Logística 2006

Num hipermercado, a certas horas do dia, os clientes dirigem-se ao balcão de atendimento da zona do talho/charcutaria, para tirar a senha de atendimento, com uma distribuição de Poisson, a uma taxa média de chegada 0,5 por minuto, para serem atendidos por duas empregadas. As empregadas atendem os clientes por ordem numérica das senhas. O tempo de atendimento de cada cliente é, em média, 1,5 minutos, distribuído exponencialmente.

1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/2, com taxa de chegadas λ = 0,5 clientes / minuto e tempo médio de serviço (1 / µ) = 1,5 minutos

2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / S µ = 0,5 × 1,5 / 2 = 0,375 < 1.
As empregadas têm, portanto, capacidade para atender os clientes que se dirigem ao talho/charcutaria para fazer compras. O sistema poderá atingir o estado estacionário, se as condições dadas se mantiverem por tempo suficiente. A fila de espera não cresce indefinidamente, mas varia de tamanho ao longo do tempo.


Medidas de desempenho

1) Intensidade do tráfego (λ / µ) =
= λ / µ = 0,5 × 1,5 = 0,75

2) Taxa de ocupação (ρ)=
Taxa média de ocupação do sistema =
Taxa média de ocupação do servidor =
Factor de ocupação do sistema =
ρ = λ / S µ = 0,5 × 1,5 / 2 = 0,375

3) Taxa de desocupação (1 - ρ) =
= 1 - ρ = 0,625

4) Número médio de clientes no sistema (L) =
L = P₀ [(λ / µ)^S ρ] / [S! (1 - ρ)²] + (λ / µ) = 0,87 clientes

5) Número médio de clientes à espera (L_q) =
L_q = L - (λ / µ) = P₀ [(λ / µ)^S ρ] / [S! (1 - ρ)²] = 0,12 clientes

6) Tempo médio no sistema (W) =
W = L / λ = 1,75 minutos

7) Tempo médio à espera (W_q) =
W_q = L_q / λ = 0,25 minutos

8) Número médio de clientes a serem servidos (L_S) =
Número médio de servidores ocupados (S_b) =
L_S = L - L_q = 0,75 clientes
S_b = λ / µ = 0,75 servidores

9) Probabilidade de não existir nenhum cliente no sistema (P₀) =
P₀ = 0,45

10) Probabilidade de existir algum cliente no sistema (P {n > 0}) =
= 1 - P₀ = 0,55

11) Probabilidade de ter que esperar (P_w) =
Probabilidade do sistema estar ocupado (P_b) =
Probabilidade de todos os servidores estarem ocupados =
P_w = P_b = P₀ [(λ / µ)^S µ S] / [S! (µ S - λ)] = 0,2045

12) Probabilidade de não ter que esperar (1 - P_w) =
Probabilidade de um servidor estar desocupado (1 - P_b) =
1 - P_w = 1 - P_b = 1 - 0,2045 = 0,7955

13) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n ≤ S) estarem ocupados =
Probabilidade de haver n clientes (0 ≤ n ≤ S) no sistema =
P_n = P₀ (λ / μ)ⁿ / n!, se 0 ≤ n ≤ S

n	0	1	2
Pn	0,4545	0,3409	0,1278

14) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n ≤ S) estarem desocupados =
Probabilidade de haver (S - n) clientes (0 ≤ n ≤ S) no sistema =
P_{(S - n)} = P₀ (λ / μ)^{(S - n)} / (S - n)!, se 0 ≤ n ≤ S

n	2	1	0
S - n	0	1	2
Pn	0,4545	0,3409	0,1278

15) Número médio de clientes à espera, quando o sistema está ocupado (L_b) =
L_b = L_q / P_w = 0,6 clientes

16) Número médio de clientes à espera, quando há pelo menos um (L_q | q > 0) =
L_q | q > 0 = L_b + 1 = 1,6 clientes

17) Tempo médio à espera, quando o sistema está ocupado (W_b) =
Tempo médio à espera, quando se tem de esperar =
W_b = W_q / P_w = 1,2 minutos

18) Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, n clientes no sistema (P_n)

19) Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema (P {N ≤ n})

20) Probabilidade de haver mais de n clientes no sistema ((P {N > n}) =
1 - Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema =
1 - (P {N ≤ n}) =
Probabilidade de haver pelo menos n + 1 (n + 1 ou mais) clientes no sistema (P {N ≥ n + 1})

21) Probabilidade de haver pelo menos n (n ou mais) clientes no sistema (P {N ≥ n})

n	Pn	P {N ≤ n}	P {N ≥ n}	q	Pq	P {Q ≤ q}	P {Q ≥ q}
	(18)	(19)	(21)		(23)	(24)	(25)
0	0,45	0,45	1,00
1	0,34	0,80	0,55
2	0,13	0,92	0,20	0	0,13	0,92	0,20
3	0,05	0,97	0,08	1	0,05	0,97	0,08
4	0,02	0,99	0,03	2	0,02	0,99	0,03
5	0,01	1,00	0,01	3	0,01	1,00	0,01
6	0,00	1,00	0,00	4	0,00	1,00	0,00

22) Probabilidade de haver n clientes a serem servidos =
P_n, para 0 ≤ n < S
P_S = 1 - ∑^{(S - 1)}P_n, para n = S

n	0	1	2
Pn	0,45	0,34	0,20

23) Probabilidade de haver S clientes a serem servidos e q na fila =
Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, q clientes na fila (P {Q = q}) =
P_S, para q = 0
P_q + 1, para q = 1, 2, …

24) Probabilidade de não haver mais de q (q ou menos) clientes na fila (P {Q ≤ q})

25)Probabilidade de haver pelo menos q (q ou mais) clientes na fila (P {Q ≤ q})


Na figura seguinte podem ver-se algumas das medidas de desempenho do problema acima, determinadas numa folha de cálculo pré-programada (McClain, 2003).


(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)