sexta-feira, maio 26, 2006

 

Filas de espera (M/M/S): medidas de desempenho


Num hipermercado, a certas horas do dia, os clientes dirigem-se ao balcão de atendimento da zona do talho/charcutaria, para tirar a senha de atendimento, com uma distribuição de Poisson, a uma taxa média de chegada 0,5 por minuto, para serem atendidos por duas empregadas. As empregadas atendem os clientes por ordem numérica das senhas. O tempo de atendimento de cada cliente é, em média, 1,5 minutos, distribuído exponencialmente.

1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/2, com taxa de chegadas λ = 0,5 clientes / minuto e tempo médio de serviço (1 / µ) = 1,5 minutos

2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / S µ = 0,5 × 1,5 / 2 = 0,375 < 1.
As empregadas têm, portanto, capacidade para atender os clientes que se dirigem ao talho/charcutaria para fazer compras. O sistema poderá atingir o estado estacionário, se as condições dadas se mantiverem por tempo suficiente. A fila de espera não cresce indefinidamente, mas varia de tamanho ao longo do tempo.


Medidas de desempenho

1) Intensidade do tráfego (λ / µ) =
= λ / µ = 0,5 × 1,5 = 0,75

2) Taxa de ocupação (ρ)=
Taxa média de ocupação do sistema =
Taxa média de ocupação do servidor =
Factor de ocupação do sistema =
ρ = λ / S µ = 0,5 × 1,5 / 2 = 0,375

3) Taxa de desocupação (1 - ρ) =
= 1 - ρ = 0,625

4) Número médio de clientes no sistema (L) =
L = P0 [(λ / µ)S ρ] / [S! (1 - ρ)2] + (λ / µ) = 0,87 clientes

5) Número médio de clientes à espera (Lq) =
Lq = L - (λ / µ) = P0 [(λ / µ)S ρ] / [S! (1 - ρ)2] = 0,12 clientes

6) Tempo médio no sistema (W) =
W = L / λ = 1,75 minutos

7) Tempo médio à espera (Wq) =
Wq = Lq / λ = 0,25 minutos

8) Número médio de clientes a serem servidos (LS) =
Número médio de servidores ocupados (Sb) =
LS = L - Lq = 0,75 clientes
Sb = λ / µ = 0,75 servidores

9) Probabilidade de não existir nenhum cliente no sistema (P0) =
P0 = 0,45

10) Probabilidade de existir algum cliente no sistema (P {n > 0}) =
= 1 - P0 = 0,55

11) Probabilidade de ter que esperar (Pw) =
Probabilidade do sistema estar ocupado (Pb) =
Probabilidade de todos os servidores estarem ocupados =
Pw = Pb = P0 [(λ / µ)S µ S] / [S! (µ S - λ)] = 0,2045

12) Probabilidade de não ter que esperar (1 - Pw) =
Probabilidade de um servidor estar desocupado (1 - Pb) =
1 - Pw = 1 - Pb = 1 - 0,2045 = 0,7955

13) Probabilidade de n servidores (0 ≤ nS) estarem ocupados =
Probabilidade de haver n clientes (0 ≤ nS) no sistema =
Pn = P0 (λ / μ)n / n!, se 0 ≤ nS

n012
Pn0,45450,34090,1278


14) Probabilidade de n servidores (0 ≤ nS) estarem desocupados =
Probabilidade de haver (S - n) clientes (0 ≤ nS) no sistema =
P(S - n) = P0 (λ / μ)(S - n) / (S - n)!, se 0 ≤ nS

n210
S - n012
Pn0,45450,34090,1278


15) Número médio de clientes à espera, quando o sistema está ocupado (Lb) =
Lb = Lq / Pw = 0,6 clientes

16) Número médio de clientes à espera, quando há pelo menos um (Lq | q > 0) =
Lq | q > 0 = Lb + 1 = 1,6 clientes

17) Tempo médio à espera, quando o sistema está ocupado (Wb) =
Tempo médio à espera, quando se tem de esperar =
Wb = Wq / Pw = 1,2 minutos

18) Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, n clientes no sistema (Pn)

19) Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema (P {Nn})

20) Probabilidade de haver mais de n clientes no sistema ((P {N > n}) =
1 - Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema =
1 - (P {Nn}) =
Probabilidade de haver pelo menos n + 1 (n + 1 ou mais) clientes no sistema (P {Nn + 1})

21) Probabilidade de haver pelo menos n (n ou mais) clientes no sistema (P {Nn})



nPnP {Nn}P {Nn}qPqP {Qq}P {Qq}
(18)(19)(21)(23)(24)(25)

00,450,451,00
10,340,800,55
20,130,920,2000,130,920,20
30,050,970,0810,050,970,08
40,020,990,0320,020,990,03
50,011,000,0130,011,000,01
60,001,000,0040,001,000,00



22) Probabilidade de haver n clientes a serem servidos =
Pn, para 0 ≤ n < S
PS = 1 - ∑(S - 1)Pn, para n = S

n012
Pn0,450,340,20


23) Probabilidade de haver S clientes a serem servidos e q na fila =
Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, q clientes na fila (P {Q = q}) =
PS, para q = 0
Pq + 1, para q = 1, 2, …

24) Probabilidade de não haver mais de q (q ou menos) clientes na fila (P {Qq})

25)Probabilidade de haver pelo menos q (q ou mais) clientes na fila (P {Qq})


Na figura seguinte podem ver-se algumas das medidas de desempenho do problema acima, determinadas numa folha de cálculo pré-programada (McClain, 2003).


(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

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