quarta-feira, junho 07, 2006
Filas de espera (M/G/1): medidas de desempenho
Num hipermercado, a certas horas do dia, os clientes dirigem-se a uma caixa registadora, para pagar as compras, com uma distribuição de Poisson, a uma taxa média de um de dois em dois minutos. A empregada da caixa atende os clientes por ordem de chegada (FIFO). Dado o tempo gasto a fazer as compras, os clientes estão dispostos a esperar para serem atendidos, se for necessário. O tempo de atendimento de cada cliente é, em média, 1,5 minutos, com uma variância de (9 / 4)2.
1) Trata-se, portanto, de um sistema M/G/1, com taxa de chegadas λ = 0,5 clientes / minuto e tempo médio de serviço (1 / μ) = 1,5 minutos, com uma variância σ2= (9 / 4)2.
2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / μ = 0,5 × 1,5 = 0,75 < 1.
A empregada tem, portanto, capacidade para atender os clientes que se dirigem à caixa para pagar as compras. O sistema poderá atingir o estado estacionário, se as condições dadas se mantiverem por tempo suficiente. A fila de espera não cresce indefinidamente, mas varia de tamanho ao longo do tempo.
Medidas de desempenho
1) Taxa de ocupação (ρ) =
Taxa média de ocupação do sistema =
Taxa média de ocupação do servidor =
Factor de ocupação do sistema =
Intensidade do tráfego =
Probabilidade de existir algum cliente no sistema (P {n > 0}) =
Probabilidade de ter que esperar na fila (Pw) =
Probabilidade do servidor estar ocupado (Pb) =
ρ = λ / μ = 0,75
2) Taxa de desocupação (P0) =
Probabilidade de não existir nenhum cliente no sistema =
Probabilidade de não ter que esperar na fila =
Probabilidade do servidor estar desocupado =
P0 =1 - ρ = 0,25
3) Número médio de clientes no sistema (L) =
L = {(λ2 σ2 + ρ2) / [2 (1 - ρ)]} + ρ = 4,4 clientes
4) Número médio de clientes na fila (Lq) =
Tamanho médio da fila =
Lq = (λ2 σ2 + ρ2) / [2 (1 - ρ)] = 3,7 clientes
5) Tempo médio no sistema (W) =
Duração média do período de ocupação do servidor =
W = L / λ = 8,8 minutos
6) Tempo médio na fila (Wq) =
Tempo médio de espera na fila =
Wq = Lq / λ = 7,3 minutos
7) Número médio de clientes na fila, quando o sistema está ocupado (Lb) =
Lb = Lq / Pw = 4,875 clientes
8) Número médio de clientes na fila, quando há pelo menos um (Lq | q > 0) =
Número médio de clientes servidos por período de ocupação do servidor =
Lq | q > 0 = μ W = 5,875 clientes
9) Número médio de clientes a serem servidos (LS) =
Número médio de servidores ocupados (Sb) =
LS = L - Lq = ρ = 0,75 clientes
Sb = ρ = Pb = 0,75 servidores
10) Tempo médio na fila, quando o sistema está ocupado (Wb) =
Tempo médio na fila, quando se tem de esperar =
Wb = Wq / Pw = 7,3125 / 0,75 = 9,75 minutos
11) Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, n clientes no sistema (Pn)
12) Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema (P {N ≤ n})
13) Probabilidade de haver mais de n clientes no sistema (P {N > n}) =
1 - Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema = 1 - (P {N ≤ n})
Probabilidade de haver pelo menos n + 1 (n + 1 ou mais) clientes no sistema (P {N ≥ n + 1}) =
ρn + 1
14) Probabilidade de haver pelo menos n (n ou mais) clientes no sistema (P {N ≥ n}) =
ρn, para n = 0, 1, 2, …
Pn | P {N ≤ n} | P {N ≥ n} | Pq | P {Q ≤ q} | P {Q ≥ q} | ||
n | (11) | (12) | (14) | q | (16) | (17) | (18) |
0 | 0,25 | 0,25 | 1,00 | ||||
1 | 0,19 | 0,44 | 0,75 | 0 | 0,19 | 0,44 | 0,75 |
2 | 0,14 | 0,58 | 0,56 | 1 | 0,14 | 0,58 | 0,56 |
3 | 0,11 | 0,68 | 0,42 | 2 | 0,11 | 0,68 | 0,42 |
4 | 0,08 | 0,76 | 0,32 | 3 | 0,08 | 0,76 | 0,32 |
5 | 0,06 | 0,82 | 0,24 | 4 | 0,06 | 0,82 | 0,24 |
6 | 0,04 | 0,87 | 0,18 | 5 | 0,04 | 0,87 | 0,18 |
7 | 0,03 | 0,90 | 0,13 | 6 | 0,03 | 0,90 | 0,13 |
8 | 0,03 | 0,92 | 0,10 | 7 | 0,03 | 0,92 | 0,10 |
9 | 0,02 | 0,94 | 0,08 | 8 | 0,02 | 0,94 | 0,08 |
10 | 0,01 | 0,96 | 0,06 | 9 | 0,01 | 0,96 | 0,06 |
11 | 0,01 | 0,97 | 0,04 | 10 | 0,01 | 0,97 | 0,04 |
12 | 0,01 | 0,98 | 0,03 | 11 | 0,01 | 0,98 | 0,03 |
13 | 0,01 | 0,98 | 0,02 | 12 | 0,01 | 0,98 | 0,02 |
14 | 0,00 | 0,99 | 0,02 | 13 | 0,00 | 0,99 | 0,02 |
15 | 0,00 | 0,99 | 0,01 | 14 | 0,00 | 0,99 | 0,01 |
15) Probabilidade de haver um cliente a ser servido e nenhum na fila =
P1 = 0,19
16) Probabilidade de haver um cliente a ser servido e q na fila =
Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, q clientes na fila (P {Q = q}) =
P1, para q = 0
Pq + 1, para q = 1, 2, …
17) Probabilidade de não haver mais de q (q ou menos) clientes na fila (P {Q ≤ q}) =
Confiar que há espaço para q clientes esperarem, uma percentagem (probabilidade × 100) do tempo =
P {N ≤ q + 1}
Se quisermos estar confiantes de que há espaço no hipermercado para os clientes de uma caixa, pelo menos 95% do tempo, devemos ser capazes de acolher 10 clientes, incluindo o que está a ser servido, ou seja, haver espaço para uma fila de 9 clientes com os carros das compras.
18) Probabilidade de haver pelo menos q (q ou mais) clientes na fila (P {Q ≥ q}) =
P {N ≥ q + 1} = ρq + 1