Logística 2006

Parâmetros do problema

M/M/1, λ = 0,5 clientes / minuto, μ = 2/3 clientes / minuto,


Medidas de desempenho

1) Taxa de ocupação (ρ) =
Taxa média de ocupação do sistema =
Taxa média de ocupação do servidor =
Factor de ocupação do sistema =
Intensidade do tráfego =
Probabilidade de existir algum cliente no sistema (P {n > 0}) =
Probabilidade de ter que esperar na fila (P_w) =
Probabilidade do servidor estar ocupado (P_b) =
ρ = λ / μ = 0,75

2) Taxa de desocupação (P₀) =
Probabilidade de não existir nenhum cliente no sistema =
Probabilidade de não ter que esperar na fila =
Probabilidade do servidor estar desocupado =
P₀ = 1 - ρ = 0,25

3) Número médio de clientes no sistema (L) =
L = ρ / (1 - ρ) = 3 clientes

4) Número médio de clientes na fila (L_q) =
Tamanho médio da fila =
L_q = ρ² / (1 - ρ) = 2,25 clientes

5) Tempo médio no sistema (W) = [ver 10)]
Tempo médio na fila, quando se tem de esperar =
Duração média do período de ocupação do servidor =
W = L / λ = 6 minutos

6) Tempo médio na fila (W_q) =
Tempo médio de espera na fila =
W_q = L_q / λ = 4,5 minutos

7) Número médio de clientes na fila, quando o sistema está ocupado (L_b) =
L_b = L_q / P_w = L = 3 clientes

8) Número médio de clientes na fila, quando há pelo menos um (L_q | q > 0) =
Número médio de clientes servidos por período de ocupação do servidor =
L_q | q > 0 = μ W = 4 clientes

9) Número médio de clientes a serem servidos (L_S) =
Número médio de servidores ocupados (S_b) =
L_S = L - L_q = ρ = 0,75 clientes
S_b = ρ = P_b = 0,75 servidores

10) Tempo médio na fila, quando o sistema está ocupado (W_b) =
Tempo médio na fila, quando se tem de esperar =
Duração média do período de ocupação do servidor =
W_b = W_q / P_w = W = 6 minutos

11) Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, n clientes no sistema (P_n)

12) Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema (P {N ≤ n})

13) Probabilidade de haver mais de n clientes no sistema (P {N > n}) =
1 - Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema = 1 - (P {N ≤ n}) =
Probabilidade de haver pelo menos n + 1 (n + 1 ou mais) clientes no sistema (P {N ≥ n + 1}) =
ρ^{n + 1}

14) Probabilidade de haver pelo menos n (n ou mais) clientes no sistema (P {N ≥ n}) =
ρⁿ, para n = 0, 1, 2, …

	Pn	P {N ≤ n}	P {N ≥ n}		Pq	P {Q ≤ q}	P {Q ≥ q}
n	(11)	(12)	(14)	q	(16)	(17)	(18)
0	0,25	0,25	1,00
1	0,19	0,44	0,75	0	0,19	0,44	0,75
2	0,14	0,58	0,56	1	0,14	0,58	0,56
3	0,11	0,68	0,42	2	0,11	0,68	0,42
4	0,08	0,76	0,32	3	0,08	0,76	0,32
5	0,06	0,82	0,24	4	0,06	0,82	0,24
6	0,04	0,87	0,18	5	0,04	0,87	0,18
7	0,03	0,90	0,13	6	0,03	0,90	0,13
8	0,03	0,92	0,10	7	0,03	0,92	0,10
9	0,02	0,94	0,08	8	0,02	0,94	0,08
10	0,01	0,96	0,06	9	0,01	0,96	0,06
11	0,01	0,97	0,04	10	0,01	0,97	0,04
12	0,01	0,98	0,03	11	0,01	0,98	0,03
13	0,01	0,98	0,02	12	0,01	0,98	0,02
14	0,00	0,99	0,02	13	0,00	0,99	0,02
15	0,00	0,99	0,01	14	0,00	0,99	0,01

15) Probabilidade de haver um cliente a ser servido e nenhum na fila =
P₁ = 0,19

16) Probabilidade de haver um cliente a ser servido e q na fila =
Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, q clientes na fila (P {Q = q}) =
P₁, para q = 0
P_{q + 1}, para q = 1, 2, …

17) Probabilidade de não haver mais de q (q ou menos) clientes na fila (P {Q ≤ q}) =
Confiar que há espaço para q clientes esperarem, uma percentagem (probabilidade × 100) do tempo =
P {N ≤ q + 1}

Se quisermos estar confiantes de que há espaço no hipermercado para os clientes de uma caixa, pelo menos 95% do tempo, devemos ser capazes de acolher 10 clientes, incluindo o que está a ser servido, ou seja, haver espaço para uma fila de 9 clientes com os carros das compras.

18) Probabilidade de haver pelo menos q (q ou mais) clientes na fila (P {Q ≥ q}) =
P {N ≥ q + 1} = ρ^{q + 1}


Estes resultados, obtidos numa folha de cálculo, podem também ser determinados numa folha pré-programada (McClain, 2003). Na figura seguinte podem ver-se as medidas de desempenho do problema acima.


(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

Uma outra abordagem, muito útil em filas de espera, é a simulação. Para um sistema M/M/1, Slater (2000) desenvolveu um aplete que calcula as medidas de desempenho e recolhe valores da simulação. Estes dois conjuntos de valores podem ser comparados e observada a convergência dos valores simulados. Os resultados obtidos no aplete, para o mesmo problema, podem ser vistos na figura seguinte O aplete só admite valores inteiros, por isso a unidade de tempo utilizada é a décima de minuto.


(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

McCLAIN, John O. Queue.XLS: A Teaching Spreadsheet for Queuing Theory. Ithaca, NY, Cornell University, 2003.

SLATER, Tom. M/M/1 Queues. «The Queueing Thery Tutor», University of Edinburgh, 2000.