Logística 2006

O funcionamento de uma caixa registadora num hipermercado pode ser modelado, numa primeira abordagem, como um sistema M/M/1, um modelo teórico com uma fila de espera e um servidor. As outras secções, que funcionam dentro de um hipermercado, como lojas independentes, com um único empregado ao balcão, a atender os clientes, podem, também, ser modeladas, cada uma delas, como um sistema M/M/1.

A estrutura básica de um sistema M/M/1 é a seguinte:

(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)
onde:

Fonte de Entrada – modela o processo de chegada dos clientes (M/M/1 = Poisson);
Fila – modela o lugar onde os clientes aguardam pelo serviço;
Disciplina da Fila – critério para escolher a ordem pela qual os clientes na fila são atendidos (M/M/1 = o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido, FIFO);
Mecanismo de Atendimento – ou Serviço, modela o sistema de atendimento dos clientes (M/M/1 = um servidor).

No estado estacionário, um sistema M/M/1 pode ser analisado utilizando as relações matemáticas que se seguem.



Características do modelo M/M/1

Chegadas com distribuição de Poisson;
Taxa = λ clientes / u. tempo; População = ∞; Fila máxima = ∞.

Tempo de atendimento com distribuição Exponencial negativa;
Taxa = μ clientes / u. tempo, (por servidor); Servidores = 1.

Condição de equilíbrio: λ / μ = ρ < 1
Taxa de ocupação = ρ; Taxa de desocupação = 1 - ρ

L = λ / (μ - λ) = ρ / (1 - ρ) = L_q + (λ / μ) = L_q + ρ

L_q = λ² / μ (μ - λ) = ρ² / (1 - ρ)

W = 1 / (μ - λ) = L / λ = W_q + (1 / μ)

W_q = λ / μ (μ - λ) = L_q / λ


P₀ = 1 - ρ (taxa de desocupação)

P_n = ρⁿ P₀, para n = 1, 2, 3, ...

P {n > k} = ρ^{k + 1}


P {W > t} = e^{-(μ - λ) t} = e^{-μ (1 - ρ) t}, t ≥ 0

P {W_q > t} = ρ e^{-(μ - λ) t} = ρ e^{-μ (1 - ρ) t}, t ≥ 0

P {W_q = 0} = P₀

BRONSON, R.; NAADIMUTHU, G. – Investigação Operacional. 2.ª ed., Lisboa, McGraw-Hill, 2001.

TAVARES, L. V., et al.,– Investigação Operacional. Lisboa, McGraw-Hill, 1996.