sábado, maio 06, 2006

 

Filas de espera (M/M/1): chegadas e serviço


Num hipermercado, a certas horas do dia, os clientes dirigem-se a uma caixa registadora, para pagar as compras, com uma distribuição de Poisson, a uma taxa média de um de dois em dois minutos. A empregada da caixa atende os clientes por ordem de chegada (FIFO). Dado o tempo gasto a fazer as compras, os clientes estão dispostos a esperar para serem atendidos, se for necessário. O tempo de atendimento de cada cliente é, em média, 1,5 minutos, distribuído exponencialmente. Na caixa registadora, as taxas de chegada e atendimento não variam com o número de clientes na fila (estado do sistema) e existe apenas uma fila e um servidor.

1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/1, com taxa de chegadas λ = 0,5 clientes / minuto e tempo médio de serviço (1 / μ) = 1,5 minutos.

2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / μ = 0,5 × 1,5 = 0,75 < 1.
A empregada tem, portanto, capacidade para atender os clientes que se dirigem à caixa para pagar as compras. O sistema poderá atingir o estado estacionário, se as condições dadas se mantiverem por tempo suficiente. A fila de espera não cresce indefinidamente, mas varia de tamanho ao longo do tempo.

Resultados decorrentes da distribuição das chegadas

Como o modelo M/M1 pressupõe que a distribuição de probabilidade do número de chegadas n em qualquer intervalo de tempo t é Poisson, tem-se:

P {n chegadas num intervalo de tempo t} = (λ t)n e -λ t / n! para n = 0, 1, 2, ...
com média e variância = λ t.

Então, com λ = 0,5 clientes / minuto = 30 clientes / h,

1) probabilidade de n clientes se dirigirem à caixa para pagar, num período de tempo t,
P {X(t) = n} = (λ t)n e - λ t / n!

nt (min)1234510
0P {X(t) = 0} = e - λ t0,610,370,220,140,080,01
1P {X(t) = 1} = λ t e - λ t0,300,370,330,270,210,03


2) valor esperado ou médio, E {n | t} = λ t, e desvio padrão, σ {n | t} = (λ t)½, do número clientes n que se dirigem à caixa para pagarem num intervalo de tempo t,

t (min)510152030
E {n | t} = λ t 2,557,51015
σ {n | t} = (λ t)½1,582,242,743,163,87

t (h)23478
E {n | t} = λ t 6090120210240
σ {n | t} = (λ t)½7,759,4910,9514,4915,49


Raramente a taxa de chagadas dos clientes se manterá constante durante um intervalo de tempo de várias horas.

Atendendo a que se a distribuição de probabilidade do número de chegadas n em qualquer intervalo de tempo t é Poisson, a distribuição de probabilidade do tempo T entre duas chegadas consecutivas é Exponencial negativa. Então, para t ≥ 0,

3) P {tempo entre chegadas, T, não exceder t} = P {Tt} = 1 - e - λ t
P {tempo entre chegadas, T, ser maior do que t} = P {T > t} = e - λ t
com média E (T) = 1 / λ e variância Var (T) = 1 / λ2.

Assim, com λ = 0,5 clientes / minuto = 30 clientes / h:

E (T) = 2 min = (1/3) 10-1 h
Var (T) = 4 min2 = (1/9) 10-2 h2
σ (T) = 2 min = (1/3) 10-1 h

e

t (min)1234510
P {Tt} = 1 - e - λ t0,390,630,780,860,920,99
P {T > t} = e - λ t0,610,370,220,140,080.01

Portanto,

4) P {intervalo de tempo total para n chegadas consecutivas ≤ t} =
P {número de chegadas, em qualquer intervalo de tempo t, ≥ n} =
P {X(t) ≥ n } = 1 - P {X(t) ≤ n - 1}

então:

t (min)246810
n
(chegadas
consecutivas)
20,260,590,800,910,96
30,080,320,580,760,88
40,020,140,350,570,73
50,000,050,180,370,56
100,000,000,010,03


5) Estes resultados permitem, também, responder ao que acontece quando o serviço da caixa é interrompido por alguma razão: um artigo não tem o código de barras, esse código não está adequadamente codificado, falta de trocos, reabastecimento de consumíveis ou bloqueamento da máquina registadora, entre outras. A tabela acima mostra a probabilidade de chegarem n ou mais clientes durante uma interrupção do serviço de duração t.

De 2), sabe-se, também, a média, E {n | t} = λ t, e desvio padrão, σ {n | t} = (λ t)½, do número clientes n que se dirigem à caixa para pagarem, durante essa interrupção de tempo t,

t (min)246810
E {n | t} = λ t 12345
σ {n | t} = (λ t)½1,001,411,732,002,24


Resultados decorrentes da distribuição do serviço

Como o modelo M/M1 pressupõe que a distribuição de probabilidade do tempo de serviço t é Exponencial negativa, tem-se:

P {tempo de serviço, T, não exceder t} = P {Tt} = 1 - e - μ t para t ≥ 0
P {tempo de serviço, T, ser maior do que t} = P {T > t} = e - μ t
com média E (T) = 1 / μ e variância Var (T) = 1 / μ2.

Então, com (1 / μ) = 1,5 minutos, tem-se: μ = 2/3 min = (1/9) 10-1 h,

1) E (T) = 1,5 min = 0,025 h
Var (T) = 2,25 min2 = 6,25 10-4 h2
σ (T) = 1,5 min = 0,025 h

e

t (min)1234510
P {Tt} = 1 - e - μ t0,490,740,860,930,961,00
P {T > t} = e - μ t0,510,260,140,070,040,00

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