Logística 2006

Caso de aplicação

Ao cais de um hipermercado com três docas, chegam camiões com uma distribuição de Poisson a uma taxa de 20 veículos por dia de oito horas. O tempo de carga ou descarga do camião segue uma distribuição exponencial com média de 40 minutos.

1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/3, com taxa de chegadas, λ = 20 veiculos / dia = 2,5 veiculos / hora e taxa de serviço (µ)= 60 / 40 = 1,5 veiculos / hora.

2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / S µ = 2,5 / (3 × 1,5) = 5 / 9 < 1.

As três docas têm, portanto, capacidade para os camiões que se dirigem ao armazém do hipermercado.

Medidas de desempenho

1) Intensidade do tráfego (λ / µ) =
= λ / µ = 2,5 / 1,5 = 5 /3

2) Taxa de ocupação (ρ)=
Taxa média de ocupação do sistema =
Taxa média de ocupação do servidor =
Factor de ocupação do sistema =
ρ = λ / S µ = 2,5 / (3 × 1,5) = 5 / 9

3) Taxa de desocupação (1 - ρ) =
= 1 - ρ = 4 / 9

4) Número médio de camiões no sistema (L) =
L = 2 camiões

5) Número médio de camiões à espera (L_q) =
L_q = 0,4 camiões

6) Tempo médio no sistema (W) =
W = 0,8 horas = 49 minutos

7) Tempo médio à espera (W_q) =
W_q = 0,15 horas = 9 minutos

8) Número médio de camiões a serem servidos (L₃) =
Número médio de cais ocupados (L_b) =
L₃ = 5 / 3 camiões
L_b = 5 / 3 cais

9) Probabilidade de não existir nenhum camião no sistema (P₀) =
P₀ = 17 %

10) Probabilidade de existir algum camião no sistema (P {n > 0}) =
= 1 - P₀ = 83 %

11) Probabilidade de ter que esperar (P_w) =
Probabilidade do sistema estar ocupado (P_b) =
Probabilidade de todos os servidores estarem ocupados =
P_w = P_b = 30 %

12) Probabilidade de não ter que esperar (1 - P_w) =
Probabilidade de um servidor estar desocupado (1 - P_b) =
1 - P_w = 1 - P_b = 70 %

13) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n ≤ 3) estarem ocupados =
Probabilidade de haver n camiões (0 ≤ n ≤ 3) no sistema =

n	0	1	2	3
Pn	0,1727	0,2878	0,2398	0,1332

14) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n ≤ 3) estarem desocupados =
Probabilidade de haver (3 - n) camiões (0 ≤ n ≤ 3) no sistema =

n	3	2	1	0
3 - n	0	1	2	3
Pn	0,1727	0,2878	0,2398	0,1332

15) Número médio de camiões à espera, quando o sistema está ocupado (L_b) =
L_b = 1,25 camiões

16) Número médio de camiões à espera, quando há pelo menos um (L_q | q > 0) =
L_q | q > 0 = 2,25 camiões

17) Tempo médio à espera, quando o sistema está ocupado (W_b) =
Tempo médio à espera, quando se tem de esperar =
W_b = 0,5 horas

18) Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, n camiões no sistema (P_n)

19) Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) camiões no sistema (P {N ≤ n})

20) Probabilidade de haver mais de n camiões no sistema ((P {N > n}) =
1 - Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) camiões no sistema =
1 - (P {N ≤ n})
Probabilidade de haver pelo menos n + 1 (n + 1 ou mais) camiões no sistema (P {N ≥ n + 1})

21) Probabilidade de haver pelo menos n (n ou mais) camiões no sistema (P {N ≥ n})

n	Pn	P {N ≤ n}	P {N ≥ n}	q	Pq	P {Q ≤ q}	P {Q ≥ q}
	(18)	(19)	(21)		(23)	(24)	(25)
0	0,17	0,17	1,00
1	0,29	0,46	0,83
2	0,24	0,70	0,54
3	0,13	0,83	0,30	0	0,13	0,83	0,30
4	0,07	0,91	0,17	1	0,07	0,91	0,17
5	0,04	0,95	0,09	2	0,04	0,95	0,09
6	0,02	0,97	0,05	3	0,02	0,97	0,05
7	0,01	0,98	0,03	4	0,01	0,98	0,03
8	0,01	0,99	0,02	5	0,01	0,99	0,02
9	0,00	1,00	0,01	6	0,00	1,00	0,01
10	0,00	1,00	0,00	7	0,00	1,00	0,00

22) Probabilidade de haver n camiões a serem servidos =
P_n, para 0 ≤ n < S
P_S = 1 - ∑^{(S - 1)}P_n, para n = S

n	0	1	2	3
Pn	0,17	0,29	0,24	0,30

23) Probabilidade de haver 3 camiões a serem servidos e q na fila =
Probabilidade de haver 0, 1, 2, 3,…, q camiões na fila (P {Q = q}) =
P₃, para q = 0
P_q + 1, para q = 1, 2, 3,…

24) Probabilidade de não haver mais de q (q ou menos) camiões na fila (P {Q ≤ q})

25)Probabilidade de haver pelo menos q (q ou mais) camiões na fila (P {Q ≤ q})


Na figura seguinte podem ver-se algumas das medidas de desempenho do problema acima, determinadas numa folha de cálculo pré-programada (McClain, 2003).


(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)