta curva linear quebrada é ou + a (r, s) ou – a (r, s) e declive faz na máximo uma mudança de + a (r, s) para – a (r, s).




Figura 1. Gráficos de distâncias ponto-nó.

EVANS, James R.; MINIEKA, Edward - Optimization Algorithms For Networks and Graphs. 2.ª ed., Nova Iorque, Marcel Dekker, 1992.

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Localização minisoma de centro de distribição / hipermercado: distâncias Euclideanas ao quadrado

Neste caso, assume-se que os custos crescem proporcionalmente ao quadrado da distância Euclideana (problema gravitacional).

Então, tem-se:

d (X, H_i) = [(x - a_i)² + (y - b_i)²]

Sendo assim, o problema é formulado do seguinte modo:

Minimizar f (x, y) = ∑ w_i [(x - a_i)² + (y - b_i)²]

Os valores óptimos, x* e y*, que minimizam os custos, são obtidos igualando a zero as derivadas parciais da função objectivo em ordem a x e a y,

((∂f (x*, y*) / ∂x*), (∂f (x*, y*) / ∂y*)) = (0, 0)

de onde:

x* = ∑ w_i a_i / ∑ w_i

y* = ∑ w_i b_i / ∑ w_i

x* e y*, correspondem a médias ponderadas das coordenadas x e y das instalações existentes e são, de facto, as coordenadas que minimizam a equação dos custos. A solução do problema é algumas vezes designada de centróide ou centro de gravidade. Daí a designação de problema gravitacional.

Assim para o problema anterior,

x* = [5 (1) + 6 (5) + 2 (2) + 4 (4) + 8 (8)] / (5 + 6 + 2 + 4 + 8)

x* = 4,76

y* = [5 (1) + 6 (2) + 2 (8) + 4 (4) + 8 (6)] / (5 + 6 + 2 + 4 + 8)

y* = 3,88

O custo total, (f (X)*), resultante da localização X* = (4,76; 3,88) é então:

f (4,76; 3,88) = 5 [(4,76 - 1)² + (3,88 - 1)²] + 6 [(4,76 - 5)² + (3,88 – 2)²] + 2 [(4,76 - 2)² + (3,88 - 8)²] + 4 [(4,76 - 4)² + (3,88 - 4)²] + 8 [(4,76 - 8)² + (3,88 - 6)²] = 305,2 UM

FRANCIS, Richard L.; WHITE, John A. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach. Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1974.

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Afectação linear

Suponha-se que 3 novos centros de distribuição, a, b e c, vão ser localizados numa região. Existem 6 hipermercados nessa região, p, q, r, s, t e u, que vão ser abastecidos por, pelo menos um dos novos centros de distribuição. Os hipermercados estão localizados em (0, 0), (0, 1), (0, 3), (1, 1), (2, 2) e (4, 0), respectivamente. Uma análise preliminar indica que existem cinco localizações possíveis, v, w, x, y e z, com coordenadas das localizações (1, 0), (1, 2), (2, 0), (4, 1) e (4,3), respectivamente, para os novos centros de distribuição. Os planos directores municipais, contudo, proíbem a localização do novo centro de distribuição a no local v e limitações de espaço impedem o novo centro de distribuição b de ser localizado em w. Não há trocas de mercadorias entre os três novos centros de distribuição.

A matriz W = (w_{i k}), onde w_{i k} é o número de viagens por dia feitas entre o novo centro de distribuição i e o hipermercado existente k, é

wi k	p	q	r	s	t	u
a	4	0	1	2	0	2
b	1	2	3	0	2	1
c	0	1	4	0	2	3

Todas as deslocações são supostas ocorrerem numa malha rectangular de estradas. A matriz das distâncias D = (d_{k j}), onde d_{k j} é a distância rectilinear entre o hipermercado existente k e a localização possível j, é dada por

dk j	v	w	x	y	z
p	1	3	2	5	7
q	2	2	3	4	6
r	4	2	5	6	4
s	1	1	2	3	5
t	3	1	2	3	3
u	3	5	2	1	3

A matriz dos custos C = (c_{i j}), onde c_{i j} é custo de localizar o novo centro de distribuição i na localização possível j, é obtida por C = W D

ci j	v	w	x	y	z
a	16	26	21	34	48
b	26	20	29	38	40
c	33	27	33	37	37

Note-se que c_{i j} = ∑ w_{i k} d_{k j}, é uma soma de distâncias ponderadas.

Recorde-se que os novos centros de distribuição a e b não são permitidos nas localizações v e w, respectivamente. Para evitar a possibilidade destas afectações, fazem-se os valores de c_{1 1} e c_{2 2} positivos muito grandes. Atendendo a que os novos centros de distribuição a serem localizados são menos do que os locais disponíveis, são criadas dois novos centros de distribuição artificiais, d e e, com c_{i j} = 0, e a matriz de custos, C, passa a ser

∞	26	21	34	48
26	∞	29	38	40
33	27	33	37	37
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0

Este problema de afectação, em particular, pode ser resolvido por inspecção, resultando na afectação dos novos centros de distribuição a, b e c aos locais x, v e w, respectivamente, de modo a minimizar a distância percorrida por dia.

Claro que nem todos os problemas de afectação são tão fáceis de resolver como neste caso. Os métodos para resolver problemas de afectação são apresentados na maior parte dos textos introdutórios de investigação operacional.

Para além dos custos referidos acima, podem existir custos adicionais, resultantes da localização do novo centro de distribuição i no local j, tais como custos de preparação ou aquisição do terreno. Se c"_{i j} denotar a soma destes outros custos e c'_{i j} representar os custos referidos acima, então os valores dos custos c_{i j} a usar na resolução do problema de afectação são dados por

c_{i j} = c'_{i j} + c"_{i j}

Naturalmente, c'_{i j} e c"_{i j} têm que ter as mesmas dimensões.

FRANCIS, Richard L.; WHITE, John A. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach. Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1974.

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Domingo, Junho 04, 2006

Indicadores de eficiência operacional: produção

Eficiência do ciclo de operação

= Tempo de máquina, h / Período de tempo, h
= Somatório de todos os tempos de ciclo de operações de produção, h / Período de tempo no ciclo de produção, h
[proporção]

Este indicador mede a eficiência com que os materiais circulam no processo de fabrico. Obviamente que se podem esperar valores diferentes entre operações à tarefa e sistemas de processamento contínuos. O tempo de máquina inclui todo o tempo gasto nas operações de produção reais nas máquinas, tratamentos e inspecção, incluindo tempo de carga/descarga. O período de tempo é desde que a unidade entra no departamento de produção (por exemplo, 08h00 de 4 de Junho) até sair (por exemplo, 09h00 de 20 de Junho). Só contam os dias úteis e apenas 8 h/dia (assumindo que um turno é de 8 h), então neste exemplo, o período de tempo seria 12 dias × 8 h/dia + 1 = 96 + 1 = 97 h.

O tempo não gasto na produção pode ser causado por atrasos na movimentação de material, má programação e rota, operação ineficiente das máquinas e falha das máquinas, e limitações da armazenagem, entre outras razões. Para aumentar a utilização das máquinas, o atraso deve ser eliminado ou pelo menos minimizado. O indicador de desempenho deve ser aplicado e observado constantemente, durante um certo tempo.

Algumas possibilidades de melhoria incluem ter sistemas de identificação automática para melhorar a entrada de dados de controlo dos materiais, padronizar métodos de movimentação de materiais e contentores, e considerar tecnologia de grupo e configuração em células. (Note-se, contudo, o conflito entre a tecnologia de grupo, que recomenda a produção de artigos da mesma família em conjunto, e o Planeamento de Recursos Materiais (MRP II), que recomenda a produção de artigos só imediatamente antes de serem necessários.)


Tarefas atrasadas

= Número de tarefas atrasadas numa semana, tarefas/semana / Número de tarefas completadas numa semana, tarefas/semana
[proporção]

Não dar demasiada importância às tarefas atrasadas. Apesar dos atrasos serem de evitar, não devem ser evitados a qualquer preço.


Carga de maquinaria automática, principal

= Soma das percentagens do tempo de paragem das máquinas para todos os casos em que as percentagens individuais de tempo de paragem são iguais ou menores que 50% dos ciclos de trabalho individuais / (100 Número total de operadores dessas máquinas)
[proporção / operador]

Esta razão é um indicador preciso da eficiência obtida agrupando máquinas para operações com várias máquinas. Deve-se notar que é usado só quando a porção do tempo de máquina do ciclo total de trabalho é automático e as máquinas podem ser deixadas a trabalhar sozinhas. O tempo de paragem é a proporção do ciclo de trabalho em que a máquina é carregada e descarregada.


Carga de maquinaria automática, secundário

= Somatório das percentagens do tempo de paragem das máquinas para todos os casos em que as percentagens individuais de tempo de paragem são maiores que 50% dos ciclos de trabalho individuais / (100 Número total de operadores dessas máquinas)
[proporção / operador]

Este critério é semelhante ao indicador principal acima, excepto que só é usado para grupos de máquinas diferentes a que o índice principal não se adapta.

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Indicadores de eficiência operacional: armazenagem

Separação de encomendas

= Linhas de encomendas separadas por dia, linhas/dia / Horas de trabalho por dia, h/dia
[linhas/dia]

Dependendo da aplicação, o tempo de separação de uma encomenda pode ser só o tempo para separação da encomenda ou pode incluir também o tempo de reposição e embalagem.

Algumas possibilidades de melhoria incluem a avaliação da separação de uma única encomenda versus separação de várias encomendas versus separação por zona; a avaliação da movimentação do empregado até ao artigo versus movimentação do artigo até ao empregado; e a avaliação de armazenagem dedicada (cada referência com um local próprio sempre lhe atribuído) versus armazenagem aleatória (referência armazenada em qualquer local).

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Indicadores de eficiência operacional: recepção e expedição

Recepção e expedição

= Peso recebido (expedido) por dia, kg/dia / Horas de trabalho por dia, h/dia
[kg/h]

ou

= Cargas recebidas (expedidas) por dia, paletes/dia / Horas de trabalho por dia, h/dia
[paletes/h]

ou

= Volume recebido (expedido) por dia, m³/dia / Horas de trabalho por dia, h/dia
[m³/h]

Existem muitas oportunidades de melhoria na recepção e expedição. Parte do desafio consiste no facto do trabalho ser grandemente influenciado pelos vendedores e fornecedores, e pelos departamentos utilizadores internos. Isto é, muito além do controlo do supervisor local e carece de uma abordagem sistémica.

Algumas possibilidades de melhoria incluem a programação da chegada e partida dos camiões, sistemas de identificação automática, impressoras de etiquetas e digitalizadoras para facilitar a introdução de dados e reduzir os erros, e transportadores extensíveis que entram nas caixas ou atrelados dos camiões.

# posted by Sara Figueira @ 21:49 links to this post

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Equipamentos para hipermercados (V)

Expositores, produzidos pela Avedol - Indústria de estantes e expositores, essencialmente utilizados para dar maior destaque ao produto.

Modelo	Altura x Profundidade x Largura (mm)
Expositor A1	600 x 230 x 190
Expositor A2	330 x 200 x 140
Expositor A3	650 x 160 x 120
Expositor Q	1 600 x 450 x 580
Expositor tubo01	1 660 x 410 x 500
Expositor tubo02	1 660 x 450 x 500
Expositor tubo03	1 660 x 410 x 500
Expositor tubo04	1 660 x 450 x 500
Expositor tubo05	1 600 x 450 x 580
Expositor balcão rotativo01	400 x 300 x 500
Expositor balcão rotativo03	400 x 150 x 300
Expositor checkout 900	1 400 x 500 x 900

Expositores neutros / quentes de bancada, utilizados nas zonas de pastelaria, padaria e pizzaria, comercializados pela Fridouro.

Modelo	Altura x Profundidade x Largura (mm)	Tipo
ECC	195 x 370 x 1 020	Neutro
EO	235 x 210 x 1 000	Neutro
VEM 510 Inox	200 x 350 x 500	Neutro
VEM 520 Inox	340 x 350 x 500	Neutro
CT4C	235 x 385 x 810	Quente
CTEE	470 x 600 x 1 150	Quente
VEC 520	410 x 350 x 500	Quente
RIT	610 x 470 x 470	Quente

# posted by Fábio F. @ 17:41 links to this post

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Localização de hipermercado em relação a áreas urbanas

Suponha-se que numa região existem 4 grandes clientes institucionais, representados por pontos na Figura 1, e seis áreas habitacionais, representadas na mesma figura. Neste caso, os pesos podem estar associados ao número de entregas a fazer por período de tempo.


Figura 1. Representação geográfica das localizações dos clientes
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

Usando a abordagem da força resultante para cada eixo, é possível resolver problemas de localização rectilineares envolvendo localizações em áreas para os elementos existentes, quando as áreas têm formato rectangular e o peso se distribui uniformemente pela área. Uma vez que estas suposições podem ser satisfeitas fazendo os rectângulos suficientemente pequenos, o procedimento gráfico pode ser aplicado a situações envolvendo áreas de forma irregular.

A área habitacional j é designada por A_j e o seu peso associado denotado por v_j. O total dos pesos é 25. Representando graficamente o peso cumulativo à direita de x, para 0 ≤ x ≤ 8, na Figura 2, verifica-se que metade do peso total é consumida quando x* = 4. Da mesma forma, vê-se na Figura 3 que metade do peso é consumida quando y* = 4 1/8. Note-se que a distribuição uniforme do peso por uma área resulta num consumo linear do peso.

Figura 2. Curva do consumo dos pesos para x
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

Figura 3. Curva do consumo dos pesos para y
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

Para exemplificar, movendo de x = 0 para x = 3, passa-se P₁, A₂, A₆ e um terço de A₁. Então, foram consumidos w₁ + v₂ + v₆ + (v₁ / 3), restando 25 – (2 + 3 + 3 + 1) = 16 como peso cumulativo à direita de x = 3. Da mesma forma, para y = 5 passa-se P₁, P₃, A₁, A₂, A₃, A₄ e três quintos de A₅, então, 25 – (2 + 2 + 3 + 3 + 1 + 2 + 3) = 9 é o peso cumulativo acima de y = 5.

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Ligações

• Equipamentos de Movimentação de Materiais
• Logí­stica de Hipermercados
• Logí­stica
• FCT/UNL

Arquivo

• Fevereiro 2006
• Março 2006
• Abril 2006
• Maio 2006
• Junho 2006

Índice

Seminário Moodle@FCTUNL
Distância média percorrida por dois produtos num armazém com duas portas do mesmo lado
Distância média percorrida num armazém com duas portas do mesmo lado
Distância média percorrida por dois produtos num armazém com uma porta
Cálculo da distância média percorrida num armazém
Regiões de armazenagem dedicada para dois produtos
Configuração contínua de armazém
Dimensionamento de armazém com base nos custos
SLP de unidade produtiva (II)
SLP de unidade produtiva (I)
Selecção do tipo de layout por análise do ponto de equilíbrio
Planeamento do layout de armazém
Layout óptimo com armazenagem dedicada
Afectação de produtos a locais de armazenagem dedicada
Armazenagem aleatória vs dedicada
Filas de espera (M/M/1): sensibilidade a μ
Filas de espera (M/M/S): funcionamento de cais de armazém
Localização minisoma de centro de distribuição / hipermercado: distâncias Euclideanas ao quadrado, linhas de isocusto
Filas de espera: M/M/S vs S sistemas M/M/1
Filas de espera (M/G/1): variabilidade do serviço
A falta de dados para abordagens analíticas de localização
Localização de uma instalação linear
Afectação quadrática (II)
Filas de espera (M/G/1): medidas de desempenho
Classificação de problemas de localização de centro de distribuição / hipermercado numa rede
Distância ponto-arco numa rede
Algoritmo da encomenda dinâmica incremental
Distância nó-arco numa rede
Afectação quadrática (I)
Localização central de centro de distribuição/ hipermercado numa rede em árvore (IV)
Quantidade a encomendar periodicamente
Algoritmo da encomenda dinâmica
Controlo de qualidade: diagrama de Pareto
Localização central de centro de distribuição / hipermercado numa rede em árvore (III)
Inputs de transporte: um centro consumidor e dois produtores
Inputs de transporte: equilíbrio locacional
Inputs de transporte: um centro consumidor e um produtor
Distância ponto-nó numa rede
Localização minisoma de centro de distribição / hipermercado: distâncias Euclideanas ao quadrado
Afectação linear
Indicadores de eficiência operacional: produção
Indicadores de eficiência operacional: armazenagem
Indicadores de eficiência operacional: recepção e expedição
Equipamentos para hipermercados (V)
Localização de hipermercado em relação a áreas urbanas

Comentários Recentes

•  Anónimo Sáb Mai 06, 05:25:00 PM 2006
•  Virgílio A. P. Machado Dom Mai 07, 02:45:00 AM 2006
•  Virgílio A. P. Machado Qua Jun 21, 03:11:00 AM 2006
•  Joana Pereira Qua Jun 21, 03:39:00 AM 2006
•  Joana Pereira Qua Jun 21, 03:45:00 AM 2006

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