Logística 2006

Num hipermercado, a certas horas do dia, os clientes dirigem-se a uma caixa registadora, para pagar as compras, com uma distribuição de Poisson, a uma taxa média de um de dois em dois minutos. A empregada da caixa atende os clientes por ordem de chegada (FIFO). Dado o tempo gasto a fazer as compras, os clientes estão dispostos a esperar para serem atendidos, se for necessário. O tempo de atendimento de cada cliente é, em média, 1,5 minutos, distribuído exponencialmente. Na caixa registadora, as taxas de chegada e atendimento não variam com o número de clientes na fila (estado do sistema) e existe apenas uma fila e um servidor.

1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/1, com taxa de chegadas λ = 0,5 clientes / minuto e tempo médio de serviço (1 / μ) = 1,5 minutos.

2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / μ = 0,5 × 1,5 = 0,75 < 1.
A empregada tem, portanto, capacidade para atender os clientes que se dirigem à caixa para pagar as compras. O sistema poderá atingir o estado estacionário, se as condições dadas se mantiverem por tempo suficiente. A fila de espera não cresce indefinidamente, mas varia de tamanho ao longo do tempo.

Resultados decorrentes da distribuição das chegadas

Como o modelo M/M1 pressupõe que a distribuição de probabilidade do número de chegadas n em qualquer intervalo de tempo t é Poisson, tem-se:

P {n chegadas num intervalo de tempo t} = (λ t)ⁿ e ^{-λ t} / n! para n = 0, 1, 2, ...
com média e variância = λ t.

Então, com λ = 0,5 clientes / minuto = 30 clientes / h,

1) probabilidade de n clientes se dirigirem à caixa para pagar, num período de tempo t,
P {X(t) = n} = (λ t)ⁿ e ^{- λ t} / n!

n	t (min)	1	2	3	4	5	10
0	P {X(t) = 0} = e - λ t	0,61	0,37	0,22	0,14	0,08	0,01
1	P {X(t) = 1} = λ t e - λ t	0,30	0,37	0,33	0,27	0,21	0,03

2) valor esperado ou médio, E {n | t} = λ t, e desvio padrão, σ {n | t} = (λ t)^½, do número clientes n que se dirigem à caixa para pagarem num intervalo de tempo t,

t (min)	5	10	15	20	30
E {n | t} = λ t	2,5	5	7,5	10	15
σ {n | t} = (λ t)½	1,58	2,24	2,74	3,16	3,87

t (h)	2	3	4	7	8
E {n | t} = λ t	60	90	120	210	240
σ {n | t} = (λ t)½	7,75	9,49	10,95	14,49	15,49

Raramente a taxa de chagadas dos clientes se manterá constante durante um intervalo de tempo de várias horas.

Atendendo a que se a distribuição de probabilidade do número de chegadas n em qualquer intervalo de tempo t é Poisson, a distribuição de probabilidade do tempo T entre duas chegadas consecutivas é Exponencial negativa. Então, para t ≥ 0,

3) P {tempo entre chegadas, T, não exceder t} = P {T ≤ t} = 1 - e ^{- λ t}
P {tempo entre chegadas, T, ser maior do que t} = P {T > t} = e ^{- λ t}
com média E (T) = 1 / λ e variância Var (T) = 1 / λ².

Assim, com λ = 0,5 clientes / minuto = 30 clientes / h:

E (T) = 2 min = (1/3) 10^-1 h
Var (T) = 4 min² = (1/9) 10^-2 h²
σ (T) = 2 min = (1/3) 10^-1 h

e

t (min)	1	2	3	4	5	10
P {T ≤ t} = 1 - e - λ t	0,39	0,63	0,78	0,86	0,92	0,99
P {T > t} = e - λ t	0,61	0,37	0,22	0,14	0,08	0.01

Portanto,

4) P {intervalo de tempo total para n chegadas consecutivas ≤ t} =
P {número de chegadas, em qualquer intervalo de tempo t, ≥ n} =
P {X(t) ≥ n } = 1 - P {X(t) ≤ n - 1}

então:

t (min)	2	4	6	8	10
n
(chegadas
consecutivas)
2	0,26	0,59	0,80	0,91	0,96
3	0,08	0,32	0,58	0,76	0,88
4	0,02	0,14	0,35	0,57	0,73
5	0,00	0,05	0,18	0,37	0,56
10		0,00	0,00	0,01	0,03

5) Estes resultados permitem, também, responder ao que acontece quando o serviço da caixa é interrompido por alguma razão: um artigo não tem o código de barras, esse código não está adequadamente codificado, falta de trocos, reabastecimento de consumíveis ou bloqueamento da máquina registadora, entre outras. A tabela acima mostra a probabilidade de chegarem n ou mais clientes durante uma interrupção do serviço de duração t.

De 2), sabe-se, também, a média, E {n | t} = λ t, e desvio padrão, σ {n | t} = (λ t)^½, do número clientes n que se dirigem à caixa para pagarem, durante essa interrupção de tempo t,

t (min)	2	4	6	8	10
E {n | t} = λ t	1	2	3	4	5
σ {n | t} = (λ t)½	1,00	1,41	1,73	2,00	2,24

Resultados decorrentes da distribuição do serviço

Como o modelo M/M1 pressupõe que a distribuição de probabilidade do tempo de serviço t é Exponencial negativa, tem-se:

P {tempo de serviço, T, não exceder t} = P {T ≤ t} = 1 - e ^{- μ t} para t ≥ 0
P {tempo de serviço, T, ser maior do que t} = P {T > t} = e ^{- μ t}
com média E (T) = 1 / μ e variância Var (T) = 1 / μ².

Então, com (1 / μ) = 1,5 minutos, tem-se: μ = 2/3 min = (1/9) 10^-1 h,

1) E (T) = 1,5 min = 0,025 h
Var (T) = 2,25 min² = 6,25 10^-4 h²
σ (T) = 1,5 min = 0,025 h

e

t (min)	1	2	3	4	5	10
P {T ≤ t} = 1 - e - μ t	0,49	0,74	0,86	0,93	0,96	1,00
P {T > t} = e - μ t	0,51	0,26	0,14	0,07	0,04	0,00