sexta-feira, junho 09, 2006

 

Filas de espera (M/M/S): funcionamento de cais de armazém


Caso de aplicação

Ao cais de um hipermercado com três docas, chegam camiões com uma distribuição de Poisson a uma taxa de 20 veículos por dia de oito horas. O tempo de carga ou descarga do camião segue uma distribuição exponencial com média de 40 minutos.

1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/3, com taxa de chegadas, λ = 20 veiculos / dia = 2,5 veiculos / hora e taxa de serviço (µ)= 60 / 40 = 1,5 veiculos / hora.

2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / S µ = 2,5 / (3 × 1,5) = 5 / 9 < 1.

As três docas têm, portanto, capacidade para os camiões que se dirigem ao armazém do hipermercado.

Medidas de desempenho

1) Intensidade do tráfego (λ / µ) =
= λ / µ = 2,5 / 1,5 = 5 /3

2) Taxa de ocupação (ρ)=
Taxa média de ocupação do sistema =
Taxa média de ocupação do servidor =
Factor de ocupação do sistema =
ρ = λ / S µ = 2,5 / (3 × 1,5) = 5 / 9

3) Taxa de desocupação (1 - ρ) =
= 1 - ρ = 4 / 9

4) Número médio de camiões no sistema (L) =
L = 2 camiões

5) Número médio de camiões à espera (Lq) =
Lq = 0,4 camiões

6) Tempo médio no sistema (W) =
W = 0,8 horas = 49 minutos

7) Tempo médio à espera (Wq) =
Wq = 0,15 horas = 9 minutos

8) Número médio de camiões a serem servidos (L3) =
Número médio de cais ocupados (Lb) =
L3 = 5 / 3 camiões
Lb = 5 / 3 cais

9) Probabilidade de não existir nenhum camião no sistema (P0) =
P0 = 17 %

10) Probabilidade de existir algum camião no sistema (P {n > 0}) =
= 1 - P0 = 83 %

11) Probabilidade de ter que esperar (Pw) =
Probabilidade do sistema estar ocupado (Pb) =
Probabilidade de todos os servidores estarem ocupados =
Pw = Pb = 30 %

12) Probabilidade de não ter que esperar (1 - Pw) =
Probabilidade de um servidor estar desocupado (1 - Pb) =
1 - Pw = 1 - Pb = 70 %

13) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n3) estarem ocupados =
Probabilidade de haver n camiões (0 ≤ n3) no sistema =

n0123
Pn0,17270,28780,23980,1332


14) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n3) estarem desocupados =
Probabilidade de haver (3 - n) camiões (0 ≤ n3) no sistema =

n3210
3 - n0123
Pn0,17270,28780,23980,1332


15) Número médio de camiões à espera, quando o sistema está ocupado (Lb) =
Lb = 1,25 camiões

16) Número médio de camiões à espera, quando há pelo menos um (Lq | q > 0) =
Lq | q > 0 = 2,25 camiões

17) Tempo médio à espera, quando o sistema está ocupado (Wb) =
Tempo médio à espera, quando se tem de esperar =
Wb = 0,5 horas

18) Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, n camiões no sistema (Pn)

19) Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) camiões no sistema (P {Nn})

20) Probabilidade de haver mais de n camiões no sistema ((P {N > n}) =
1 - Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) camiões no sistema =
1 - (P {Nn})
Probabilidade de haver pelo menos n + 1 (n + 1 ou mais) camiões no sistema (P {Nn + 1})

21) Probabilidade de haver pelo menos n (n ou mais) camiões no sistema (P {Nn})



nPnP {Nn}P {Nn}qPqP {Qq}P {Qq}
(18)(19)(21)(23)(24)(25)

00,170,171,00
10,290,460,83
20,240,700,54
30,130,830,3000,130,830,30
40,070,910,1710,070,910,17
50,040,950,0920,040,950,09
60,020,970,0530,020,970,05
70,010,980,0340,010,980,03
80,010,990,0250,010,990,02
90,001,000,0160,001,000,01
100,001,000,0070,001,000,00



22) Probabilidade de haver n camiões a serem servidos =
Pn, para 0 ≤ n < S
PS = 1 - ∑(S - 1)Pn, para n = S

n0123
Pn0,170,290,240,30


23) Probabilidade de haver 3 camiões a serem servidos e q na fila =
Probabilidade de haver 0, 1, 2, 3,…, q camiões na fila (P {Q = q}) =
P3, para q = 0
Pq + 1, para q = 1, 2, 3,…

24) Probabilidade de não haver mais de q (q ou menos) camiões na fila (P {Qq})

25)Probabilidade de haver pelo menos q (q ou mais) camiões na fila (P {Qq})


Na figura seguinte podem ver-se algumas das medidas de desempenho do problema acima, determinadas numa folha de cálculo pré-programada (McClain, 2003).


(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)

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