Logística 2006

Dentro de um hipermercado, as filas de espera na zona do talho, charcutaria, peixaria, padaria, refeições rápidas e atendimento ao cliente, entre outras, funcionam com senhas cujo número é chamado sequencialmente. O modelo M/M/S pode ser utilizado, numa primeira aproximação, para estudar os sistemas de filas de espera deste serviços. Este modelo podetambém ser utilizado para estudar os sistemas de filas de espera dos camiões de carga e descarga, nos cais dos centros de distribuição ou dos hipermercados.

A estrutura básica de um sistema M/M/S é a seguinte (com S = 3):

(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)
onde:

Fonte de Entrada – modela o processo de chegada dos clientes (M/M/S = Poisson);
Fila – modela o lugar onde os clientes aguardam pelo serviço;
Disciplina da Fila – critério para escolher a ordem pela qual os clientes na fila são atendidos (M/M/s = o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido, FIFO);
Mecanismo de Atendimento – ou Serviço, modela o sistema de atendimento dos clientes (M/M/S = S servidores).

No estado estacionário, um sistema M/M/S pode ser analisado utilizando as relações matemáticas que se seguem.


Características do modelo M/M/S

Chegadas com distribuição de Poisson;
Taxa = λ clientes / u. tempo; População = ∞; Fila máxima = ∞.

Tempo de atendimento com distribuição Exponencial negativa;
Taxa = μ clientes / u. tempo, (por servidor); Servidores = S

Condição de equilíbrio: λ / Sµ = ρ = < 1
Taxa de ocupação = ρ; Taxa de desocupação = 1 – ρ

L = L_q + (λ / μ)

L_q = P₀ (λ / μ)^s ρ / S! (1 - ρ)²

W = L / λ = W_q + (1 / μ)

W_q = L_q / λ


P₀ = 1 / {∑^{S - 1} [(λ / μ)ⁿ / n!] + [(λ / μ)^S / S!] × 1 / (1 - ρ)}

P_n = P₀ (λ / μ)ⁿ / n!, se 0 ≤ n ≤ S

P_n = P₀ (λ / μ)ⁿ / S! S^{n - S}, se n ≥ S

P {W > t} = e^{-µ t} {1 + [P₀ (λ / μ)^S / S! ( 1 - ρ)] [(1 - e^{-µ t (S - 1 - λ / μ)}) / (S - 1 - λ / μ)]}, t ≥ 0

P {W_q > t} = [1 - P {W_q = 0}] e^{S μ} (1 - ρ) t, t ≥ 0

P {W_q = 0} = ∑^{S - 1} P_n