domingo, maio 14, 2006

 

Filas de espera (M/M/1): medidas de desempenho


Parâmetros do problema

M/M/1, λ = 0,5 clientes / minuto, μ = 2/3 clientes / minuto,


Medidas de desempenho

1) Taxa de ocupação (ρ) =
Taxa média de ocupação do sistema =
Taxa média de ocupação do servidor =
Factor de ocupação do sistema =
Intensidade do tráfego =
Probabilidade de existir algum cliente no sistema (P {n > 0}) =
Probabilidade de ter que esperar na fila (Pw) =
Probabilidade do servidor estar ocupado (Pb) =
ρ = λ / μ = 0,75

2) Taxa de desocupação (P0) =
Probabilidade de não existir nenhum cliente no sistema =
Probabilidade de não ter que esperar na fila =
Probabilidade do servidor estar desocupado =
P0 = 1 - ρ = 0,25

3) Número médio de clientes no sistema (L) =
L = ρ / (1 - ρ) = 3 clientes

4) Número médio de clientes na fila (Lq) =
Tamanho médio da fila =
Lq = ρ2 / (1 - ρ) = 2,25 clientes

5) Tempo médio no sistema (W) = [ver 10)]
Tempo médio na fila, quando se tem de esperar =
Duração média do período de ocupação do servidor =
W = L / λ = 6 minutos

6) Tempo médio na fila (Wq) =
Tempo médio de espera na fila =
Wq = Lq / λ = 4,5 minutos

7) Número médio de clientes na fila, quando o sistema está ocupado (Lb) =
Lb = Lq / Pw = L = 3 clientes

8) Número médio de clientes na fila, quando há pelo menos um (Lq | q > 0) =
Número médio de clientes servidos por período de ocupação do servidor =
Lq | q > 0 = μ W = 4 clientes

9) Número médio de clientes a serem servidos (LS) =
Número médio de servidores ocupados (Sb) =
LS = L - Lq = ρ = 0,75 clientes
Sb = ρ = Pb = 0,75 servidores

10) Tempo médio na fila, quando o sistema está ocupado (Wb) =
Tempo médio na fila, quando se tem de esperar =
Duração média do período de ocupação do servidor =
Wb = Wq / Pw = W = 6 minutos

11) Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, n clientes no sistema (Pn)

12) Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema (P {Nn})

13) Probabilidade de haver mais de n clientes no sistema (P {N > n}) =
1 - Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema = 1 - (P {Nn}) =
Probabilidade de haver pelo menos n + 1 (n + 1 ou mais) clientes no sistema (P {Nn + 1}) =
ρn + 1

14) Probabilidade de haver pelo menos n (n ou mais) clientes no sistema (P {Nn}) =
ρn, para n = 0, 1, 2, …

PnP {Nn}P {Nn}PqP {Qq}P {Qq}
n(11)(12)(14)q(16)(17)(18)
00,250,251,00
10,190,440,7500,190,440,75
20,140,580,5610,140,580,56
30,110,680,4220,110,680,42
40,080,760,3230,080,760,32
50,060,820,2440,060,820,24
60,040,870,1850,040,870,18
70,030,900,1360,030,900,13
80,030,920,1070,030,920,10
90,020,940,0880,020,940,08
100,010,960,0690,010,960,06
110,010,970,04100,010,970,04
120,010,980,03110,010,980,03
130,010,980,02120,010,980,02
140,000,990,02130,000,990,02
150,000,990,01140,000,990,01


15) Probabilidade de haver um cliente a ser servido e nenhum na fila =
P1 = 0,19

16) Probabilidade de haver um cliente a ser servido e q na fila =
Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, q clientes na fila (P {Q = q}) =
P1, para q = 0
Pq + 1, para q = 1, 2, …

17) Probabilidade de não haver mais de q (q ou menos) clientes na fila (P {Qq}) =
Confiar que há espaço para q clientes esperarem, uma percentagem (probabilidade × 100) do tempo =
P {Nq + 1}

Se quisermos estar confiantes de que há espaço no hipermercado para os clientes de uma caixa, pelo menos 95% do tempo, devemos ser capazes de acolher 10 clientes, incluindo o que está a ser servido, ou seja, haver espaço para uma fila de 9 clientes com os carros das compras.

18) Probabilidade de haver pelo menos q (q ou mais) clientes na fila (P {Qq}) =
P {Nq + 1} = ρq + 1


Estes resultados, obtidos numa folha de cálculo, podem também ser determinados numa folha pré-programada (McClain, 2003). Na figura seguinte podem ver-se as medidas de desempenho do problema acima.


(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)


Uma outra abordagem, muito útil em filas de espera, é a simulação. Para um sistema M/M/1, Slater (2000) desenvolveu um aplete que calcula as medidas de desempenho e recolhe valores da simulação. Estes dois conjuntos de valores podem ser comparados e observada a convergência dos valores simulados. Os resultados obtidos no aplete, para o mesmo problema, podem ser vistos na figura seguinte O aplete só admite valores inteiros, por isso a unidade de tempo utilizada é a décima de minuto.


(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)


McCLAIN, John O. Queue.XLS: A Teaching Spreadsheet for Queuing Theory. Ithaca, NY, Cornell University, 2003.

SLATER, Tom. M/M/1 Queues. «The Queueing Thery Tutor», University of Edinburgh, 2000.

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