sábado, junho 10, 2006

 

 

Seminário Moodle@FCTUNL


Quarta-feira, 28 de Junho de 2006

Local e Hora: Ed. VII, sala 1.14, das 14:30 às 17:30

15:35-16:00 – Alunos de Logística (Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial)
Blogs e aprendizagem

 

Distância média percorrida por dois produtos num armazém com duas portas do mesmo lado


Considere-se o exemplo anterior, mas com várias classes de produtos. Então para o produto j:

q (kj) = kj2 - 0,25 c2

r (Bj) = (Bj + 0,25 c2)½

onde Bj = A1 + ... + Aj. Para o caso de três classes de produtos, a distância média percorrida é dada por:


Suponha-se são feitas 100 movimentações por hora e que o espaço total necessário são 10 000 ft2. Os produtos da Classe I representam 75% das movimentações e 15% das necessidades de espaço; os produtos da Classe II representam 20% das movimentações e 35% do espaço de armazenagem; e os produtos da classe II representam 5% das movimentações e 50% do espaço. Fazendo T1 = 75, A1 = 1 500, T2 = 20, A2 = 3 500, T3 = 5 e A3 = 5 000, as razões entre as movimentações e os espaços para as três classes de produtos são 0,05, 0,0057 e 0,001. Com c = 20 ft, a distância média percorrida para as três classes é de 3 677,49 ft/hora.

Para estabelecer um limite superior para o espaço necessário em armazenagem aleatória resultar na mesma distância média percorrida em armazenagem dedicada das três classes de produtos, faz-se a distância média percorrida por uma classe de produtos de área desconhecida igual à distância média percorrida pelas três classes de produtos. Então, da última equação da entrada anterior, com c = 20 ft, T = 100 por hora e E [R] = 3 677,49 ft/hr,

100 [(4 Ars + 202)½ - 203] / (12 Ars) = 3 677,49

Resolvendo em ordem a Ars por métodos numéricos resulta um valor aproximado de 2 771,86 ft2. Portanto, com base nos resultados obtidos, para um armazém com duas portas do mesmo lado e três classes de produtos com as razões entre as movimentações e o espaço dadas, em comparação com os 10 000 ft2 para a armazenagem dedicada, o espaço necessário para a armazenagem aleatória não pode exceder 27,72% da área do sistema de armazenagem dedicada para se obter o mesmo valor para a distância média percorrida.

FRANCIS, Richard L.; et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

 

Distância média percorrida num armazém com duas portas do mesmo lado


Suponha-se que a região de armazenagem se localiza no primeiro e quarto quadrantes, duas portas (P1 e P2) se localizam ao longo do eixo dos y's separadas pela distância c, a movimentação rectilinear de/para o armazém tem igual probabilidade de ocorrência para cada porta e é necessária uma área de armazenagem A.

Na Figura 1, r é a distância rectilinear desde a intersecção da linha de isocusto com o eixo dos y's à porta mais próxima. A linha de isocusto envolve uma área de

A = r (c + r)

A linha de contorno é um trapézio cuja área é dada por

A = h × (a + b) / 2

onde a é o comprimento da base menor, b o comprimento da base maior e h a altura do trapézio. Assim, a área limitada pela linha de isocusto da Figura 1 pode ser expressa como

r × (c + 2 × r + c) / 2 = r (c + r)

Resolvendo em ordem a r tem-se

0,5 [(4 A + c2)½ - c]

Se um peso de 0,5 for associado a cada porta, a relação entre r e k, o valor da linha de isocusto, é dada por

k = 0,5 r + 0,5 (r + c )

ou

r = k - 0,5 c


Figura 1. Região de armazenagem contínua com duas portas


Substituindo r, na primeira equação, pelo valor de r dado pela última equação, obtém-se

A = (k - 0,5 c) × (k + 0,5 c)

ou

A = k2 - 0,25 c2 = q (k)

Para além disso, resolvendo para k como uma função de A,

k = (A + 0,25 c2)½ = r (A)

e

r (0) = 0,5 c


A distância média percorrida é dada por


Suponha-se que a área de armazenagem delimitada pela linha de isocusto tem 10 000 ft2, que as portas estão separadas por uma distância de 20 ft e são feitas 100 operações de entrada / saída por hora. Para c = 20 ft, T = 100 por hora e A = 10 000 ft2, E [R] = 6 760,25 ft/hora.

FRANCIS, Richard L.; et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

 

Distância média percorrida por dois produtos num armazém com uma porta


Considere-se o exemplo anterior com dois produtos, 1 e 2. As necessidades de espaço são, respectivamente, S1 = 2 500 ft2 e S2 = 2 400 ft2. As movimentações são, respectivamente, T1 = 100 e T2 = 50 por dia. As áreas de armazenagem dos dois produtos num espaço com uma única porta são ilustradas na Figura 1.


Figura 1. Armazenagem de dois produtos numa área com uma única porta


Por extensão dos resultados para um único produto, a distância média percorrida é dada por

onde T1 e T2 são os valores das movimentações dos produtos 1 e 2, respectivamente.

Os limites do segundo integral resultam da linha de isocusto que limita a região do produto 2 tomar os valores expressos em termos da área total de armazenagem envolvida. Desta forma, as linhas de contorno para o produto 2 variam em valor desde o máximo para o produto 1 até um valor que coincide com a envolvente das áreas conjuntas dos dois produtos. Assim sendo,


FRANCIS, Richard L.; et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

 

Cálculo da distância média percorrida num armazém


No caso de locais de armazenagem discretos, a distância média percorrida, dentro da zona de armazenagem, pode ser determinada somando as distâncias médias de cada produto. Esta distância pode ser determinada somando as distâncias percorridas de e para todos os locais de armazenagem afectados a um produto, dividindo a soma pelo número de locais afectados ao produto e multiplicando o resultado pelo número médio de movimentações efectuadas por período de tempo, pelo produto. De forma semelhante, no caso de armazenagem contínua, a distância média, para uma região de armazenagem dedicada a um produto, pode ser obtida integrando a região de armazenagem e multiplicando o resultádo pela razão entre o número de movimentações e o espaço afectado ao produto.

Em alternativa à integração sobre toda a região, é possível integrar ao longo das linhas de isocusto que definem a região. Para fazer isso, é necessário desenvolver uma relação funcional entre o valor de uma linha de isocusto e a área que envolve. Para facilitar a descrição da abordagem da «integração pela linha de isocusto», considere-se a Figura 1, envolvendo a utilização de armazenagem aleatória.



Figura 1. Layout de armazenagem contínua


A região de armazenagem é servida por um única porta, localizada na origem; a região de armazenagem está contida no primeiro e quarto quadrantes; supõe-se que as movimentações são rectilineares.

Como se mostra na Figura 1, a linha de isocusto resultante é um triângulo. Escolhendo uma linha de isocusto arbitrária qualquer de valor k, a área envolvida (A) é igual a k2. Portanto,

A = k2 = q (k)

q (k) é a relação funcional entre A e k; especificamente, é a área de um conjunto de nívelde valor k. Mais ainda, invertendo a equação anterior,

k = A½ = r (A)

r (A) é a função inversa que relaciona k com A e determina-se resolvendo q (k) em ordem a k. A função inversa de r (t) pode ser calculada a partir de A = q (r (t)). Por exemplo, q (k) = k2 resulta em A = r (A)2 ou r (A) = A½.

Geralmente, à medida que uma linha de isocusto varia do valor mínimo ao máximo, a área envolvida varia do valor mínimo ao valor A. Neste caso, o valor mínimo da linha de isocusto pode ser obtido a partir da equação anterior, fazendo A igual a zero; o valor máximo pode ser obtido igualando a mesma equação à área de armazenagem a envolver.

No exemplo da Figura 1 a área limitada é de 152 000 ft2. Aplicando a equação k = A½ = r (A), o valor mínimo da linha de isocusto é zero e o valor máximo é 389,8717 ft. Para calcular a distância média percorrida, pode-se usar a seguinte expressão com um integral simples:

onde E[R] é a distância média percorrida na região de armazenagem R, T é o número de «viagens» de e para o armazém por unidade de tempo (i.e., as movimentações), f (X) é a distância média por viagem de ou para o ponto X, e q' (k) é a primeira derivada de q (k) em ordem a k.

Para explicar a equação anterior, note-se que a função distrubição para a distância percorrida é dada por q (k) / A; portanto a função densidade é dada por q' (k) / A para r (0) ≤ kr (A). Portanto a distância média percorrida é como indicado acima.

Para ilustrar o uso da equação anterior no cálculo da distância média percorrida, considere o exemplo da Figura 1. Aplicando a equação anterioir temos:
Portanto, para a movimentação de uma unidade por minuto e uma área de 152 000 ft2, E[R] = 259,9145 ft/min.

FRANCIS, Richard L.; et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

 

Regiões de armazenagem dedicada para dois produtos


Considerem-se dois produtos, 1 e 2. As necessidades de espaço são, respectivamente, S1 = 2 500 ft2 e S2 = 2 400 ft2. As movimentações são, respectivamente, T1 = 100 e T2 = 50 por dia. T1 / S1 = 0,04 e T2 / S2 = 0,021. Como (T1 / S1) > (T2 / S2) o produto 1 é colocado no layout primeiro. Para delimitar a zona ocupada pelo produto 1 é necessário construir uma linha de isocusto que delimite a área de 2 500 ft2. Existe uma única porta, localizada ao longo do eixo y's e a região de armazenagem deve ocupar apenas o primeiro e quarto quadrantes. Então uma região de armazenagem triangular com 100 ft de base e 50 ft de profundidade ou altura é afectada ao produto 1. A união das duas áreas de armazenagem é também limitada por uma linha de isocusto triangular. Como as duas áreas combinadas somam 4 900 ft2, esta área deve ser limitada por uma linha de isocusto triangular com 140 ft de base e 70 ft de altura, como se mostra na Figura 1.



Figura 1. Áreas de armazenagem de produtos com uma única porta


FRANCIS, Richard L.; et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

 

Configuração contínua de armazém


Em várias situações práticas o projecto de layout é para mum armazém já existente. Para ilustrar a abordagem seguida, considere-se um armazém com as dimensões 200 ft × 150 ft com uma única porta localizada como se mostra na Figura 1.



Figura 1. Planta de armazém


É utilizada armazenagem aleatória e o espaço necessário é de 18 000 ou 27 500 ft2. Supõe-se que a probabilidade da movimentação de um artigo entre a porta e qualquer ponto no espaço de armazenagem é a mesma e supõe-se que as deslocações são rectilineares.

Construindo curvas de nível dentro do armazém existente resulta em três famílias diferentes de formas geométricas, cono se mostra na Figura 2.



Figura 2. Linhas de isocusto para um armazém existente


A linha de isocusto de menor valor tem forma triangular e é aplicável a áreas que não excedam 10 000 ft2; o conjunto seguinte de linhas de isocusto aplica-de a áreas entre 10 000 ft2 e 20 000 ft2; e o último conjunto de linhas de isocusto aplica-se a áreas de armazenagem entre 20 000 ft2 e 30 000 ft2.

A área de armazenagem (A) delimitada por uma linha de isocusto pode ser expressa como uma função do valor da linha de isocusto (k) da seguinte forma:



No primeiro caso, a curva de nível tem forma triangular com uma base igual a 2 × k e uma altura de k; a área é k2 com valores de k a variarem de 0 a 100 ft enquanto a área interior varia de 0 a 10 000 ft2.

No segundo caso, começando no ponto onde a linha de isocusto intersecta a parede superior da instalação, a distância da linha de isocusto ao ponto de entrada / saída é a soma de 100 ft percorridos paralelamente ao eixo dos y's e (k - 100) ft percorridos paralelamente ao eixo dos x's. A linha de isocusto varia entre 100 e 150 ft à medida que a ára de armazenagem varia de 10 000 a 20 000 ft2. A forma geométrica da linha de isocusto pode ser representada como a união de um rectângulo de dimensões 200 ft × (k - 100) ft e um triângulo de 200 ft de base e 100 ft de altura. Assim, a área limitada pela linha de isocusto é 200 k - 10 000.

No terceiro caso, a área limitada pela linha de isocusto pode ser obtida simplesmente subtraindo a área exterior à linha de isocusto, da área total do edifício. Cada canto do edifício fora da linha de isocusto tem uma forma triangular de dimensões (250 - k) × (250 - k). Então, a área limitada pela linha de isocusto é igual à área do edifício, 30 000, menos a soma das áreas dos dois cantos, (250 - k)2. As linhas de isocusto variam entre valores de 150 a 250 ft enquanto a área de armazenagem varia de 20 000 a 30 000 ft2.

Fazendo A igual a 18 000 e resolvendo em ordem a k dá um valor de 140 ft (usando a equação A = 200 k - 10 000) e o resultado pode ser observado na Figura 3.



Figura 3. Área de armazenagem de 18 000 ft2


Fazendo A igual a 27 500 e resolvendo em ordem a k dá um valor de 200 ft [usando a equação A = 30 000 - (250 - k2)] e resulta na configuração que pode ser observada na Figura 4.



Figura 4. Área de armazenagem de 27 500 ft2


FRANCIS, Richard L.; et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

 

Dimensionamento de armazém com base nos custos


Suponha-se que só se tem que armazenar um artigo. Defina-se um horizonte de planeamento T = 10 períodos de tempo. O custo fixo actualizado por unidade de capacidade de armazagem que se possui, durante o horizonte de planeamento, C0, é de 20 UM. O valor presente do custo de posse por unidade armazenada no espaço que se possui por período de tempo, C1, é de 1 UM e num espaço alugado, C2, é de 4 UM. As necessidades de espaço, ao longo do horizonte de planeamento, são: 4, 6, 8, 10, 9, 8, 7, 6, 5, e 4 para os períodos de tempo 1 a 10, respectivamente.

As procuras por período e por ordem decrescente, as respectivas frequências e soma cumulativa parcial das frequências estão representadas na Tabela 1. C' = C0 / (C2 - C1) = 20 / (4 - 1) = 6,7 e a soma cumulativa parcial das frequências excede 6,7 para uma procura de 6 unidades.


Tabela 1. Determinação da capacidade óptima de armazém

Procura ordenadaFrequênciaSoma parcial
1011 < 6,7
9
1
2 < 6,7
8
2
4 < 6,7
7
1
5 < 6,7
6
2
7 > 6,7
5
1
8 > 6,7
4
2
10 > 6,7



A capacidade óptima do armazém é, portanto, de 6 unidades. O custo total resultante é:

20 × 6 + 2 × 4 + 5 + 2 × 6 + (6 + 4) + 2 × (6 + 2 × 4) + (6 + 3 × 4) + (6 + 4 × 4) = 223 UM.

Se a capacidade for de 5 unidades o custo total é de 224 UM e se a capacidade for de 7 unidades o custo total é de 228 UM.


Suponha-se agora um horizonte de planeamento T = 50, com C0 = 100 UM, C1 = 4 UM e C2 = 8 UM. As necessidades de espaço são dadas na Tabela 2.


Tabela 2. Necessidades de espaço de armazenagem

Períodos
Espaço necessárioPeríodosEspaço necessário
- paletes -- paletes -
1-5
100
26-30
120
6-10
120
31-35
115
11-15
125
36-40
110
16-20
130
41-45
105
21-25125
46-50
100



Neste caso C' = 100 / (8 - 4) = 25. Na Tabela 3, a soma parcial é igual a 25 quando a procura é igual a 120. Dado que a soma parcial é igual a C', há múltiplas soluções óptimas, nomeadamente, 115 ≤ Q ≤ 120.


Tabela 3. Determinação da capacidade optima de armazém

Procura ordenadaFrequênciaSoma parcial
130
5
5 < 25
125
10
15 < 25
120
10
25 = 25
1155
30 > 25
110
535 > 25



FRANCIS, Richard L. et al. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach, 2.ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1992.

 

SLP de unidade produtiva (II)


A carta de inter-relações para a unidade produtiva é apresentada na Figura 1.


Figura 1. Carta de inter-relações


Com a carta de inter-relações, constrói-se o diagrama de inter-relações. Primeiro, constrói-se o diagrama com as relações do tipo A (Figura 2).


Figura 2. Diagrama com duas relações do tipo A


Em seguida, constrói-se o diagrama com as relações do tipo A e do tipo E (Figura 3), fazendo os rearranjos necessários.


Figura 3. Diagrama com duas relações do tipo A e duas do tipo E


No terceiro passo, constrói-se o diagrama com as relações do tipo A, E e I (Figura 4), fazendo os rearranjos necessários.


Figura 4. Diagrama com duas relações do tipo A, duas do tipo E e 6 do tipo I


No quarto e último passo, é construído o diagrama de inter-relações (Figura 5), fazendo, novamente, os rearranjos necessários.


Figura 5. Diagrama de inter-relações


Com o diagrama de inter-relações com uma disposição dos departamentos satisfatória, desenha-se o diagrama de inter-relações de espaços, tendo em conta os espaços necessários e o espaço disponível que, neste caso, são iguais. O resultado é apresentado na Figura 6.


Figura 6. Diagrama de inter-relações de espaços à escala 1 : 304,8 (1 ft = 1 mm)


Não havendo nenhumas considerações de mudança nos dados, a limitação prática é que para construir uma instalação com os departamentos nesta disposição, é necessário um espaço de 117 × 113 = 13 221 ft2, enquanto a soma das áreas de todos os departamentos é 8 000 ft2. Há um grande desperdício de espaço e um perímetro irregular, sinónimo de custos mais elevados de manutenção. Condicionando a razão entre as dimensões do departamento C a não ser superior a 2, procede-se da seguinte forma:

L × A = 800 ft2

com

L = largura

A = altura

Então, de

2 A × A = 800

obtém-se:

A = 20 ft e L = 800 / 20 = 40 ft

As dimensões dos outros departamentos são determinadas pela seguinte ordem:
  1. C
  2. B
  3. A
  4. D
  5. F
  6. E
Para que os departamentos E e F fiquem com a mesma largura, faz-se:

f = altura do departamento F

e = altura do departamento E

l = largura comum ao dois departamentos

Resolvendo o sistema de equações:

Um layout alternativo é apresentado na Figura 7.


Figura 7. Um layout final


Este layout não deve ser tomado como único, mas sim como uma de várias alternativas de layouts para serem avaliados, posteriormente.

 

SLP de unidade produtiva (I)


A empresa Muitos Produtos Lda. fabrica vários produtos. No processamento requerido pelos produtos estão envolvidos seis departamentos. Na Tabela 1 é apresentado um resumo das sequências de processamento necessárias para os 10 principais produtos e os volumes das produções mensais.


Tabela 1. Sequências e volumes de produção

ProdutoSequência de
processamento
Produção
mensal
1A B C D E F800
2A B C B E D C F1 000
3A B E F600
4A B C E B C F2 000
5A C E F1 500
6A B C D E F400
7A B D E C B F2 000
8A B C B D B E B F2 500
9A B C D F800
10A B D E F1 000



Na Tabela 2 são apresentadas as áreas necessárias para cada departamento.


Tabela 2. Áreas dos departamentos

DepartamentoÁrea
(ft2)
A1 000
B1 200
C800
D1 500
E2 500
F1 500


Com base nos dados da Tabela 1 constrói-se a carta de - para (Tabela 3), somando os valores dos volumes movimentados de uma secção para outra:

DepartamentosMovimentações
A para B
800 + 1 000 + 600 + 2 000 + 400 + 2 000 + 2 500 + 800 + 1 000 = 11 100
B para C
800 + 1 000 + 2 000 + 2 000 + 400 + 2 500 + 800 = 9 500
B para D
2 000 + 2 500 + 1 000 = 5 500
B para E
1 000 + 600 + 2 500 = 4 100
B para F
2 000 + 2 500 = 4 500
C para B
1 000 + 2 000 + 2 500 = 5 500
C para D
800 + 400 + 800 = 2 000
C para E
2 000 + 1 500 = 3 500
C para F
1 000 + 2 000 = 3 000
D para E
800 + 400 + 2 000 + 1 000 = 4 200
E para B
2 000 + 2 500 = 4 500
E para F800 + 600 + 1 500 + 400 = 3 300


Tabela 3. Carta de - para

de - paraABCDEF
A
11 1001 500



B


9 500
5 500
4 100
4 500
C

5 500

2 000
3 500
3 000
D

2 500
1 000

4 200
800
E

4 500
2 000
1 000

3 300
F








A partir da carta de - para, resume-se a informação numa carta de movimentações entre os departamentos, apresentada na Figura 1.


Figura 1. Tabela de movimentações entre departamentos


Com a tabela de movimentações construída, classifica-se a intensidade do fluxo entre os departamentos em cinco classes; A, E, I, O, U por ordem decrescente de importância (Figura 2):



Figura 2. Classificação do fluxo


Com o fluxo classificado por intensidade, pode-se, então, construir a carta de inter-relações.

 

Selecção do tipo de layout por análise do ponto de equilíbrio


A Task Masters Lda. fabrica produtos para segurança. A gestão está a considerar a opção de construir um novo edifício para satisfazer o que parce ser um aumento sustentado da procura de algemas em algumas cidades grandes. A gestão tem que optar entre comprar as algemas a outra empresa e usar o novo edifício para testes de controlo de qualidade, pintura do logotipo da empresa, embalagem e similares; ou usar o novo edifício para produção com um layout do tipo produto ou processo.

Para ajudar na decisão, foi recolhida a seguinte informação



AlternativasCustos fixosCusto unitário*

- UM / ano -- UM -
Comprar50 00010
Produção com layout tipo processo75 0007
Produção com layout tipo produto110 0004

* Linear até às 50 000 unidades por ano, o valor máximo previsto para a procura


Para resolver este problema, começa-se por determinar as equações que exprimem o custo total (yi) de cada alternativa (i), em função da quantidade produzida (x):

y1 = 50 000 + 10 x
y2 = 75 000 + 7 x
y3 = 110 000 + 4 x

Onde 1 é a alternativa de comprar; 2, produzir com um layout tipo processo; e 3, produzir com um layout tipo produto.

As três equações acima podem ser representadas graficamente, como se mostra na Figura 1. dado que os menores custos se encontram nos segmentos de recta mais baixos, os pontos de equilíbrio são na intersecção das equações de y1 com y2 e y2 com y3.


Figura 1. Relação entre o custo e a quantidade produzida anualmente para os layouts alternativos
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)


O valor de x na intersecção entre y1 e y2 pode ser obtido resolvendo a equação

50 000 + 10 x = 75 000 + 7 x

de onde x = 8 33(3) unidades / ano

O valor de x na intersecção entre y2 e y3 é dado por

75 000 + 7 x = 110 000 + 4 x

portanto, x = 11 66(6) unidades / ano.

Pode, então, concluir-se que para:

x ≤ 8 33(3) unidades / ano, a alternativa de menor custo é comprar a outra empresa; para

8 33(3) ≤ x ≤ 11 66(6) unidades / ano, produção com um layout tipo processo; e para

x ≥ 11 66(6) unidades / ano, produção com um layout tipo produto.

OLSEN, Robert A. - Manufacturing Management: A Quantitative Approach, Scranton, PA, International Textbook, 1968, p. 314.

 

Planeamento do layout de armazém


As distâncias podem ser minimizadas guardando os artigos em áreas de armazenagem em profundidade e posicionando os materiais de forma a minimizar a distância total percorrida. Conforme é ilustrado na Figura 1, armazenando os artigos em áreas de armazenagem em profundidade, a distância percorrida será menor do que se os materiais forem armazenados em áreas sem profundidade.


Figura 1. Impacte da armazenagem em profundidade na distância percorrida
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)


A centralização das operações de recepção e expedição, também tem influência nos custos de operação do armazém, como se pode observar na Figura 2.



Figura 2. Impacte da centralização da recepção/expedição
conjugada com a armazenagem dedicada por classes
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)


TOMPKINS, James A.; WHITE, John A. - Facilities Planning, Nova Iorque, John Wiley & Sons, 1984.

 

Layout óptimo com armazenagem dedicada


Considere-se um armazém cuja planta é ilustrada na Figura 1.



Figura 1. Planta de um armazém


Os locais para armazenagem têm dimensões de 20 × 20 pés. As portas P1 e P2 são para camiões e as portas P3 e P4 são para vagões de caminho de ferro. É usada armazenagem dedicada. Sessenta por cento de todas as movimentações do armazém são feitas pelas portas P1 e P2, tendo cada porta a mesma probabilidade de ser usada. Quarenta por cento de todas as movimentações do armazém são divididas igualmente pelas portas P3 e P4.

Neste armazém vão ser armazenados três produtos, A, B e C, com um único tipo de produto armazenado no mesmo local. O produto A necessita de 3 600 pés2 de espaço de armazenagem e é movimentado à taxa de 750 unidades de carga por mês; o produto B necessita de 6 400 pés2 de espaço de armazenagem e é movimentado à taxa de 900 unidades de carga por mês; o produto C necessita de 4 000 pés2 e é movimentado à taxa de 800 unidades de carga por mês.

A distância apropriada é a rectilinear, medida entre as portas e os centróides dos locais de armazenagem. Os valores de fk (distância média do local de armazenagem k às portas) estão apresentados na Figura 2. Para exemplificar o cálculo de um fk, suponha-se que k = 29. Medindo as distâncias rectilineares do centróide do local de armazenagem 29 a cada uma das quatro portas tem-se d1, 29 = 120, d2, 29 = 100, d3, 29 = 100 e d4, 29 = 80. Então,

f29 = 0,3 (120) + 0,3 (100) + 0,2 (100) + 0,2 (80) = 102




Figura 2. Distância média de cada local de armazenagem k às portas


O número de locais de armazenagem necessário para cada produto é SA = 3 600 / 400 = 9, SB = 16 e SC = 10. Os valores de Tj são TA = 750, TB = 900, TC = 800. Portanto, os valores de Tj / Sj são TA / SA = 83 1/3, TB / SB = 56,25 e TC / SC = 80. Então os produtos são numerados 1(A), 2(C) e 3(B).

O produto 1(A) necessita de 9 locais de armazenagem; então, os locais de armazenagem afectados ao produto A são [17, 18, 19, 9, 25, 20, 10, 26, 21]. O produto 2(C) necessita de 10 locais de armazenagem; então, [11, 27, 22, 12, 28, 23, 13, 29, 24, 1] são afectados ao produto C. O produto 3(B) necessita de 16 locais de armazenagem; então, o produto B é afectado aos locais de armazenagem [14, 30, 33, 2, 15, 31, 34, 3, 16, 32, 35, 4, 36, 5, 37, 6]. Os locais 7, 8, 38, 39 e 40 ficam disponíveis para armazenar equipamento, sanitários, escritórios e outros.

Um layout que minimiza a distância média percorrida por unidade de tempo é mostrado na Figura 3. É importante salientar que o layout apresentado não é o único que minimiza a distância média percorrida por unidade de tempo, nem necessariamente o layout final. Nada mais foi considerado, para além da distância média percorrida; a utilização desta abordagem da armazenagem dedicada deve ser examinada em cada aplicação em particular. No entanto, o layout serve de base para a avaliação de outras configurações.




Figura 3. Layout que minimiza a distância média percorrida por unidade de tempo



TOMPKINS, James A.; WHITE, John A. - Facilities Planning, Nova Iorque, John Wiley & Sons, 1984.

 

Afectação de produtos a locais de armazenagem dedicada


A configuração óptima dos produtos em armazenagem dedicada envolve a afectação dos produtos aos locais de armazenagem. As distâncias rectilineares são consideradas apropriadas e é usada a seguinte notação:

q=número de locais de armazenagem
n=número de produtos
m=número de locais de entrada/saída (cais e/ou portas)
Sj=número de locais de armazenagem necessários para o produto j
Tj=número de entradas e saídas do armazém do produto j, isto é, as movimentações do produto j
pi=percentagem das entradas/saídas do armazém pelo ponto de entrada/saída i
dik=distância (ou tempo) que é necessário percorrer do ponto i ao local de armazenagem k
xjk=1 se o produto j é afectado ao local de armazenagem k; caso contrário, 0
f(x)=distância (ou tempo) média percorrida

O problema do layout do armazém pode ser formulado da seguinte forma:

Minimizar

sujeito a:

Supõe-se que cada artigo tem igual probabilidade de se movimentar entre o ponto de entrada/saída ou porta i e qualquer local de armazenagem afectado ao artigo j. Portanto, o valor de (1 / Sj) é a probabilidade de um local de armazenagem em particular afectado ao produto j ser escolhido para a movimentação de saída/entrada por uma porta. Fazendo


onde fk é a distância média percorrida entre o local de armazenagem k e as portas.

Para minimizar a distância média total percorrida, procede-se do seguinte modo:
  1. Numerar os produtos de acordo com o valor de Tj / Sj, de forma que


  2. Calcular os valores de fk para todos os locais de armazenagem.

  3. Afectar o produto 1 aos S1 locais de armazenagem que têm os menores valores de fk; afectar o produto 2 aos S2 locais de armazenagem que têm os menores valores de fk seguintes e assim sucessivamente.
TOMPKINS, James A.; WHITE, John A. - Facilities Planning, Nova Iorque, John Wiley & Sons, 1984.

 

Armazenagem aleatória vs dedicada


Para ilustar o efeito do método de armazenagem nas necessidades de espaço, suponha-se que seis produtos são recebidos num armazém. As existências de cada um dos produtos no final de cada período são as apresentadas na Tabela 1. O valor agregado das existências obtém-se somando as existências dos seis produtos.


Tabela 1 - Existências de seis produtos em armazém, expressos em paletes de produto


Produtos



Período12 3456Agregado

12412214111273
22298810966
3206649651
41834248360
51636220724105
6143381662198
7123061251883
810274841568
98242431253
106218242970
114186201655
1221541624364
132412212232497
1422988222190
1520664211370
16133424201579
1716362201912105
18143381613993
19123061217683
2010274816368
2182424152477
22621824142194
23418620131879
24215416121564

Soma dos níveis máximos de existências individuais
Nível máximo do valor agregado das existências
Nível médio do valor agregado das existências
Nível mínimo do valor agregado das existências
= 140
= 105
= 77,5
= 51



Os níveis máximos das existências de cada um dos seis produtos são:
Com armazenagem dedicada o espaço necessário é igual à soma dos valoes máximos das existências de todos os produtos, ou seja espaço para 140 paletes. Com armazenagem aleatória o espaço necessário é igual ao máximo do valor agregado das existências. isto é, espaço para 105 paletes. Neste exemplo, a armazenagem dedicada necessita de mais um terço do espaço necessário com armazenagem aleatória.

TOMPKINS, James A.; WHITE, John A. - Facilities Planning, Nova Iorque, John Wiley & Sons, 1984.

sexta-feira, junho 09, 2006

 

Filas de espera (M/M/1): sensibilidade a μ


Um armazém de um hipermercado recebe camiões com encomendas que são descarregados usando empilhadoras. Um levantamento de dados realizado no local permitiu concluir que os camiões chegam seguindo uma distribuição de Poisson, a uma taxa de 16 camiões / dia; os tempos de descarga seguem uma distribuição Exponencial Negativa, com médias que dependem do número de empilhadoras utilizadas:



N.º de empilhadorasTempo de descarga
 (1 / µ)

 --- minutos ---
150
220
315
412
510



A operação das empilhadoras tem um custo de 15 UM / hora e a imobilização dos camiões acarreta um encargo de 30 UM / hora.

1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/1, com λ = 2 camiões / hora.

A taxa de serviço ou taxa de descarga (µ) vai depender da decisão tomada sobre o número de empilhadoras.

2) Verificação da condição de equilíbrio: λ / µ < 1 ⇒ µ > 2 ⇒ Número de empilhadoras ≥ 2

Com uma empilhadora, a taxa de descarga é inferior à taxa de chegada, o que leva ao crescimento ilimitado da fila, nunca se atingindo o estado de equilíbrio.

Com duas ou mais empilhadoras, a condição de equilíbrio (ρ < 1) é satisfeita, permitindo determinar todas as medidas de desempenho para o modelo M / M / 1.

Operando com várias empilhadoras, a fila permanece sempre única, com apenas 1 servidor, devido ao facto das várias empilhadoras descarregam simultaneamente o mesmo camião, traduzindo-se num aumento da velocidade de descarga (aumento de velocidade do servidor ou taxa de serviço, µ).

Na tabela seguinte são indicados, para cada número de empilhadoras, o tempo médio de descarga dado (1 / µ), a taxa de serviço (µ), a taxa de ocupação (ρ = λ / μ), o tempo que, em média, os camiões permanecem no sistema (W) e o número médio de camiões no sistema (L = λ × W)



N.º de empilhadorasTempo médio de descargaTaxa de serviçoTaxa de ocupaçãoTempo médio no sistema por camiãoNúmero médio de camiões no sistema
(n)(1 / µ)(µ)(λ / µ)(W)(L = λ × W)

- minutos -- camiões por hora -- horas -- camiões -
1501,201,67
2203,000,671,002,00
3154,000,500,501,00
4125,000,400,330,67
5106,000,330,250,50



Para minimizar os custos do sistema, há que determinar o custo de imobilização dos camiões e o custo do serviço, directamente proporcional ao número de empilhadoras utilizadas na descarga.

Na tabela seguinte apresenta-se o custo total em função do número de empilhadoras, permitindo concluir que o custo mínimo, de 75 UM / hora, corresponde a três empilhadoras.



N.º de empilhadorasCusto de imobilização dos camiõesCusto das empilhadorasCusto total
(n)(30 λ w)(15 n)

-------------- UM / hora -------------
1---
2603090
3304575
4206080
5157590


 

Filas de espera (M/M/S): funcionamento de cais de armazém


Caso de aplicação

Ao cais de um hipermercado com três docas, chegam camiões com uma distribuição de Poisson a uma taxa de 20 veículos por dia de oito horas. O tempo de carga ou descarga do camião segue uma distribuição exponencial com média de 40 minutos.

1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/3, com taxa de chegadas, λ = 20 veiculos / dia = 2,5 veiculos / hora e taxa de serviço (µ)= 60 / 40 = 1,5 veiculos / hora.

2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / S µ = 2,5 / (3 × 1,5) = 5 / 9 < 1.

As três docas têm, portanto, capacidade para os camiões que se dirigem ao armazém do hipermercado.

Medidas de desempenho

1) Intensidade do tráfego (λ / µ) =
= λ / µ = 2,5 / 1,5 = 5 /3

2) Taxa de ocupação (ρ)=
Taxa média de ocupação do sistema =
Taxa média de ocupação do servidor =
Factor de ocupação do sistema =
ρ = λ / S µ = 2,5 / (3 × 1,5) = 5 / 9

3) Taxa de desocupação (1 - ρ) =
= 1 - ρ = 4 / 9

4) Número médio de camiões no sistema (L) =
L = 2 camiões

5) Número médio de camiões à espera (Lq) =
Lq = 0,4 camiões

6) Tempo médio no sistema (W) =
W = 0,8 horas = 49 minutos

7) Tempo médio à espera (Wq) =
Wq = 0,15 horas = 9 minutos

8) Número médio de camiões a serem servidos (L3) =
Número médio de cais ocupados (Lb) =
L3 = 5 / 3 camiões
Lb = 5 / 3 cais

9) Probabilidade de não existir nenhum camião no sistema (P0) =
P0 = 17 %

10) Probabilidade de existir algum camião no sistema (P {n > 0}) =
= 1 - P0 = 83 %

11) Probabilidade de ter que esperar (Pw) =
Probabilidade do sistema estar ocupado (Pb) =
Probabilidade de todos os servidores estarem ocupados =
Pw = Pb = 30 %

12) Probabilidade de não ter que esperar (1 - Pw) =
Probabilidade de um servidor estar desocupado (1 - Pb) =
1 - Pw = 1 - Pb = 70 %

13) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n3) estarem ocupados =
Probabilidade de haver n camiões (0 ≤ n3) no sistema =

n0123
Pn0,17270,28780,23980,1332


14) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n3) estarem desocupados =
Probabilidade de haver (3 - n) camiões (0 ≤ n3) no sistema =

n3210
3 - n0123
Pn0,17270,28780,23980,1332


15) Número médio de camiões à espera, quando o sistema está ocupado (Lb) =
Lb = 1,25 camiões

16) Número médio de camiões à espera, quando há pelo menos um (Lq | q > 0) =
Lq | q > 0 = 2,25 camiões

17) Tempo médio à espera, quando o sistema está ocupado (Wb) =
Tempo médio à espera, quando se tem de esperar =
Wb = 0,5 horas

18) Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, n camiões no sistema (Pn)

19) Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) camiões no sistema (P {Nn})

20) Probabilidade de haver mais de n camiões no sistema ((P {N > n}) =
1 - Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) camiões no sistema =
1 - (P {Nn})
Probabilidade de haver pelo menos n + 1 (n + 1 ou mais) camiões no sistema (P {Nn + 1})

21) Probabilidade de haver pelo menos n (n ou mais) camiões no sistema (P {Nn})



nPnP {Nn}P {Nn}qPqP {Qq}P {Qq}
(18)(19)(21)(23)(24)(25)

00,170,171,00
10,290,460,83
20,240,700,54
30,130,830,3000,130,830,30
40,070,910,1710,070,910,17
50,040,950,0920,040,950,09
60,020,970,0530,020,970,05
70,010,980,0340,010,980,03
80,010,990,0250,010,990,02
90,001,000,0160,001,000,01
100,001,000,0070,001,000,00



22) Probabilidade de haver n camiões a serem servidos =
Pn, para 0 ≤ n < S
PS = 1 - ∑(S - 1)Pn, para n = S

n0123
Pn0,170,290,240,30


23) Probabilidade de haver 3 camiões a serem servidos e q na fila =
Probabilidade de haver 0, 1, 2, 3,…, q camiões na fila (P {Q = q}) =
P3, para q = 0
Pq + 1, para q = 1, 2, 3,…

24) Probabilidade de não haver mais de q (q ou menos) camiões na fila (P {Qq})

25)Probabilidade de haver pelo menos q (q ou mais) camiões na fila (P {Qq})


Na figura seguinte podem ver-se algumas das medidas de desempenho do problema acima, determinadas numa folha de cálculo pré-programada (McClain, 2003).


(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

 

Localização minisoma de centro de distribuição / hipermercado: distâncias Euclideanas ao quadrado, linhas de isocusto


Pelas razões indicadas anteriormente para o problema rectilinear, são de interesse as curvas de nível do problema gravitacional. As curvas de nível do problema gravitacional podem ser obtidas muito facilmente. Considere-se as curvas de nível dadas na Figura 1 para dois casos simples do problema gravitacional. No primeiro caso existe uma instalação. No segundo caso existe igual movimento de artigos entre a instalação nova e cada uma de duas instalações existentes. Consequentemente, é fácil de ver que as curvas de nível serão circunferências concêntricas centradas na localização óptima.


Figura 1.


Agora, como é que se pensa que as curvas de nível serão quando se tem um número qualquer de instalações existentes com movimentação de artigos desigual? Se se suspeitou que as curvas de nível serão ainda circunferências concêntricas centradas na localização óptima, essa intuição é notável, pois é esse o caso. Para se ver porque isto é verdade, note-se que de expressão da função objectivo se quer determinar o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que

k = ∑ wi [(x - ai)2 + (y - bi)2]

onde k é uma constante. Consequentemente, expandindo os termos quadrados determina-se que

k = x2wi – 2 xwi ai + ∑ wi ai2 + y2wi - 2 ywi bi + ∑ wi bi2

Se se fizer

W = ∑ wi

dividindo a equação anterior por W, e empregando as expressões de x* e y*, determina-se que

k / W = x2 - 2 x x* + ∑ (wi ai2) / W + y2 - 2 y y* + ∑ (wi bi2) / W

Adicionando (x*)2 e (y*)2 a ambos os lados da equação anterior e simplificando, obtém-se a equação de uma circunferência,

r2 = (xx*)2 + (yy*)2

centrada no ponto (x*, y*) com raio

r = [k / W + (x*)2 + (y*)2 - ∑ wi (ai2 + bi2) / W]1/2

Este é um resultado interessante e não intuitivo. Com base neste resultado, se não se puder localizar a nova instalação na localização óptima (x*, y*) e se tiver que avaliar locais alternativos, deve-se sempre escolher aquele que está a menor distância em linha recta do ponto (x*, y*).

Para o caso considerado anteriormente, tem-se:

r2 = (x – 4,76)2 + (y – 3,88)2

com

r = [k / 25 + (4,76)2 + (3,88)2 – 49,92]1/2

ou

r = [k / 25 -12,21]1/2, para k > 305,2 (o valor óptimo da função objectivo).

FRANCIS, Richard L.; WHITE, John A. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach. Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1974.

 

Filas de espera: M/M/S vs S sistemas M/M/1


No caso do talho/charcutaria do hipermercado, considere-se as seguintes alternativas:

A. Uma senha (fila única) e duas empregadas, ou seja, um sistema com dois servidores.

B. Duas senhas (duas filas) e uma empregada para cada senha, isto é, dois sistemas de um servidor. Neste caso supôe-se que os clientes se dividem igualmente pelos dois sistemas, portanto λB = λA / 2.



Medidas deM/M/22 × M/M/1
desempenhoλA = 0,5 cl. / min.λB = 0,25 cl. / min.

L (clientes)0,871,2 (= 2 × 0,6)
Lq (clientes)0,120,45 (= 2 × 0,225)
W (minutos)1,752,4
Wq (minutos)0,250,9



Com um sistema de dois servidores (alternativa A) verifica-se uma redução substancial nas quatro medidas de desempenho, em relação a dois sistemas, cada um com a sua fila.

Sempre que possível, é preferível ter um sistema com múltiplos servidores e uma fila única, do que ter o mesmo número de servidores, cada um a atender uma fila.

As duas alternativas têm os mesmos custos (não contando o custo e manutenção de uma máquina de senhas), mas grandes diferenças na previsível satisfação dos clientes. Os clientes, em geral, dão mais importância, pela negativa, ao tempo que permanecem na fila à espera.

 

Filas de espera (M/G/1): variabilidade do serviço


A variabilidade do serviço tem um efeito importante nas medidas de desempenho do sistema, para além da velocidade média do servidor. Compare-se o desempenho de três sistemas com variâncias do tempo de serviço crescentes.



Medidas deσ2 = 0σ2 = 2,25σ2 = (2,25)2
desempenho(M/D/1)(M/M/1) 

ρ0,750,750,75
P00,250,250,25
L (clientes)1,87534,4
Lq (clientes)1,1252,253,66
W (minutos)3,7568,8
Wq (minutos)2,254,57,3
Lb (clientes)1,534,875
Wb (minutos)369,75



O número médio de clientes no sistema (L), na fila (Lq), na fila, quando o sistema está ocupado (Lb), o tempo no sistema (W), na fila (Wq) e na fila, quando o sistema está ocupado (Wb), aumentam (linearmente) com a variância, e só dependem da taxa de chegadas, intensidade de tráfego e variância do serviço.

A variabilidade do servidor tem um efeito importante nas medidas de desempenho do sistema, para além da velocidade média do servidor.

Considerando a variância nula (M/D/1), o tamanho médio da fila (Lq), número médio de clientes na fila, quando o sistema está ocupado (Lb), o tempo médio na fila (Wq) e na fila, quando o sistema está ocupado (Wb), são exactamente metade dos valores para M/M/1.

Diminuir a variância pode, portanto, melhorar significativamente as medidas de desempenho do sistema.

quinta-feira, junho 08, 2006

 

A falta de dados para abordagens analíticas de localização


Na resolução de problemas de localização, supôs-se que certos dados estão disponíveis. Concretamente, os valores de (ai, bi) e wi de cada instalação existente são supostos serem conhecidos. Nalguns casos, estes valores podem mudar ao longo do tempo. Noutros, os valores podem não ser conhecidos de todo. Se os valores mudam ao longo do tempo, pode-se estar interessado em minimizar o valor anual equivalente do custo das movimentações. Se os valores de (ai, bi) e wi não são conhecidos, sugere-se que sejam feitas diferentes estimativas desses valores e que o problema de localização seja resolvido para cada combinação de estimativas. Com base nas soluções obtidas e curvas de nível associadas, pode-se escolher a localização que melhor satisfaz os objectivos do problema em particular.

Muitas vezes, as abordagens analíticas não são usadas por causa da «falta de dados precisos». Esta é uma desculpa muito fraca por pelo menos duas razões. Primeiro, os modelos são, normalmente, bastante insensíveis a erros na estimativa dos valores dos parâmetros do modelo. Segundo, qual a abordagem alternativa que vai ser utilizada para tomar uma decisão? Sem dúvida, a abordagem alternativa baseia-se (pelo menos implicitamente) nas estimativas subjectivas dos valores dos parâmetros. Se é esse o caso, porque não explicitar essas estimativas e usar o modelo?

Se ainda não se quer atribuir valores aos parâmetros e, mesmo assim, é tomada uma decisão sobre a localização da nova instalação, então podem imputar-se valores ou intervalos de valores aos parâmetros. Para exemplificar, suponha-se que as suposições do problema gravitacional são satisfeitas e que existem três instalações localizadas em P1 = (0, 0), P2 = (2, 6) e P3 = (8, 4). Se for dito que não é possível estimar os valores de wi, mas que foi decidido localizar a nova instalação em (4, 4). Do que foi exposto anteriormente, para (x*, y*) ser igual a (4, 4) tem que ser verdade que

4 = 0 w1 + 2 w2 + 8 w3

4 = 0 w1 + 6 w2 + 4 w3

onde a escala de tempo foi escolhida de tal maneira que

1 = w1 + w2 + 4 w3

Consequentemente, tem-se um sistema de três equações com três incógnitas, que pode ser resolvido para se obter:

w1 = 0,2

w2 = 0,4

w3 = 0,4

Pode-se agora perguntar, «Espera-se ter, realmente, para a segunda instalação existente, duas vezes mais movimentações do que para a primeira e a mesma quantidade de movimentações entre a nova instalação e a segunda e terceira instalações existentes?» Se a resposta é «Não!», então devem ser especificados valores que são razoáveis para o problema de localização em causa. Podem ser seguidas abordagens semelhantes quando os modelos rectilineares e Euclideanos são apropriados. A análise, no entanto, não é tão simples como para o problema gravitacional.

FRANCIS, Richard L.; WHITE, John A. - Facility Layout and Location: An Analytical Approach. Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1974.

 

Localização de uma instalação linear


Neste caso, pretende-se localizar um tapete transportador num centro de distribuição onde serve n pontos de carga e/ou descarga com um peso associado, positivo.

O problema é localizar o tapete x2 = A* + S* x1, tal que a soma das distâncias ponderadas perpendiculares ao tapete (o custo total do sistema) seja minimizada.

A distância perpendicular dos pontos de carga e/ou descarga (aj 1, aj 2) ao tapete é:

|A - (aj 2 - S aj 1)| / (S2 + 1)1/2

o que implica o problema de localização:

minimizar P (A, S) = ∑ [wj |A - (aj 2 - S aj 1| / (S2 + 1)1/2]

Duas simplificações, são sugeridas:

1) A localização óptima do tapete tem que passar, no mínimo, por dois pontos de carga e/ou descarga. Neste caso pode ser seguida uma abordagem simples de busca. Calculam-se, simplesmente, as intersecções A e declives S das n (n - 1) / 2 linhas que passam por todos os pares de pontos, calcula-se o valor da função objectivo e escolhe-se a localização óptima do tapete.

2) O algoritmo de resolução pode ser visto como rodando o tapete, usando ponto pivot após ponto pivot tais que a localização do tapete continue a ser mediana. Isto é fácil de fazer graficamente, para problemas pequenos.


Suponha-se que existem quatro pontos de carga e/ou descarga cujas coordenadas e pesos, wi, são dados na Tabela 1.


Tabela 1. Parâmetros do problema

jwiaj 1aj 2

1215
2144
3166
4134



A Figura 1 ilustra o procedimento de rotação. Começando com o tapete horizontal, ele tem que passar pelo ponto 1 para dividir os pesos por dois. Esta localização, contudo, intercepta apenas um ponto e não pode ser óptima. Roda-se, portanto, o tapete no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio com o ponto 1 como pivot até se obter a localização #1 da Figura 1. Para esta localização continuar mediana, o ponto 3 torna-se o pivot até que a localização #2 é produzida. Depois, o ponto 4 torna-se o pivot até que a localização #3 é produzida. O ponto 1 torna-se então o pivot para se criar a localização #4. Continua então a ser o pivot até o tapete estar de novo horizontal. Só quatro localizações precisam de ser avaliadas. Os índices dos pares de pontos de carga e/ou descarga são (1, 2), (1, 3), (1, 4) e (3,4). A Tabela 2 mostra as intercepções, (A), declive, (S), e o custo destas localizações. A localização que passa pelos pontos a1 e a2 é a óptima.


Figura 1. Localizações candidatas


Tabela 2. Avaliação das localizações candidatas

ParASP (A, S)

(1, 2)16 / 3- 1 / 32,846
(1, 3)24 / 51 / 52,942
(1, 4)11 / 2- 1 / 23,578
3 / 422 / 34,438



LOVE, R. F. et al. - Facilities Location: Models and Methods. Nova Iorque, North-Holland, 1988.

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